2026高考数学复习必刷小题14　空间点、线、面之间的位置关系

必刷小题14空间点、线、面之间的位置关系

一、单项选择题

1.若a，b是空间中两条不相交的直线，则过b且平行于a的平面（）

A.有且仅有一个B.有一个或无数个

C.至多有一个D.有无数个

解析：B∵a，b是空间中两条不相交的直线，∴a，b只可能平行或者异面.当a，b平行时，

过直线b且平行于直线a的平面有无数个；当a，b异面时，如图，在b上取一点O，过O

作c∥a，则b，c确定平面α，∴a∥α，此时过直线b且平行于直线a的平面有且只有一个.

故选B.

2.已知平面α，直线a，b平面α，则“a∥b”是“a，b与平面α所成角相等”的（）

充分不必要条件

A.⊄

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：A若a∥b，则a，b与平面α所成角相等，但若a，b与平面α所成角相等，a，b不

一定平行，如图在正方体中，AD1，A1D与底面ABCD所成角均为45°，但AD1与A1D不平

行.故选A.

3.如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中

点，则直线FQ与PB的关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.不确定

解析：C取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，又AD∥EF，∴GQ∥EF，

则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面

GQEF，∴直线FQ与PB是异面直线.故选C.

1/7

4.过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平

面个数为（）

A.4B.1

C.0D.无数多个

解析：A由题意，题目中的长方体与正方体，所作的平面个数相同，所以用正方体代替长

方体来求解.

法一：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A-A1BD是正三棱锥，直线AB，AD，AA1与平

面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，则直线AB，AD，AA1与平面α所成

角都相等，同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线

AB、AD、AA1与平面α形成的角都相等，因此符合条件的平面可作4个，故选A.

法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，因为有四条体对角线，

所以可以做4个平面.故选A.

5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，

BC都相交的直线（）

A.不存在B.有且只有两条

C.有且只有三条D.有无数条

解析：D如图，在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有

且仅有1个交点N，当M的位置不同时，确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而

直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC

都相交.

6.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC

＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为（）

A.

34

C.5B.5D.

23

32/74

解析：A取BB1的中点Q，AC的中点P，连接C1Q，C1P，PQ，则BN∥C1Q，AM∥C1P，

∴∠QC1P为BN与AM所成角，由题可知直三棱柱ABC-A1B1C1为正棱柱，设BC＝2，则

－

C1P＝C1Q＝，PQ＝2，在△PQC1中，由余弦定理可得cos∠PC1Q＝＝，∴BN与

5+543

AM所成角的余5弦值为.故选A.2×5×55

3

5

7.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面

ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（）

A.

32

C.2�.2

31

解析3：�.A3如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，

又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

平面CB1D1∩平面A1B1C1D1

＝B1D1，∴B1D1∥m1，

∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.

故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.

又∵B1C＝B1D1＝CD1（均为面对角线），

∴∠CD1B1＝，

π

3

得sin∠CD1B1＝，故选A.

3

2

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R，S分别为棱AB，BC，BB1，CD的中点，

连接A1S，B1D.空间任意两点M，N，若线段MN上不存在点在线段A1S，B1D上，则称MN

两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（）

A.点PB.点B

3/7

C.点RD.点Q

解析：D如图，连接PS，因为P，S分别为AB，CD的中点，所以AP＝DS，AP∥DS，所

以四边形APSD为平行四边形，所以AD∥PS，因为AD∥A1D1，所以A1D1∥PS，所以A1，

D1，P，S四点共面，所以A1S与D1P相交，所以点P与点D1不可视，所以排除A；因为

DD1∥BB1，所以D，D1，B1，R，B共面，所以由图可知D1B与B1D相交，D1R与B1D相

交，所以点B，点R都与点D1不可视，所以排除B、C.故选D.

二、多项选择题

9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中是真

命题的是（）

A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β

B.若α⊥γ，β⊥α，则γ∥β

C.若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β

D.若m，n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β

解析：AD因为α，β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β，A正确；若α⊥γ，β⊥α，

α，β，γ是三个两两不重合的平面，可知β，γ可能相交，B错误；若m∥α，n∥β，m∥n，α，

β可能相交，不一定平行，C错误；因为m，n两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，

n∥α，则m⊥n，又m⊥α，n⊥β，则在m，n上可取m，n作为α，β的法向量，则m⊥n，

即m·n＝0，可知α，β垂直，D正确.故选A、D.

10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结

论中，正确的有（）

A.直线AM与CC1是相交直线

B.直线BN与MB1是异面直线

C.AM与BN平行

D.直线A1M与BN共面

解析：BD∵A，M，C，C1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异

面直线，故选项A错误；∵B，N，M，B1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN

与MB1是异面直线，故选项B正确；取DD1的中点E，连接AE，EN，则有AB∥EN，AB

＝EN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴AE∥BN，∵AM与AE交于点A，∴AM与AE不

平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；连接A1M，MN，NB，BA1，CD1，∵M，N分

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别为棱C1D1，C1C的中点，∴MN∥D1C，由正方体的性质可知：BA1∥D1C，∴MN∥A1B，

∴A1，B，M，N四点共面，∴直线A1M与BN共面，故选项D正确.故选B、D.

11.如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，

则（）

A.GH＝2EF

B.GH≠2EF

C.直线EF，GH是异面直线

D.直线EF，GH是相交直线

解析：BD如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，

AC，A1C1，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

∵MH∥A1C1∥AC∥FG，

∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，

∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，

∵EF∥HN，HN∩HG＝H，

HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，

∴EF与GH是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝

MH，

∴EF＝GH，即GH≠2EF.

故选、

3BD.

12.如图，四棱锥S-ABCD的底面为菱形，AB＝SD＝3，∠DAB＝60°，SD⊥底面ABCD，P

是SC上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）

5/7

A.若SA∥平面PBD，则SA∥PO

B.B到平面SAC的距离为

35

C.当P为SC中点时，过P5，A，B的截面为直角梯形

D.当P为SC中点时，DP＋PB有最小值

解析：ABC∵SA∥平面PBD，SA⊂平面SAC，平面PBD∩平面SAC＝PO，∴SA∥PO，

A正确；设B到平面SAC的距离为h，则有SA＝SC＝3，AC＝3，SO⊥AC，SO＝

＋（）＝.∵VB-SAC＝VS-ABC，即h××3×＝2×3××3×3×，则h＝，

2

2335113511335

B3正确；2当P为S2C中点时，如图①，取3SD2的中点3M，2连3接PM，225

AM，MB，则PM∥CD，PM＝CD，∵AB∥CD，则PM∥AB，∴过P，A，B的截面为梯

1

形ABPM，则PB＝3，BM＝2，PM＝，∴BM2＝PM2＋PB2，则PM⊥PB，即梯形ABPM

353

为直角梯形，C正确；22

作出侧面展开图如图②所示，连接DB交SC于点Q，则当动点P与Q重合时DP＋PB有最

小值为DB.若Q为SC中点时，∵SD＝CD，则DQ⊥SC，此时BC＝SB，即3＝3，矛盾，

故不是中点，因此当为中点时＋＞，错误；故选、、

QSCPSCDPPBDBDABC2.

三、填空题

13.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是.

答案：平行或异面

解析：由题意，α∥β，m⊂α，n⊂β，故直线m与n没有交点，故直线m与n平行或异面.

14.已知l是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中两个论

断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：.（用序号表示）

答案：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）

6/7

解析：因为l∥α，α⊥β时，l与β平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为l∥α，

所以α内存在一条直线m与l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即①③作为条件，

可以得出②；因为α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l⊂α，因为l是平面α外的直线，所以l∥α，

即②③作为条件，可以得出①.

15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，DD1中点为Q，过A，Q，B1三点的截面面

积为.

答案：

9

解析：如8图所示，取C1D1的中点P，连接PQ，PB1，AB1，AQ和C1D，∵P，Q分别是C1D1，

DD1的中点，∴PQ∥C1D，且PQ＝C1D，∵AB1∥C1D，∴PQ∥AB1，∴四边形AB1PQ是

1

2

过A，Q，B1三点的截面，且四边形AB1PQ是梯形，∵AB＝1，∴AB1＝＋＝，PQ

22

112

＝，AQ＝PB1＝＋（）＝，且等腰梯形AB1PQ的高为

2

2215

2122

（）－［（－）］＝，∴截面面积为×（＋）×＝.

5212231