一次函数的应用中考题汇编

一次函数的应用中考题汇编一次函数作为初中数学的核心内容之一，其应用题型在各地中考试题中占据重要地位。这类题目不仅考察学生对一次函数概念、图像及性质的理解，更注重检验其运用数学知识解决实际问题的能力。本文将结合中考命题特点，对一次函数的常见应用题型进行梳理与解析，以期为同学们的复习备考提供有益参考。一、行程问题中的一次函数应用行程问题是一次函数应用的经典场景，通常涉及路程、速度与时间的关系，或不同对象运动状态的比较。解题的关键在于根据题意，明确变量之间的关系，建立合适的一次函数模型。例题1：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速而行。出发后经过一段时间，两人相遇。相遇后，甲的速度保持不变，乙的速度提高，继续前行。设甲行驶的时间为t，甲、乙两人之间的距离为s，图中折线表示相遇前后s与t之间的函数关系。根据图像信息，解答下列问题：（1）求A、B两地之间的距离；（2）求相遇后，乙的速度比原来提高了多少；（3）求相遇后s与t之间的函数关系式。解析：（1）分析图像可知，当t=0时，s的值即为A、B两地之间的距离。由图可得，A、B两地相距s₀千米。（2）设相遇前甲的速度为v₁千米/小时，乙的速度为v₂千米/小时。根据图像中相遇前的线段，可得出两人速度之和（v₁+v₂）与相遇时间t₁的乘积等于A、B两地距离s₀。相遇后，甲继续行驶至B地，这段时间内甲行驶的路程即为相遇前乙行驶的路程，由此可求出v₂，进而求出v₁。再根据相遇后乙到达A地的时间，结合剩余路程，可求出乙提速后的速度v₂'，从而得出速度提高的值。（3）相遇后，两人距离s的变化取决于他们的相对运动。当乙未到达A地前，s随t的增大而减小；当乙到达A地后，甲继续行驶，s随t的增大而增大。因此，相遇后的函数关系可能是一个分段函数，需要分别求出两段的表达式，并明确各自的自变量取值范围。求解时，需找到关键的时间节点（如乙到达A地的时间）和对应的距离值，利用待定系数法确定函数关系式。点评：本题以图像形式给出信息，要求学生具备从图像中提取有效数据、分析运动过程的能力。解决此类问题，首先要理解横纵坐标的实际意义，明确图像上特殊点（如起点、终点、转折点、交点）所代表的物理情景，然后结合一次函数的表达式和性质进行求解。二、经济生活中的一次函数应用一次函数在经济生活中的应用十分广泛，如购物计费、成本利润、资费套餐选择等。这类问题往往与生活实际紧密相关，需要学生将文字信息转化为数学关系。例题2：某商店销售一种商品，每件的进价为a元。经市场调研发现，当每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件，且y与x之间满足一次函数关系。当售价为某一价格时，销售量为若干件；当售价每降低1元，销售量可增加若干件。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该商店每天销售这种商品的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（若题目中未明确利润最大，可能改为求特定利润下的售价或销量）解析：（1）通常题目会给出两组（x，y）的对应值，或给出一组值及斜率（即售价每变化1元时销售量的变化量）。设y与x的函数关系式为y=kx+b。若已知“售价为m元时，销售量为n件；售价每降低1元，销售量增加p件”，则斜率k=-p（因为售价x降低，销量y增加，故k为负），再将（m，n）代入即可求出b，从而得到y与x的函数关系式。注意自变量x的取值范围，需满足实际意义，如x≥a（售价不低于进价），且y≥0。（2）利润w等于每件的利润乘以销售量，即w=(x-a)y。将（1）中求得的y的表达式代入，即可得到w关于x的函数关系式。这通常是一个二次函数，但如果题目中y与x是一次函数关系，且问题仅涉及一次函数的性质（如比较不同方案的优劣，而非最值），则w也可能是一次函数。若为二次函数求最值，可通过配方或利用顶点坐标公式求解，并检验顶点横坐标是否在自变量x的取值范围内。若题目仅要求一次函数表达式，则直接整理即可。点评：解决经济类应用题，首先要明确基本的数量关系，如：利润=（售价-进价）×销量，总费用=单价×数量+固定费用等。其次，要仔细审题，找出题目中的常量与变量，特别是那些影响函数关系的关键描述，如“每增加（或减少）...，则相应地减少（或增加）...”等，这些往往是确定函数斜率的依据。三、几何图形中的一次函数应用在几何图形背景下，当某些元素（如点、线段）运动时，图形的某些性质（如面积、周长、线段长度）会随运动时间或位置的变化而变化，这种变化关系有时可以用一次函数来刻画。例题3：如图，在直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向以一定的速度运动，同时点B从点C出发，沿某一方向以一定的速度运动。设运动时间为t秒，线段AB的长度为d。已知点C的坐标为（c，0）（c为常数），点A、B的运动速度分别为v₁、v₂。（1）若点B沿y轴正方向运动，求d与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若线段AB的长度随t的增大而增大，求v₁、v₂应满足的条件。解析：（1）根据点的运动速度和方向，可以分别表示出t秒后点A和点B的坐标。点A从O(0,0)沿x轴正方向以速度v₁运动，故t秒后A点坐标为(v₁t,0)。点B从C(c,0)沿y轴正方向以速度v₂运动，故t秒后B点坐标为(c,v₂t)。根据两点间距离公式，AB的长度d=√[(v₁t-c)²+(0-v₂t)²]。若题目所求为d与t的一次函数关系，则开方后表达式需为一次，这通常意味着根号内的二次表达式是一个完全平方式，或者题目可能并非直接求距离，而是求其他可表示为一次函数的量，如某图形的面积。此处需特别注意题目条件，若原题确实为距离，则可能我的假设运动方向有误，或题目另有隐含条件使d为t的一次函数。例如，若点B沿x轴负方向运动，则A(v₁t,0)，B(c-v₂t,0)，此时d=|v₁t-(c-v₂t)|=|(v₁+v₂)t-c|，这便是一个关于t的一次函数（绝对值形式）。（2）若d是关于t的一次函数，如d=|kt+b|，要使d随t的增大而增大，则需根据k的正负及t的取值范围来确定。例如，当k>0且(kt+b)≥0时，d=kt+b，单调递增。点评：几何动态问题中的一次函数应用，关键在于“动中求静”，即找出运动过程中不变的量和变化的量，并用含变量（通常是时间t）的代数式表示出相关点的坐标或线段长度，再根据几何图形的性质（如面积公式、勾股定理、相似三角形对应边成比例等）建立函数关系式。特别要注意自变量的取值范围，它通常由图形的几何性质或运动的限制条件决定。四、一次函数的综合应用与方案选择此类问题往往融合了多种知识点，或要求在多个一次函数模型中进行比较、选择最优方案，具有较强的综合性和开放性。例题4：某学校计划组织部分学生参加一项社会实践活动，现有A、B两家旅行社可供选择，它们的服务质量相同，且报价均为每人若干元。经过协商，A旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；B旅行社表示可先免去一位学生的费用，其余学生八折优惠。设参加社会实践活动的学生人数为x人，选择A旅行社所需的总费用为y₁元，选择B旅行社所需的总费用为y₂元。（1）分别写出y₁、y₂与x之间的函数关系式；（2）根据学生人数x，讨论选择哪家旅行社更优惠。解析：（1）设每人的报价为m元（m为常数）。A旅行社：每位学生七五折优惠，所以y₁=0.75mx。B旅行社：免去一位学生费用，其余八折，所以y₂=0.8m(x-1)。（2）比较y₁与y₂的大小：当y₁<y₂时，0.75mx<0.8m(x-1)。由于m>0，两边同时除以m得：0.75x<0.8(x-1)，解得x>16。当y₁=y₂时，解得x=16。当y₁>y₂时，解得x<16。因此，当学生人数多于16人时，选择A旅行社更优惠；当学生人数为16人时，两家旅行社费用相同；当学生人数少于16人时，选择B旅行社更优惠。点评：方案选择问题的核心是建立不同方案的函数模型，然后通过比较函数值的大小来确定最优方案。通常通过解不等式或方程找到分界点，再根据自变量的取值范围进行分段讨论。这类题目紧密联系生活实际，能很好地考察学生分析问题和解决问题的能力。总结与提升一次函数的应用题型多样，但万变不离其宗。解决这类问题，首先要深刻理解一次函数的概念（y=kx+b，k≠0），掌握其图像（直线）和性质（k的正负决定增减性，b为与y轴交点纵坐标）。其次，要具备良好的阅读理解能力，能从实际问题中抽象出数学模型，明确自变量和因变量，并根据题目条件准确列出函数关系式。在求解过程中，要注意以下几点：1.明确变量意义：清楚x、y分别代表什么实际量，单位是否统一。2.找对等量关系：根据实际问题中的数量关系（如路程=速度×时间，利润=收入-成本等）建立函数。3.确定函数表达式：利用待定系数法（已知两点坐标或一组x、y值及k/b）求出函数解析式。