2026高考数学复习必刷小题5 导数及其应用

必刷小题5导数及其应用

一、单项选择题

1.已知函数y＝f（x）的图象在点P（3，f（3））处的切线方程是y＝－2x＋7，则f（3）－

f'（3）＝（）

A.－2B.2

C.－3D.3

解析：D函数f（x）的图象在点P（3，f（3））处的切线的斜率就是在该点处的导数，即

f'（3）就是切线y＝－2x＋7的斜率，所以f'（3）＝－2，f（3）＝－2×3＋7＝1，所以f（3）

－f'（3）＝1－（－2）＝3.故选D.

2.已知函数f（x）＝lnx－x2－ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A.（－∞，－1）B.（－1，0）

C.（0，1）D.（0，＋∞）

解析：A函数f（x）＝lnx－x2－ax的定义域为（0，＋∞），令f（x）＝lnx－x2－ax＝0，

－

则－2＝，即函数（）＝－2与直线＝有两个交点，∵（）＝－＝，

lnxxaxgxlnxxyaxg'x2x2

112�

令g'（x）＞0，则0＜x＜，令g'（x）＜0，则x＞，∴g（x）在（0，）�上单调递增�，

222

2222

在（，＋∞）上单调递减，设g（x）＝lnx－x与y＝ax的切点坐标为P（x0，lnx0－），

22

2＝－，�0

2

切点斜率k＝－2x0，则有1消去a得，＋lnx0－1＝0，显然y＝x＋lnx－1

1��－02＝�02

�00

在（，＋∞）上单调递增，且当＝2时，＝，则�＝，＝－若函数（）＝－

0ln�0x�01��0y0x01a1.gxlnx

x2与直线y＝ax有两个交点，则a＜－1.故选A.

，，

3.设函数f（x）＝�若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（）

�，＜，

��≥�

≤＜

A.a1���B.a1

C.a≤D.a＜

11

－

解析：�C显然x＜a时，f（x）＜a无最�大值，x≥a时，f（x）＝存在最大值，f'（x）＝，

�1�

��

当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f'（x）＜0，�f（x）递减，所以x＝1时�，

，

f（x）取得极大值也是最大值.f（1）＝，因此f（x）要有最大值，必须满足所以

，

1�≤1

�1

a≤.故选C.�≤�

1

�

1/5

4.已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，且f'（x）是f（x）的导函数，则（）

A.f'（－1）＝f'（－2）＜0＜f'（1）＜f'（2）

B.f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（－1）＝f'（－2）

C.0＞f'（2）＞f'（1）＞f'（－1）＝f'（－2）

D.f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（－2）＜f'（－1）

解析：B由函数图象可知，当x≤0时，函数y＝f（x）匀速递增，故f'（x）是一个大于0

的常数，当x＞0时，函数y＝f（x）递减，且递减幅度越来越快，∴f'（x）＜0，且y＝f'（x）

单调递减，则f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（－1）＝f'（－2），故选B.

5.若函数（fx）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B.－3＜k＜－1或1＜k＜3

C.－2＜k＜2

D.不存在这样的实数

解析：B∵f（x）＝x3－12x，∴f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）·（x－2），令f'（x）＝0，

解得x＝－2或x＝2，所以当x＞2或x＜－2时f'（x）＞0，当－2＜x＜2时f'（x）＜0，所

以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，即函数f

（x）＝x3－12x极值点为±2，若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函

－－，－，

数，则－2∈（k－1，k＋1）或2∈（k－1，k＋1），所以或解

－，

�1<2�1<2

得－＜＜－或＜＜，故选

3k11k3B.2<�+12<�+1

6.已知函数f（x）＝2lnx＋－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（）

1

A.（0，）�B.（，1）

22

C.（，13）D.（3，）

112

解析2：B由题意可知，函数f（x）＝22ln3x＋－x的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝

12

－－1＝－（－）≤0恒成立，所以f（x�）在（0，＋∞）上单调递减.则由f（2x－1）�

112

2

��1－，

＜f（1－x）可得－，解得＜x＜1，即原不等式的解集为（，1）.故选B.

2�1>022

－－，

1�>033

已知＝0.11，＝1.1，＝，则（）

7.aeb2�1.11>c11�.11

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.b＞a＞cD.b＞c＞a

解析：A显然，a，b，c皆为正数.欲比较a和b的大小，只需比较lna和lnb的大小.lna

＝lne0.11＝0.11，lnb＝ln1.11.1＝1.1ln1.1，即比较0.11和1.1ln1.1的大小.下面先证明lnx＜

2/5

x－1（x＞0且x≠1）.记f（x）＝lnx－（x－1），则f'（x）＝－1.令f'（x）＞0，得0＜x

1

＜1；令f'（x）＜0，得x＞1.函数f（x）在（0，1）上单调递增�，在（1，＋∞）上单调递

减，所以对任意x＞0，都有f（x）≤f（1）＝0，即lnx≤x－1恒成立，所以对任意x＞0

且x≠1，都有f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x－1恒成立，当x＝1.1时有ln1.1＜1.1－1，故

1.1ln1.1＜1.1×（1.1－1）＝0.11，故a＞b.构造函数g（x）＝（1＋x）1.1－（1.1x＋1），则

g'（x）＝1.1（1＋x）0.1－1.1＝1.1[（1＋x）0.1－1]，故当x＞0时，g（x）单调递增，故g

（0.1）＝（1＋0.1）1.1－（1.1×0.1＋1）＝1.11.1－1.11＞g（0）＝0，即b＞c，综上a＞b＞

c.故选A.

8.已知函数f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为（）

�

A.－∞，ln�－∞，

11

C.，4B.，4

11

－－

解析0：B4f'（x）＝－a，设gD（.x0）＝4＝－，∵函数f（x）在区间（1，

（ln�）1（ln�）11（1）

222

＋∞）上有极值，∴f'l（n�x）＝g（x）－a在（1l，n�＋∞l）n�上有ln变�号零点，即g（x）＝a在（1，

＋∞）上有解，令＝t，由x＞1可得lnx＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－－＋≤，

11211

ln�－）－（－）�244

解得a≤.又当a＝时，f'（x）＝－＝2＝－2≤0在（1，＋∞）

11（ln�）11−(ln�（+4）ln�4l（n�2）

222

444

上恒成立，则（fx）在（1，＋∞）上单调ln递�减，无极值4点，ln故�舍去，所以4al的n�取值范围是－∞，.

1

故选B.4

二、多项选择题

9.函数f（x）的导函数为f'（x），若已知f'（x）的图象如图，则下列说法正确的是（）

A.f（x）一定存在极大值点

B.f（x）有两个极值点

C.f（x）在（－∞，a）单调递增

D.f（x）在x＝0处的切线与x轴平行或重合

解析：ACD由导函数f'（x）的图象可知，当x＜a时f'（x）≥0，当x＞a时f'（x）＜0，

当x＝0或x＝a时f'（x）＝0，则f（x）在（－∞，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调

递减，所以函数f（x）在x＝a处取得极大值，且只有一个极值点，故A、C正确，B错误；

因为f'（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在x＝0处切线的斜率等于零，即f（x）在x＝0处的切

线与x轴平行或重合，故D正确.故选A、C、D.

10.已知y＝kx是函数f（x）＝xsinx的一条切线，则实数k的值可以为（）

A.0B.1

C.D.－1

1

2

3/5

解析：ABD设（t，tsint）是函数f（x）＝xsinx图象上的一点，f'（x）＝sinx＋xcosx，f'

（t）＝sint＋tcost，所以在点（t，tsint）处的切线方程为y－tsint＝（sint＋tcost）·（x－

t）①，直线y＝kx过原点，由①令x＝y＝0得－tsint＝（sint＋tcost）·（－t），tsint＝tsin

t＋t2cost，t2cost＝0，所以t＝0或t＝nπ＋，n∈Z，当t＝0时，k＝f'（0）＝0，当t＝nπ

π

＋，n∈Z时，k＝f'（nπ＋）＝sin（nπ＋2）＋（nπ＋）·cos（nπ＋）＝sin（nπ＋）＝

ππππππ

±12，综上所述，k的可能取2值为0，±1.故2选A、B、D2.22

已知函数（）＝＋（为自然对数的底数，≈），则函数（）（）

11.fx2ee2.72fx

��+1

�

A.有2个零点�B.有2个极值点

C.在（0，1）单调递增D.最小值为1

＋－（－）

解析：（）＝定义域为，（）＝，令（）＝得＝或，当

BCfx2Rf'xf'x0x01

��+1��1

��

x∈（0，1）时，f'（x）�＞0，当x∈（－∞，0）∪（1�，＋∞）时，f'（x）＜0，则f'（x）

与f（x）的变化情况如下表所示：

x（－∞，0）0（0，1）1（1，＋∞）

f'（x）－0＋0－

f（x）递减极小值1递增极大值递减

3

＋

从而判断出函数有两个极值点，在（，）上单调递增，、正确；由�于（）＝

01BCfx2

��+1

�

（＋）＋�

＝123＞0恒成立，所以函数f（x）无零点，A错误；当x→＋∞时，f（x）→0，故函

�24

�

数无最�小值，D错误；故选B、C.

12.已知f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＋f'（x）＞0对任意的x∈R恒成立，则（）

A.2f（ln2）＞f（0）B.e2f（2）＞f（0）

C.2f（ln2）＜f（0）D.e2f（2）＜f（0）

解析：ABf（x）＋f'（x）＞0，所以exf（x）＋exf'（x）＞0，则设g（x）＝exf（x），x∈R，

得g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以必有g（2）＞g（0），g（ln2）＞g（0），则e2f（2）

＞f（0），2f（ln2）＞f（0），所以A和B正确.故选A、B.

三、填空题

13.函数f（x）＝的极大值点是.

2ln�

2

答案：�

－

�－

解析：由题意，函数f（x）＝，可得f'（x）＝22＝（x＞0），令f'（x）＝

2ln��×�2ln�×2�24ln�

243

0，即4lnx＝2，解得x＝，当�0＜x＜时，f'（x）�＞0，故f（�x）在（0，）上单调递

增，当x＞时，f'（x）＜�0，故f（x）在�（，＋∞）上单调递减，所以函数�f（x）＝

2ln�

2

的极大值点是�.��

已知曲线＝1－x－在＝处的切线与直线＋＋＝垂直，则实数

14.y�exlnxx1mxy20m

＝.

答案：－

1

2

4/5

解析：因为y＝e1－x－xlnx，所以y'＝－e1－x－（lnx＋1），所以曲线y＝e1－x－xlnx在x＝1

1－x

处的切线斜率为y'｜x＝1＝－2，直线mx＋y＋2＝0的斜率为－m，因为曲线y＝e－xlnx在

x＝1处的切线与直线mx＋y＋2＝0垂直，所以－m×（－2）＝－1，所以m＝－.

1

15.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f'（x）＋＞0，f（2）＝ln，则不等2式f（ex）