初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题24 相交线与平行线

专题二十四相交线与平行线引言：平面几何的基石同学们，我们已经迈入了平面几何的奇妙世界。在这个世界里，最基本的图形就是点、线、角。而"相交线与平行线"这一专题，正是我们构建平面几何知识大厦的第一块重要基石。它不仅是我们后续学习三角形、四边形等复杂图形的基础，其中蕴含的"转化"、"数形结合"等思想方法，更是解决各类几何问题的钥匙。在数学竞赛中，与相交线、平行线相关的角度计算、位置关系判定以及几何推理题目屡见不鲜，并且常常与其他知识巧妙结合。因此，深刻理解并灵活运用本专题的知识，对我们数学能力的提升至关重要。一、知识梳理：核心概念与性质1.1相交线与对顶角、邻补角当两条直线在同一平面内相遇时，我们称它们为相交线。它们相交的点叫做交点。*邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角，互为邻补角。邻补角的和为180度。*对顶角：两条直线相交后，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质是对顶角相等。这里需要特别注意的是，邻补角不仅强调数量上的互补（和为180°），更强调位置上的相邻（有一条公共边，另一边互为反向延长线）。而对顶角则更强调位置的特殊性，其相等的性质是由相交线的定义直接推导出来的。1.2垂线及其性质如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。*垂线的性质：1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（"有且只有"体现了存在性与唯一性）2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。垂线的概念是后续学习三角形高线、点到直线距离等知识的基础，其性质在解决最短路径问题时也有着广泛的应用。1.3平行线的概念与平行公理在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。*平行公理的推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。也就是说，如果a∥b，b∥c，那么a∥c。理解平行线的概念，要抓住"在同一平面内"和"不相交"两个关键条件。在空间中，不相交的直线不一定平行，但在初中阶段，我们主要研究平面几何。1.4平行线的判定与性质这是本专题的核心内容，也是同学们需要重点掌握和灵活运用的部分。*平行线的判定方法（由角的关系推导出线平行）：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线平行。（即平行公理的推论）5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。*平行线的性质（由线平行推导出角的关系）：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相等。3.两直线平行，同旁内角互补。判定与性质的联系与区别：平行线的判定是"由因导果"，即从已知的角的关系（因）出发，推出两直线平行（果）；而平行线的性质则是"由果索因"，即已知两直线平行（果），得出角之间的数量关系（因）。在解题时，要明确题目的已知条件和求证目标，准确选择使用判定还是性质。这是初学者极易混淆的地方，需要通过练习仔细体会。二、重点与难点突破2.1对顶角、邻补角的识别与计算这类问题通常比较基础，但需要同学们在复杂图形中准确辨认出对顶角和邻补角。关键在于找到两条直线相交的基本图形，排除其他线条的干扰。计算时，要充分利用对顶角相等和邻补角互补的性质。2.2垂线性质的应用特别是"垂线段最短"这一性质，常与实际问题相结合，例如求最短路径、高度、距离等。理解"点到直线的距离"的定义是应用此性质的前提。2.3平行线判定与性质的综合运用这是本专题的难点所在。往往需要我们结合已知条件，灵活交替使用判定定理和性质定理。例如，要证明两条直线平行，可能需要先通过已知的平行关系（性质）得到角的关系，再用这个角的关系去判定其他直线平行。或者，已知某些角的关系，判定平行后，再利用平行线的性质去求其他角的度数。关键技巧：在图形中标出已知角和未知角，根据平行线的判定和性质，找出它们之间的联系。如果图形中没有直接的截线或平行线，可以考虑添加辅助线。三、辅助线添加技巧与典型例题分析在解决与平行线相关的复杂角度计算或证明题时，添加适当的辅助线往往能起到"柳暗花明"的效果。3.1作平行线（构造"三线八角"基本图形）当题目中出现平行线，但所求角或已知角没有直接被第三条直线所截时，可以通过过"拐点"作已知直线的平行线，从而构造出同位角、内错角或同旁内角，利用平行线的性质解决问题。例题1：如图，已知AB∥CD，点E是平面内一点（点E不在AB、CD上），连接BE、DE。若∠ABE=130°，∠CDE=120°，求∠BED的度数。分析：点E的位置不确定，可能在AB、CD的上方、下方或内部。我们需要分情况讨论。这里我们以点E在AB、CD之间为例进行分析。由于AB和CD平行，但BE和DE是两条折线，无法直接应用平行线性质。过点E作AB的平行线EF，根据平行公理的推论，EF也平行于CD。这样就将∠BED分成了两个角，分别与∠ABE和∠CDE构成同旁内角。解答：（以点E在AB、CD之间为例）过点E作EF∥AB。因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）。因为EF∥AB，所以∠ABE+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。已知∠ABE=130°，所以∠BEF=180°-130°=50°。同理，因为EF∥CD，所以∠CDE+∠DEF=180°。已知∠CDE=120°，所以∠DEF=180°-120°=60°。因此，∠BED=∠BEF+∠DEF=50°+60°=110°。（若点E在AB、CD同侧，方法类似，结果会不同，同学们可以自行尝试。）点评：过"拐点"作平行线是解决此类"折线"问题的常用策略，它能将复杂图形分解为我们熟悉的"三线八角"基本图形，从而利用平行线的性质进行角的转化与计算。3.2构造截线有时，题目中给出了一些角的关系，但缺乏明显的平行线或截线，这时可以通过连接两点或延长某条线段，构造出能应用平行线判定或性质的截线。例题2：如图，已知∠B+∠D=∠BED，求证：AB∥CD。分析：要证AB∥CD，我们需要找到相关的角的关系。已知∠B+∠D=∠BED，这个等式中的三个角都与点E有关。我们可以尝试过点E作一条直线，将∠BED分成两个角，使其分别与∠B和∠D相等或互补，从而构造出平行线的判定条件。证明：过点E作EF∥AB。所以∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）。因为∠BED=∠BEF+∠FED，且∠B+∠D=∠BED，所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED。又因为∠B=∠BEF，所以∠D=∠FED。因此，EF∥CD（内错角相等，两直线平行）。又因为EF∥AB，所以AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。点评：本题通过作一条平行线，将一个角拆分成两个角，巧妙地将已知条件与平行线的判定联系起来，体现了"转化"的数学思想。四、方法总结与点拨1.数形结合：几何问题离不开图形。在解题时，一定要认真画图，并将已知条件和推导得出的结论在图形上清晰地标示出来，有助于直观地发现角与角、线与线之间的关系。2.模型思想：熟悉"相交线"、"平行线被截线所截"等基本图形模型，在复杂图形中能够快速识别和分离出这些基本模型，是解决问题的关键。例如"对顶角模型"、"邻补角模型"、"三线八角模型"。3.转化思想：将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题。例如，通过添加辅助线，将不明显的角的关系转化为明显的同位角、内错角或同旁内角的关系。4.分类讨论思想：当图形的位置关系不唯一时（如例题1中点E的位置），要考虑不同情况，进行分类讨论，避免漏解。5.正向思维与逆向思维相结合：从已知条件出发，看能推出什么结论（综合法）；从要证的结论出发，看需要什么条件（分析法）。两者结合，往往能更快找到解题思路。五、总结与展望相交线与平行线是平面几何的入门知识，它为我们后续学习三角形、四边形等平面图形以及更复杂的几何证明打下了坚实的基础。本专题的核心是理解和运用平行线的判定与性质，而辅助线的添加则是解决复杂问题的重要手段。同学们在学习过程中，要注重理解概念的本质，而不是死记硬背定理；要多动手画图，在实践中提高识图能力；要通过适量的练习，总结解题规律和技巧，特别注意体会判定与性质的区别和联系，以及辅助线添加的"因势利导"。遇到困难不要轻易放弃，要勇于尝试和思考，几何的魅力就在于当你通过自己的努力攻克一道难题时所获得的成就感。希望通过本专题的学习，同学们能够对平面几何产生浓厚的兴趣，培养严谨的逻辑推理能力和空间想象能力，为未来的数学学习铺平道路。记住，每一个复杂的几何体系都是由这些基本的线条和角构建而成的，打好基础，才能行稳致远。---思考与练习：（此处可根据实际情况设置1-2道综