余弦定理-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．4.3余弦定理、正弦定理明确目标发展素养1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养第一课时余弦定理知识点余弦定理(一)教材梳理填空1．余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有[微思考]勾股定理和余弦定理有什么关系？提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．2．解三角形的定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做

．元素解三角形(二)基本知能小试1．判断正误：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．(

)(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．

(

)(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．

(

)√√×答案：C题型一已知两边和一角解三角形

【学透用活】1．已知边a，b和角C.2．已知边a，b和角A.[深化探究]给定两边及一角的三角形是唯一确定的吗？提示：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的；两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，这说明给定两边及其一边的对角的三角形有可能是不唯一的．[方法技巧]已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．

题型二已知三边解三角形

【学透用活】已知边a，b，c.[方法技巧]已知三角形的三边求角的基本步骤【学透用活】[典例3]在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinA＝2sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．[方法技巧]判断三角形形状的基本思想和两条思路基本思想判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想两条思路化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式【对点练清】在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1.在△ABC中，已知∠BAC＝α，AC＝b，AB＝c，建立如图所示的平面直角坐标系，利用两点间的距离公式计算BC2，并由此证明余弦定理．解：在△ABC中，∵∠BAC＝α，AB＝c，AC＝b，∴B(ccosα，csinα)，C(b,0)，∴BC2＝(ccosα－b)2＋(csinα－0)2＝c2(cos2α＋sin2α)－2bccosα＋b2＝c2＋b2－2bccosα.证明：在△ABC中，易知B(ccosA，csinA)，C(b,0)，则a2＝(ccosA－b)2＋(csinA－0)2＝c2(cos2A＋sin2A)－2bccos