基于核心素养的初中数学“立方体展开图”探究式教学设计

基于核心素养的初中数学“立方体展开图”探究式教学设计一、教学内容分析

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域，具体涉及“图形的认识”与“图形的变化”两个主题。课标明确要求通过实例，了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，这不仅是将三维空间图形转化为二维平面图形的重要认知桥梁，更是发展学生空间观念、几何直观等核心素养的关键载体。从知识图谱看，学生在小学已初步认识长方体、正方体等立体图形，本节课的“展开图”是对立体图形认识的深化与精细化，它上承“立体图形的初步认识”，下启“三视图”、“立体图形的表面积计算”，在单元知识链中处于枢纽地位。过程方法上，本节课蕴含了“动手操作—观察猜想—归纳验证—抽象建模”的完整探究路径，是培养学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的典型课例。其育人价值在于，通过从不同角度“拆解”与“重构”立方体的过程，引导学生体验数学的对称美、有序美，培养其严谨求实的科学态度和敢于尝试、协作分享的探索精神。

学情方面，初中学生正处于空间想象能力发展的关键期，对动手操作充满兴趣，具备一定的观察、归纳能力。其已有基础是熟悉立方体的基本特征（6个面、8个顶点、12条棱），生活经验中接触过商品包装盒。可能的认知障碍在于：难以在二维平面想象三维结构，易混淆相对面与相邻面的空间关系，在归纳展开图种类时易产生遗漏或重复。为此，教学将通过“实物模型操作”与“动态几何软件演示”相结合的方式，化抽象为具体，搭建认知脚手架。课堂中，我将通过设置分层探究任务、观察学生操作流程、倾听小组讨论观点、分析随堂练习错误等形成性评价手段，动态诊断学情。针对不同层次的学生，预设支持策略：对基础薄弱学生，提供标有面、顶、棱的实体模型和步骤引导卡；对多数学生，鼓励自主探究与小组互学；对学有余力者，提出挑战性问题，引导其探寻展开图的组合规律与数学本质。二、教学目标

1.知识目标：学生能准确陈述立方体展开图的概念，理解“展开”的实质是将立体图形各面平移至同一平面且无重叠。能识别常见立方体展开图的正确性，并能在给定的展开图中快速判断面与面的相对或相邻位置关系，为后续表面积计算奠定坚实的认知基础。

2.能力目标：通过剪、折立方体模型和绘制展开图，学生动手操作与空间想象能力得到协同发展。能够经历从具体操作到抽象归纳的过程，尝试对十一种展开图进行合理分类，并运用“动手验证”与“逻辑推理”（如“相对面不相邻”原则）相结合的方法解决相关判断问题。

3.情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能积极倾听同伴意见，敢于表达自己的猜想，体验合作学习的乐趣与价值。通过欣赏展开图多样的排列形式，感受几何图形的秩序美与变化美，激发对数学图形世界的好奇心与探究欲。

4.学科思维目标：重点发展学生的空间观念与模型思想。引导学生在“立体”与“平面”的相互转化中建立空间表象，学会用“分类讨论”的思想方法系统研究数学对象（展开图的所有可能情况），初步体会“化归”思想（将立体问题转化为平面问题解决）。

5.评价与元认知目标：学生能依据“展开图是否可折叠为无盖立方体”的简易标准，对同伴绘制的图形进行初步判断。在课堂小结环节，能回顾学习过程，反思“操作”与“想象”各自的作用，以及“分类”对于解决问题的意义，初步形成优化学习策略的意识。三、教学重点与难点

教学重点：立方体展开图的概念，以及展开图与立体图形之间面、棱的对应关系。确立依据在于，这是课标要求的核心知识点，是连通三维与二维认知的枢纽，也是解决所有相关问题的逻辑起点。从能力立意看，中考中常以展开图为背景考查空间想象与推理能力，理解这一对应关系是准确解题的关键。

教学难点：学生空间观念的建立与展开图所有可能情况的系统归纳。难点成因在于，这需要学生在头脑中完成从静态平面到动态折叠过程的想象，认知跨度大。常见错误表现为判断展开图正误时凭感觉、分类归纳时逻辑混乱导致遗漏。突破方向在于提供丰富的实物操作体验，并借助信息化手段将折叠过程可视化，同时引导学生发现展开图中面的排列规律，从而有序思考。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件、交互式电子白板、几何画板（或类似动态几何软件）制作的立方体展开与折叠动画、实物展示台。1.2学具与材料：足够数量的可展开立方体纸模型（每组至少2个）、剪刀、胶带、标有不同图案或字母的立方体展开图任务卡（分层）、课堂探究学习单。2.学生准备2.1知识预备：复习立方体的基本特征（面、棱、顶点数）。2.2物品准备：直尺、彩笔、便利贴。3.环境布置3.1座位安排：四人或六人小组围坐，便于合作探究与交流。3.2板书记划：预留核心概念区、探究成果展示区（用于粘贴小组发现的展开图）、规律总结区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动

（教师手持一个立方体包装盒）“同学们，请看这个立方体模型。如果我们想要不破坏它的面，把它‘拆开’成一个平面图形，可能会是什么样子呢？这个拆开的过程，在数学上我们称之为‘展开’。那么，一个立方体到底有多少种不同的展开方式？这些展开图又有什么规律可循呢？”（出示一个制作粗糙、无法折叠成完整立方体的平面图形）“大家看，这是我课前尝试剪出来的一个图形，它能不能折叠回原来的立方体呢？我们怎么判断？”2.明晰路径与联系旧知

“今天，我们就化身‘几何拆解师’，通过动手操作、大胆猜想和小心求证，来揭开立方体展开图的所有秘密。我们将首先通过剪一剪来感受，然后一起找规律、做分类，最后练就一双‘火眼金睛’，能快速判断任意平面图形是不是立方体的‘真命’展开图。要完成这个任务，离不开我们对立方体——这个老朋友的基本特征（面、棱、顶点）的清晰认识。”第二、新授环节任务一：动手操作，初识“展开”教师活动：首先，分发可展开的立方体纸模型，明确操作要求：“请每个小组沿着一些棱剪开你们手中的立方体，注意尽量不要把各个面剪散，尝试将它平铺在桌面上，得到一个完整的平面图形。”巡视指导，关注学生的剪切路径。然后，邀请不同剪切方式的小组上台展示他们的成果，并将不同的展开图贴在黑板的“成果展示区”。引导提问：“虽然剪开的棱不同，得到的图形形状各异，但这些图形有什么共同特点，使得它们都能来自同一个立方体？”学生活动：以小组为单位，动手剪切立方体模型，小心地将它铺平成平面图形。观察本组及其他小组得到的展开图，思考并讨论老师的提问，尝试用语言描述共同特征（如：都由6个正方形组成，这些正方形之间通过边相连，没有面重叠等）。即时评价标准：1.操作规范性：能否沿棱剪开，并保持各面完整连接。2.观察与描述：能否准确说出展开图由6个正方形组成这一核心特征。3.协作交流：小组内分工是否明确，能否共同完成操作与讨论。形成知识、思维、方法清单：★1.立方体展开图定义：将一个立方体沿某些棱剪开，铺成一个平面图形，这个平面图形叫做该立方体的展开图。▲教学提示：强调“沿棱剪开”和“铺成平面”两个关键动作，这是与截面、投影等其他变换方式的区别。★2.核心特征：一个立方体的展开图必定由六个完全相同的正方形组成，且这六个正方形之间必须通过边（棱）相连，不能有重叠。★3.方法体验：动手操作是研究立体图形问题最直观、最有效的方法之一，能帮助我们将抽象的空间关系具体化。“大家看，原来一个立方的盒子，可以‘变身’成这么多种不同的平面图案！”任务二：观察归纳，发现“邻”“对”关系教师活动：指着黑板上几个典型的展开图，引导学生观察：“请大家聚焦其中一个正方形（面），看看在展开图中，与它有一条公共边的面有哪些？这些面在原来的立方体中，和它是什么位置关系？”（相邻关系）再问：“那么，在展开图中，有没有哪个面与它既没有公共边，也不在同一行或列直接相连？这样的面在立方体中又是什么关系？”（相对关系）。总结：“看来，展开图不仅展示了面的形状和数量，还‘隐藏’着面与面之间的位置密码。”学生活动：选择一个具体的展开图，用手指或笔尖追踪面的连接关系。找出指定面的所有相邻面，并尝试找到它的相对面。通过多个展开图的观察，初步归纳：在展开图中，有一条公共边的两个面是相邻面；而相对的面在展开图中必定是被其他面隔开，不会相邻。即时评价标准：1.概念辨识：能否正确指出给定面的相邻面与相对面。2.规律归纳：能否从多个实例中初步总结出“相对面在展开图中不相邻”的规律。3.语言表达：能否使用“相邻棱”、“相对面”等术语进行描述。形成知识、思维、方法清单：★4.面的两种关系：在立方体及其展开图中，面与面的关系分为相邻（有一条公共棱）和相对（没有公共棱，且互相平行）。▲易错警示：在展开图中，仅凭视觉上的“相隔”不一定就是相对，必须确保在任何路径下两个面都没有公共边。★5.核心原理（一）：相对的两个面在展开图中必定不相邻，且通常被一行或一列的其他面隔开。这是后续判断展开图真伪和进行快速推理的重要依据。“记住这个‘秘密法则’，它可是我们的‘打假’利器！”任务三：动态验证，深化空间想象教师活动：利用几何画板动态演示一个立方体的标准展开与折叠过程，可反复播放、暂停。“请大家仔细观察，当立方体展开时，每一个面是如何‘移动’到平面位置上的？哪些棱被‘剪开’了？哪些棱是折叠的‘关节’？”接着，出示几个有争议的平面图形（如“田”字形、“凹”字形），先让学生猜想能否折叠成立方体，然后用动画进行验证。“看来，仅靠观察静态图形有时会出错，在脑子里模拟一下动态折叠过程很重要。”学生活动：集中观看动态演示，尝试在脑海中同步想象折叠与展开的过程。对教师出示的易错图形进行小组讨论和猜想，并聚精会神地观看验证动画，当结果与猜想不符时，反思自己空间想象过程的偏差在哪里。即时评价标准：1.专注与联想：观看动画时是否积极尝试建立动态的空间表象。2.猜想与修正：能否基于已有知识提出合理猜想，并乐于根据验证结果修正自己的认知。3.方法认同：是否认识到动态演示和空间想象对解决此类问题的辅助价值。形成知识、思维、方法清单：★6.核心原理（二）：一个平面图形能否折叠成立方体，关键在于其能否通过空间的折叠，使得六个正方形围成一个封闭的立体图形，且每个顶点处汇聚三个面。▲方法提升：当静态观察难以判断时，可以尝试在头脑中模拟动态折叠过程，或者借助实物操作、软件演示进行验证。这是培养空间观念的关键训练。★7.思维方法：从多角度（操作、观察、想象、演示）认识和研究同一个数学对象，能使我们的理解更加全面和深刻。任务四：合作探究，尝试分类归纳教师活动：提出挑战性任务：“黑板和同学们手中已经有了不少展开图，它们看起来五花八门。数学家喜欢秩序，我们能否尝试给这些展开图分分类，让它们变得有条理？”提供思维脚手架：“大家可以观察，这些展开图中，正方形的排列有什么特点？比如，最多的一排（行）有几个正方形？一共有几行？”引导学生从“行”的角度进行初步分类。学生活动：小组合作，观察收集到的各种展开图，尝试按一定的标准（如正方形的排列行数、每行正方形的个数）进行分类。将本组发现的类型画在学习单上，并准备汇报分类标准和结果。可能会发现“141型”、“231型”、“222型”、“33型”等常见类型。即时评价标准：1.分类标准合理性：提出的分类标准是否清晰、可操作。2.分类完整性：在既定标准下，分类是否涵盖所发现的案例，有无遗漏。3.团队协作：小组成员是否全员参与观察、讨论与记录。形成知识、思维、方法清单：★8.常见展开图类型：通过分类，可以系统地认识立方体展开图的主要类型，如141型（6种）、231型（3种）、222型（1种）、33型（1种）等，合计11种。▲认知说明：分类的目的不是为了记忆11种图形，而是掌握一种有序思考问题的方法，理解展开图的变化并非杂乱无章。“瞧，一旦我们找到了‘行’这个观察角度，杂乱无章的图形就变得井然有序了。”任务五：应用规律，解决逆向问题教师活动：出示标有不同数字或图案的立方体展开图，提出问题：“这是一个立方体的展开图，如果我们将它折叠起来，那么与数字‘1’相对的面是哪个？与‘2’相邻的面又有哪些？”引导学生运用之前发现的“相对面不相邻”等规律进行推理，而非仅仅依赖想象。可以设置一个快速抢答环节，巩固此推理技能。学生活动：分析给定的展开图，运用“找相对面”和“标相邻面”的策略解决教师提出的问题。在抢答中，快速应用规律进行判断，并简要说明推理依据。即时评价标准：1.规律应用准确性：能否正确运用“相对面判定法”解决问题。2.推理表述清晰性：能否清晰地说明自己的判断步骤和依据。3.反应与迁移：能否在略有变化的图形中快速迁移应用所学规律。形成知识、思维、方法清单：★9.逆向还原策略：已知展开图推断立体图关系时，核心策略是：先找相对面，再定相邻面。可以利用“Z”字型两端法（在同一行或列中，中间隔一个面的两个面通常相对）等技巧快速定位。★10.解题规范：解决此类问题时，应养成先分析图形结构，再应用逻辑推理的习惯，减少对纯空间想象的过度依赖。这不仅提高准确率，也锻炼了逻辑思维能力。“看，掌握了规律，我们甚至不需要动手折，用推理就能当‘神算子’！”第三、当堂巩固训练

设计分层练习，所有学生完成“学习单”上的题目。

A层（基础应用）：判断给定的四个简单平面图形是否为立方体展开图。主要考查对核心特征（6个正方形、相连不重叠）的识别。“请大家先独立完成，然后和同桌交换，用‘相对面不相邻’的原则互相检查一下。”

B层（综合推理）：1.给出一个标有A、B、C、D、E、F的“141”型展开图，判断面A的相对面，以及面B的所有相邻面。2.一个立方体展开图，其中一个面标注为“前”，其右侧面标注为“右”，请推断“上”面的位置。此题需要综合运用面的关系和空间方位。

C层（挑战探究）：探究是否存在“十字型”的立方体展开图（即中间一列3个，上下各伸出两个）？为什么？引导学生从“顶点处至少需要三个面汇合”的立体构成原理进行解释，触及更本质的几何原理。

反馈机制：A层练习通过同桌互评、教师抽查快速反馈。B、C层练习通过实物投影展示学生不同的解题思路和答案，由师生共同点评。重点讲评典型错误，如B层题2对方位的误判，强化推理过程的展示。第四、课堂小结

“同学们，今天的‘几何拆解’之旅即将到站。谁来当小老师，用一句话说说你最大的收获？”引导学生从知识、方法、体验等多角度发言。然后，教师引导学生共同构建本节课的思维导图（板书画）：中心是“立方体展开图”，主干延伸出“定义与特征”、“面间关系（邻/对）”、“判断方法（操作、想象、推理）”、“常见分类”、“应用”。“回顾一下，我们是怎么发现这11种类型的？对，是从动手操作开始，然后观察、分类、归纳。这就是研究数学问题的一种常用路径。”

作业布置：必做作业：1.整理课堂笔记，熟记11种展开图类型中的任意5种画法。2.完成教材配套练习中关于展开图判断的基础题。选做作业：1.（拓展）寻找生活中其他直棱柱（如长方体、三棱柱）的包装盒，尝试画出其展开图草图。2.（探究）思考：一个立方体的展开图中，最多可以有多少条棱没有被剪开？（即作为折叠的边）请举例说明。“选做题是为感兴趣的探险家准备的，期待下次课分享你们的发现！”六、作业设计

基础性作业（必做）：1.概念梳理：书面陈述立方体展开图的定义及其两个核心特征。2.图形辨识：判断给定的6个平面图形中，哪些是立方体的展开图，并对错误的图形简要说明理由。3.关系推理：在一个标有数字16的标准展开图上，完成指定面之间的相对与相邻关系填空。本部分旨在全员巩固最核心的概念与基本技能。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：情境设计——“包装师”任务：给定一个边长为5cm的立方体模型，请你为它设计一个包装纸箱的展开图（接缝处忽略）。要求：①在方格纸上绘制你的设计图；②在你的设计图中，用不同颜色或标记标明原来立方体中相对的两个面。此作业将数学知识置于真实问题情境中，考查综合应用与设计能力。

探究性/创造性作业（学有余力者选做）：1.规律深究：通过观察11种展开图，探究“被剪开的棱”的数量是否有规律？所有展开图中，正方形与正方形之间的公共边（即折叠棱）总数是否恒定？尝试提出你的猜想并举例验证。2.艺术创想：利用立方体展开图的结构，设计一幅具有对称美或循环图案的平面装饰画（如利用“222”型或“33”型的对称性）。此作业鼓励数学与艺术、探究的结合，指向深度思考与创新素养。七、本节知识清单及拓展

★1.立方体展开图定义：将一个立方体沿某些棱剪开，铺平后得到的由六个正方形组成的平面图形。关键点是“沿棱剪开”和“铺平无重叠”。

★2.核心特征：任何立方体展开图必由六个全等的正方形组成，且这些正方形之间通过边相连，构成一个连通图。

★3.面间关系—相邻：在展开图中，有一条公共边的两个正方形，折叠后成为立方体中相邻的两个面。

★4.面间关系—相对：在立方体中无公共边且平行的两个面。在展开图中，它们必定不相邻，且通常被一行或一列的其他面隔开。这是核心判定原理。

★5.判断方法：(1)操作验证（最可靠）；(2)空间想象（模拟折叠）；(3)逻辑推理（利用“相对面不相邻”等规律）。

★6.“Z”字型法找相对面：在展开图中，如果两个正方形处于同一行（或同一列），且中间只隔一个正方形，那么这两个面折叠后通常相对（适用于141型等标准结构）。

★7.常见类型—141型：共6种。特点是中间一行4个正方形，上下各1个。这是最典型、数量最多的一类。

★8.常见类型—231型：共3种。注意“1”所在的位置变化。

★9.常见类型—222型与33型：各仅1种。前者呈阶梯状，后者两行各3个。它们具有很好的对称性。

▲10.总数：立方体展开图共有11种不同的类型。记忆不是目的，理解分类思想是关键。

▲11.与长方体展开图的区别：长方体展开图也是6个矩形，但矩形可能不全等。其展开图种类远多于立方体，因为需要考虑长、宽、高不同的组合情况。

▲12.动态想象辅助：遇到复杂判断，可在头脑中将一个正方形固定为“底面”，想象其他面如何向上折叠围拢。

▲13.应用领域：包装设计、板材切割、三维建模（UV展开）、谜题设计（如正方体拆字谜）等。

▲14.思维误区警示：面积相等、由六个正方形组成的图形不一定是展开图（如“田”字形有重叠边，“凹”字形无法封闭）。必须满足可折叠成立方体的空间连接关系。

▲15.拓展思考：一个面涂色的立方体，展开后颜色分布有何规律？这联系了立体图形的表面涂色问题。八、教学反思

（一）目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和巩固练习反馈，90%以上的学生能准确判断简单展开图的正误，并能运用“相对面不相邻”原理解决基础推理问题。能力与素养目标的达成立足于过程观察：在任务四的分类探究中，约70%的小组能自主发现按“行”分类的思路，体现了良好的观察与归纳能力；但在用严谨语言描述分类标准时，学生普遍存在困难，这是后续需加强的。情感目标在热烈的操作与讨论氛围中得以实现，学生参与度高。

（二）环节有效性评估：1.导入环节：以“拆解”包装盒和“打假”错误图形创设情境，迅速激发了学生的好奇心和挑战欲，驱动性问题明确有效。2.新授任务链：从操作感知（任务一）到关系抽象（任务二），再到动态验证（任务三）和系统归纳（任务四），最后应用推理（任务五），阶梯递进明显，符合学生的认知规律。其中，任务三的动态演示是难点突破的关键，将不可见的思维过程可视化，有效缓解了学生的想象负担。“当时看到一些学生从紧锁眉头到恍然大悟的表情，就知道这个动画演示值了。”3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，C层挑战题虽只有少数学生能完全解答，但引发了广泛的课后讨论。学生自主构建思维导图的小结方式，比教师复述更能促进知识的结构化。

（三）学生表现深度剖析：学生在动手操作阶段表现出极大的差异：有的学生能快速剪出多种展开图并乐于展示；有的则略显迟疑，需参照同伴或教师提示。在小组讨论中，通常由空间感较好的学生主导思路，但通过设计“记录员”、“汇报员”等角色轮换，确保了多数成员的参与。值得注意的是，部分在纸笔测试中表现一般的学生，在操作环节却展现出了出色的空间感，这提醒我需要采用多元