集合专题：集合中常考的5种参数问题（解析版）

集合专题：集合中常考的5种参数问题知识梳理一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围由集合间关系求解参数的三部曲第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。常考题型题型解析题型一根据元素与集合的关系求参数【例1】（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为集合，且，所以或.当时，解得：或.而，不符合元素的互异性，故或.故选：B【变式1-1】（2022秋·山西·高二校联考期末）已知集合A中元素x满足，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，解得，又∵，∴，解得，∴．故选：D．【变式1-2】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______．【答案】/【解析】因为，所以，解得：，故答案为：．【变式1-3】（2021秋·高一课时练习）（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（）A．B．C．D．或或【答案】AB【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确；对于B，当时，，满足题意，B正确；对于C，当时，，不合题意，C错误；对于D，由ABC知：或，D错误.故选：AB.【变式1-4】（2022·江苏·高一专题练习）（多选）已知，且，，，则取值可能为（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】选项A：当时，，，故，A错误；选项B：当时，，，故，B正确；选项C：当时，，，故，C正确；选项D：当时，，，故，D正确.故答案为：BCD.题型二根据元素的个数求参数【例2】（2022秋·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（）A．-1B．2C．D．0【答案】C【解析】或，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素，则需，解得或（舍去）综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C【变式2-1】（2021秋·安徽宣城·高一安徽省宣城中学校考阶段练习）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】由可得，由可得，又不等式组有且仅有两个整数解，∴，∴，∴实数的取值范围是.【变式2-2】（2022秋·陕西·高一校联考期中）若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值：______．【答案】0（答案不唯一）【解析】当时，集合的整数元素为.故答案为：0（答案不唯一）【变式2-3】（2022秋·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考阶段练习）已知集合．（1）若，求集合A（用列举法表示）；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因为，所以，解得，解方程可得或，所以集合．（2）当时，方程为，此时集合，当时，集合中至多有一个元素只需判别式，即，即，综上所述，a的取值范围是或题型三根据集合相等关系求参数【例3】（2022·高一单元测试）已知集合，若，则（）A．3B．4C．D．【答案】D【解析】因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D【变式3-1】（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）已知集合，，若，则．【答案】5【解析】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以.故答案为：5.【变式3-2】（2022·高一课时练习）设a，，若集合，则.【答案】2【解析】由易知，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解综上可知，，，故.故答案为：2【变式3-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．【答案】【解析】由元素的互异性得，若，则有以下两种情况：①，不符合题意舍去；②或（舍去），综上，.题型四根据集合间的包含关系求参数【例4】（2023春·四川宜宾·高二统考期末）已知集合，，若，则（）A．1B．0或1或3C．0或3D．3【答案】C【解析】因为，所以或.若，则，满足；若，则或，当时，，满足；当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；综上所述：或，故选：C.【变式4-1】（2022秋·江西·高一统考阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为_________．【答案】【解析】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.【变式4-2】（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知，，全集（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，所以或，又，所以.（2）由题可得：当时，有，解得a的取值范围为；当时有，解得a的取值范围为，综上所述a的取值范围为.【变式4-3】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是.故答案为：【变式4-4】（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）设全集，集合，．（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得集合，，故.（2），或，若，则，即a的取值范围为.题型五根据集合的交并补运算求参数【例5】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，所以，因为，所以，故．故选：C．【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由，得，易知集合非空，则，解得．故选：B.【变式5-2】（2022秋·江苏南京·高一金陵中学校考期中）设集合，或，全集．（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，解得，所以a的取值范围是；（2），因为，所以，所以，解得，所以b的取值范围是．【变式5-3】（2023秋·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知，.（1）若，求；（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数的所有