正弦定理-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第二课时正弦定理知识点正弦定理(一)教材梳理填空1．正弦定理的表示：[微思考]已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？提示：(1)已知两角及其中一角的对边．(2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角．(3)已知两边及一边的对角．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)正弦定理只适用于锐角三角形．

(

)(2)正弦定理不适用于直角三角形．

(

)(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．

(

)(4)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝BC∶AC∶AB. (

)××√√2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______．[方法技巧]已知两角及一边解三角形的策略(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[提醒]

若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．

(2)已知角A及a，b时，你能写出△ABC解的情况吗？提示：三角形解的个数的判断方法如下[方法技巧]已知两边及一边的对角解三角形的步骤(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论．

题型三正、余弦定理的综合应用

【学透用活】[方法技巧]利用正、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解此类题的关键．

【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.证明：在△ABC中，sinA＝sin[180°－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.由正弦定理，角化边可得a＝bcosC＋ccos B．同理可得b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.说明：上述结论称为三角形中的射影定理，应用此结论，可以快速解决三角形中的射影定理为背景的选择题和填空题．[应用一]设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为

(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形

D．不确定解析：由射影定理，得bcosC＋ccosB＝a，则a＝asinA，于是sinA＝1，即A＝90°，所以△ABC的形状为直角三角形．答案：B

二、应用性——强调学以致用2.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡