2026高考数学圆锥曲线专项：圆锥曲线中的极点极线问题（解析版）

圆锥曲线中的极点极线问题

考情探究

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义

2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强

化训练复习

知识讲解

1.极点极线的定义

如图,

设P是不在圆雉曲线上的一点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接

EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆雉曲线上

的点,则过P点的切线即为极线.

同理,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将△MNP称为自极三点形.

设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

2.其他定义

22

对于圆锥曲线C:Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0,已知点Px0,y0(非中心)及直线

x0y+y0xx+x0y0+y

l:Axx+B⋅+Cyy+D⋅+E⋅+F=0,则称点Px,y是直线l关于圆

0202200

锥曲线C的极点,直线l称为点P关于圆锥曲线C的极线。

配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。

3.替换原则

xy+yxx+xy+y

xx→x2,00→xy,yy→y2,0→x,0→y.

02022

1

4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)

22

xyx0xy0y

已知椭圆方程:+=1,设点Px0,y0的极线l:+=1.

a2b2a2b2

(1)当点Px0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。(极点在极线上)

(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的

轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。

特别地:

22

xyx0xy0y

(1)对于椭圆+=1,与点Px0,y0对应的极线方程为+=1;

a2b2a2b2

22

xyx0xy0y

(2)对于双曲线-=1,与点Px0,y0对应的极线方程为-=1;

a2b2a2b2

2

(3)对于抛物线y=2px,与点Px0,y0对应的极线方程为y0y=px0+x

考点一、极点极线初步学习

x2y2

1.(2024·全国·一模)如图，已知椭圆Γ的短轴长为4，焦点与双曲线-=1的焦点重合.点

4-tt

1

P4,0，斜率为的直线l与椭圆Γ交于A,B两点.

21

2

(1)求常数t的取值范围，并求椭圆Γ的方程.

(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)

极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式

22

xyx0xy0y

阐述的.对于椭圆Γ:+=1，极点Px0,y0(不是原点)对应的极线为lP:+=1，且若极点

a2b2a2b2

在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有

PxPΓA1,B1lPQkQA1+kQB1=2kPQ

(当斜率均存在时).已知点Q是直线l1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接

PA,PB分别交椭圆Γ于M,N两点.

①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；

②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.

x2y2

【答案】(1)0,4，+=1

84

1

(2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为3,-

2

【分析】(1)由椭圆焦点在x轴上面，列出不等式组即可得t的范围，由a,b,c的关系以及短轴长列出方程组

即可得a,b，由此即可得椭圆方程.

(2)为了说明结论的验证性，首先证明一下题述引理(用解析几何方法)，即联立直线方程与椭圆方程，由韦

达定理以及斜率公式证明kQA+kQB=2kPQ即可，从而对于①由结论法说明Q是MN和AB的交点，且kBA

1

+k=2k，结合由此即可进一步得证；对于②由结论法可表示出MN的方程y=-t-x-2+t，由

NMPQ2

此整理即可得解.

4-t>0

【详解】(1)由题意焦点在x轴上，所以，解得0<t<4，即t的范围为0,4，

t>0

且c=4-t+t=2,2b=4,a2=b2+c2，解得a2=8,b2=4，

x2y2

所以椭圆方程为+=1.

84

(2)我们首先给出题目给出的引理的证明：

a2

设Pp,0,Q,t，则Q在P的极线上，

p

现在如果经过P的直线x=my+p交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)：

222222222

那么，代入椭圆就得到a+bmy+2bmpy+bp-ab=0，

4222222224222222224222

所以Δ=4bmp-4bp-aa+bm=4bmp-4bpa+pbm-a-abm

2222222222

=4aba+bm-p>0⇒a+bm>p，

2b2mpb2p2-a2b2

由韦达定理有y1+y2=-,y1y2=，

a2+b2m2a2+b2m2

3

此时要证明的是：kQA+kQB=2kPQ，

y1-ty2-t-2t

也就是+=，

a2a2a2

my1+p-pmy2+p-pp-p

y1-ty2-t2t

也就是++=0，

a2a2a2

my1+p-pmy2+p-pp-p

a2a2a2a2a2

也就是p-y-tmy+p-+y-tmy+p-+2tmy+p-my+p-=0，

p12p21p1p2p

2222

a2aa

也就是2mp-+2mtyy+p-+tmp-y+y=0，

p12pp12

222222222

a2bp-abaa2bmp

也就是2mp-+2mt⋅+p-+tmp--=0，

pa2+b2m2ppa2+b2m2

2222

a2222aa2

也就是mp-+mt⋅bp-a+p-+tmp--bmp=0，

ppp

2222

a2222aa

也就是p-+mt⋅bp-a-bpp-+tmp-=0，

ppp

2222

a22aa

也就是p-+mt⋅p-a-pp-+tmp-=0，

ppp

a2a2a22a2

也就是p-+mt⋅p--p-+tmp-=0，

pppp

a2a2a22a2

也就是p-+mt⋅p-=p-+tmp-，

pppp

这显然成立，所以结论得证.

接下来我们回到原题，

①首先由于Q在P的极线x=2上，故由引理有kQN+kQB=2kPQ，kQA+kQM=2kPQ，

1

而k=k=，

QAQB2

所以kQN=kQM，这表明Q是MN和AB的交点，

又由于kQA+kQM=2kPQ，故kBA+kNM=2kPQ，

t-yDt-yTt-yE

设Q2,t，而k=k=，k=k=，k=k=，

ABQD2MNQT2PQQE2

所以yD+yT=2yE，也就是E是DT的中点；

t11

②设Q2,t，那么k=-,k=，所以k=-t-，

PQ2AB2MN2

11

这表明MN的方程是y=-t-x-2+t，即t3-x+1-x-y=0，

22

4

1

所以MN恒过点3,-.

2

【点睛】关键点点睛：第二问的关键是用解析几何证明题述引理的正确性，由此即可利用结论法进一步求解.

2.(22-23高二上·贵州贵阳·期末)阅读材料：

22

(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax+Cy+2Dx+2Ey+F=0，则称点P(x0，y0)和

直线l：Ax0x+Cy0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆

x+x

锥曲线方程中，以xx替换x2，以0替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x，y)对应的极

0200

22

xyx0xy0y

线方程.特别地，对于椭圆+=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1；对于双曲线

a2b2a2b2

22

xyx0xy0y2

-=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为-=1；对于抛物线y=2px，与点P(x0，y0)

b2b2a2b2

对应的极线方程为y0y=px0+x.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

(二)极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；

③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

x2y23

(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点

a2b22

P对应的极线方程；

1

(2)已知Q是直线l：y=-x+4上的一个动点，过点Q向(1)中椭圆C引两条切线，切点分别为M，

2

N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明

理由.

x2y2

【答案】(1)+=1，x-4=0

164

(2)存在，x+2y-4=0

【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b，即可求解；

(2)利用代数法证明点Q在椭圆C外，则点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.

根据题意中的概念求出点Q对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点T(2,1)，利用点差法求出直线的斜

率，即可求解.

x2y2

【详解】(1)因为椭圆+=1(a>b>0)过点P(4,0)，

a2b2

4202c3

则+=1，得a=4，又e==，

a2b2a2

所以c=23，所以b2=a2-c2=4，

x2y2

所以椭圆C的方程为+=1.

164

4x0×y

根据阅读材料，与点P对应的极线方程为+=1，即x-4=0；

164

5

(2)由题意，设点Q的坐标为(x0,y0)，

11

因为点Q在直线y=-x+4上运动，所以y=-x+4，

2020

2y2

x+=1

联立164，得x2-8x+24=0，

1

y=-2x+4

Δ=64-4×24=-32<0，该方程无实数根，

1

所以直线y=-x+4与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，

2

又QM，QN都与椭圆C相切，

所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.

22

xyx0xy0y

对于椭圆+=1，与点Q(x,y)对应的极线方程为+=1，

16400164

1x0xy0y

将y=-x+4代入+=1，整理得xx-2y+16y-16=0，

0201640

又因为定点T的坐标与x0的取值无关，

x-2y=0x=2

所以，解得，

16y-16=0y=1

所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.

当MT=TN时，T是线段MN的中点，

设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN的斜率为k，

22

x1y1

+=1y-yx+x

则164，两式相减，整理得2141242×21，即1，

22=-⋅=-⋅=-k=-

x2y2x2-x116y1+y2162×122

16+4=1

1

所以当MT=TN时，直线MN的方程为y-1=-x-2，即x+2y-4=0.

2

3.(23-24高二下·广东深圳·期中)阅读材料：(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2

+2Dx+2Ey+F=0，则称点P(x0,y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0是圆锥

x+x

曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以xx替换x2，以0替换x；以yy替换

020

22

2y0+yxy

y，以替换y，即可得到P(x0,y0)对应的极线方程.特别地，对于椭圆+=1，与点P(x0,y0)

2a2b2

22

x0xy0yxyx0x

对应的极线方程为+=1；对于双曲线-=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为-

a2b2b2b2a2

y0y2

=1；对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=px0+x.即对于确定的圆锥曲

b2

线，每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上

时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线

的切点所在的直线(即切点弦所在直线)；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处

x2y2

的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆G：+=1.

42

1

(1)点P是直线l：y=-x+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否

2

6

存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.

(2)点P在圆x2+y2=4上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最大值.

【答案】(1)存在，x+2y-3=0

(2)2

【分析】(1)根据给定条件，判断直线l与椭圆G的位置关系，求得点P对应的极线方程，进而求出定点T，再

利用点差法求解即得.

(2)求出极线方程，并与椭圆方程联立求出弦长AB及点P到直线AB的距离，进而求得三角形面积的函数

关系，利用导数求出最大值即得.

11

【详解】(1)设点P(x,y)，由点P在直线y=-x+2上运动，得y=-x+2，

002020

y=-1x+2

222

由2消去y并整理得3x-8x+8=0，显然Δ=8-4×3×8<0，

x2y

4+2=1

1

即此方程组无实数解，于是直线y=-x+2与椭圆G相离，即点P在椭圆G外，

2

又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线，

22

xyx0xy0y

对于椭圆+=1，与点P(x,y)对应的极线方程为+=1，

420042

1x0xy0y

将y=-x+2代入+=1，整理得xx-y+4y-4=0，

020420

x-y=0x=1

显然定点T的坐标与x的取值无关，即有，解得，所以存在定点T(1,1)恒在直线MN上，

04y-4=0y=1

当MT=TN时，T是线段MN的中点有在椭圆G内，设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN的斜率为k，

22

x1y1

+=1y-yx+x

则42，两式相减并整理得21212221，即1，

22=-⋅=-⋅=-k=-

x2y2x2-x14y1+y24222

4+2=1

1

所以当MT=TN时，直线MN的方程为y-1=-x-1，即x+2y-3=0.

2

xxyy

(2)由(1)知直线AB的方程为0+0=1，由题意知y≠0，

420

yy

x0x+0=1

422222

由2消去y并整理得：x+2yx-8xx+16-8y=0，

x2y0000

4+2=1

2222224

而x0+y0=4，则Δ1=64x0-4x0+2y016-8y0=32y0>0，

8x8x16-8y2

设，，则00，0，

Ax3,y3Bx4,y4x3+x4=22=2x3x4=2

x0+2y0y0+4y0+4

2242

x4+3y32y2y024+3y0

所以0200，

AB=1+2x3+x4-4x3x4=2×22=2

4y04y0y0+4y0+4

7

22

x+2y-4y2

点P到直线AB的距离为：d=00=0，

222

x0+4y04+3y0

33

2y2y

因此面积10，当时，令0，

△PABS=ABd=2,y0≠00<y0≤2fy0=2

2y0+4y0+4

4

2y+12

求导得0，即在单调递增，则的最大值为，

f′y0=22>0fy00,2fy0f2=2

y0+4

由对称性可知当-2≤y0<0时，fy0的最大值也为2，

所以△PAB面积的最大值为2.

【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端

点坐标，代入曲线方程作差求解.

2y2

湖南长沙三模已知椭圆x的左、右焦点分别为、，为上顶点，离

4.(2024··)C:2+2=1a1>b1>0F1F2B

a1b1

122

心率为，直线BF与圆4x+4y-3=0相切.

22

(1)求椭圆C的标准方程;

22

xyx0xy0y

(2)椭圆方程Γ:+=1a>b>0，平面上有一点Px0，y0.定义直线方程l:+=1是椭

a2b2a2b2

圆Γ在点Px0，y0处的极线.

①若Px0，y0在椭圆C上，证明:椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线;

②若过点P-4，0分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X、Y，割线交椭圆C于M、N两

点，过点M、N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明:Q、X、Y三点共线.

x2y2

【答案】(1)+=1

43

(2)①证明见解析；②证明见解析

c11b1c13222

【分析】(1)由题意得=，=，再结合a1=b1+c1，从而可求出a1,b1，进而可求出椭圆C的

a2222

1b1+c1

标准方程；

x0xy0y

(2)①由定义可知椭圆C在点Px0，y0处的极线方程为+=1，然后分y0=0和y0≠0两种情况

43

证明；②设点Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，然后由①可得过点M的切线方程和过点N的切线方程，则可求

出割线MN的方程，同时可求出切点弦XY的方程，从而可证得结论.

cb

【详解】由已知11，，则1

(1)=F1(-c1,0),F2(c1,0),B(0,b1)kBF2=-

a12c1

b1

所以直线BF2:y=-x+b1，即b1x+c1y-b1c1=0，

c1

8

223b1c1b1c13

该直线与圆x+y=与相切，则==，

422a2

b1+c11

所以解得b1=3，a1=2,c1=1，

x2y2

故椭圆C的标准方程为+=1

43

x2y2

(2)①由(1)得椭圆C的方程是+=1.

43

22

x0y022

因为Px0，y0在椭圆C上，所以+=1，即3x0+4y0-12=0，

43

x0xy0y

由定义可知椭圆C在点Px0，y0处的极线方程为+=1，

43

当y0=0时，x0=±2，此时极线方程为x=±2，所以P处的极线就是过点P的切线，

x0xy0y3x03

当y0≠0时，极线方程为+=1，即y=-x+，

434y0y0

3x03

y=-x+2

4y0y09x0218x036

由，得+3x-x+-12=0，

x2y2222

4y0y0y0

4+3=1

18x29x236(3x2+4y2-12)

所以003600，

Δ=-2-42+32-12=2=0

y04y0y0y0

所以P处的极线就是过点P的切线，

综上所述，椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线;

②设点Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，

xxyy

由①可知，过点M的切线方程为l:1+1=1，

143

xxyy

过点N的切线方程为l:2+2=1，

243

x1x0y1y0

4+3=1

因为l1，l2都过点Qx0，y0，所以有，

x1x0y1y0

4+3=1

xxyy

则割线MN的方程为l:0+0=1，

043

-4x

同理可得过点P-4，0的两条切线的切点弦XY的方程为l3:=1，即x=-1，

4

-4x0

又因为割线MN过点P-4，0，代入割线方程得=1，即x0=-1，

4

所以Q,X,Y三点共线，都在直线x=-1上．

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线，考查椭圆中

点共线问题，解题的关键是合理利用过椭圆上一点的切线方程的定义，考查计算能力，属于较难题.

考点二、极点极线在圆锥曲线中的应用

1.(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,

3

B,-1两点．

2

(1)求E的方程；

(2)设过点P1,-2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H

9

满足MT=TH．证明：直线HN过定点．

y2x2

【答案】(1)+=1

43

(2)(0,-2)

【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；

(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

223

【详解】(1)解：设椭圆E的方程为mx+ny=1，过A0,-2,B,-1，

2

4n=111

则9，解得m=，n=，

4m+n=134

y2x2

所以椭圆E的方程为：+=1.

43

32

(2)A(0,-2),B,-1，所以AB:y+2=x，

23

x2y2

①若过点P(1,-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入+=1，

34

26262

可得M1,-，N1,，代入AB方程y=x-2，可得

333

2626

T-6+3,-，由MT=TH得到H-26+5,-.求得HN方程：

33

26

y=2+x-2，过点(0,-2).

3

②若过点P(1,-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2).

kx-y-(k+2)=0

22

联立x2y2,得(3k+4)x-6k(2+k)x+3k(k+4)=0，

3+4=1

6k(2+k)-82+k

x+x=y+y=

123k2+4123k2+4

可得，2，

3k(4+k)44+4k-2k

x1x2=2yy=

3k+4123k2+4

-24k

且x1y2+x2y1=(*)

3k2+4

y=y13y

联立可得1

2,T+3,y1,H(3y1+6-x1,y1).

y=3x-22

y1-y2

可求得此时HN:y-y2=(x-x2)，

3y1+6-x1-x2

将(0,-2)，代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，

将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

x2y22

2.(北京·高考真题)已知椭圆C：+=1a>b>0的离心率为，点P0，1和点

a2b22

Am，nm≠0

10

都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；

(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得

∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2

x2m

【答案】(Ⅰ)+y=1，M,0；(Ⅱ)存在点Q(0，±2)．

21-n

22

xy2122

【详解】(Ⅰ)由于椭圆C：+=1a>b>0过点P0，1且离心率为，=1,b=1,e=

a2b22b2

2222

ca-b112x2

==1-=，a=2，椭圆C的方程为+y=1.

a2a2a222

n-1mm

∵P(0,1),A(m,n),直线PA的方程为：y=x+1，令y=0,x=，∴M,0；

m1-n1-n

1+n

(Ⅱ)∵P(0,1),B(m,-n)，直线PB的方程为：y=x+1，直线PB与x轴交于点N，令y=0,x=

m

mm

，则N,0.

1+n1+n

设Q(0,y0)

m

1-nmy0y0(1+n)

tan∠OQM==,tan∠ONQ==,

m

y0(1-n)y0m

1+n

∵∠OQM=∠ONQ,∴tan∠OQM=tan∠ONQ,

y(1+n)22