矩形匀强磁场区域的最小面积的求解（高中物理试题解析）

在电磁学中，组合场试题一直是热点问题之一，题目往往有一定的难度，尤其是综合了匀强磁场区域的最小面积的问题，难度会更大一些。昨天，我们讨论了圆形匀强磁场区域的最小面积问题（点击可跳转），今天，我们再来探讨一下矩形匀强磁场区域的最小面积问题，其中有些试题（比如最近重庆市的一道高二试题）还很值得继续推敲或者质疑。

例题一、如图所示，在xOy平面内的第一象限内x=4d处竖直放置一长为的粒子吸收板PQ，在直线PQ与y轴之间存在垂直纸面向外的磁感应强度大小为B的匀强磁场。在原点O处有一粒子源，可以沿y轴正向发射质量为m、电量为+q的带电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。（1）求恰好击中Q点的粒子速率；（2）求能被吸收板PQ吸收的粒子速率的范围；（3）为使从P点进入PQ右侧区间的粒子，能恰好垂直x轴打在点M（8d，0），在PM右侧加一垂直纸面的矩形匀强磁场（图中未画出，矩形边界处有磁场），求所加磁场磁感应强度的最小值Bmin，以及在Bmin作用下矩形磁场的最小面积Smin。

这道题来源于重庆市第一中学校2023-2024学年高二上学期半期考试物理试卷第14题（11月30日下午考试题）。需要注意的是，题目第（3）问中“在PM右侧加一垂直纸面的矩形匀强磁场，求所加磁场磁感应强度的最小值Bmin”，这个磁场的磁感应强度到底是唯一确定的还是不确定真有最小值呢？

【详解】（1）恰好击中Q点的粒子在磁场中的运动半径为：

（2）恰好击中P点的粒子，在磁场中的运动半径最大，为：

恰好击中Q点的粒子，在磁场中的运动半径最小，最小速度为：

能被吸收板PQ吸收的粒子速率应满足

（3）恰好垂直x轴打在点时，粒子的运动半径越大，所加磁场磁感应强度越小，根据几何关系有

（注意，如果粒子运动的轨迹半径是确定的，那磁场的磁感应强度就也是确定的，这样的话，求出的磁感应强度就没有最小值一说了！）

对上边两个图中的情况进行对比

则可知矩形磁场的最小面积为：

例题二、如图所示，在xOy平面内的第一象限内，x=4d处竖直放置一长为的粒子吸收板PQ，在直线PQ与y轴之间存在垂直纸面向外的磁感应强度大小为B的匀强磁场。在原点O处有一粒子源，可以发射质量为m、电量为+q的带电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

（1）若粒子源仅沿y轴正向发射出大量不同速率的粒子，求恰好击中Q点的粒子速率（2）若粒子源仅沿y轴正向发射出大量不同速率的粒子，求能被吸收板PQ吸收的粒子速率的范围；（3）若在点M（8d，0）处放置一粒子回收器，为回收恰好从P点进入PQ右侧区间的粒子，在PM右侧加一垂直纸面向外的矩形匀强磁场（图中未画出，矩形边界处有磁场）。求此矩形磁场的最小面积Smin和此类粒子从O点发射到进入回收器所用的时间t。这道题是关注咱们公众号的一位老师提供的，是有人问他的一道题，所以现在还没查到具体来源。他从网上（搜题APP）搜出来的答案解析如下：

【详解】

（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，粒子恰好击中Q点，设粒子的速率为，由几何关系可知，粒子轨道半径为：

（2）粒子打在吸收板上边界P点，设粒子的速率为v2，由几何关系可知，粒子轨道半径

由

故能被吸收板PQ吸收的粒子速率v的范围为：

（3）经过P点的粒子能够到达M点，设磁场的磁感应强度B′，

注意，这是从搜题APP上搜到的解析，这个解析也是值得质疑和进一步讨论的，但第（3）问中“在PM右侧加一垂直纸面的矩形匀强磁场，求此矩形磁场的最小面积Smin和此类粒子从O点发射到