三角函数的应用（4大题型）精练（解析版）

三角函数的应用【题型1三角函数模型在物理中的应用】1、（2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A．12.7B．25.3C．101.3D．50.7【答案】B【解析】因为线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，，且取，又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函数的最小正周期为，即，解得，即线长约为cm.故选：B.2、（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（）

A．频率为B．初相位或C．振幅D．当时，小球第三次回到平衡位置【答案】ACD【解析】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确；B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误；C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确；D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确.故选：ACD．3、（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）（多选）某弹簧振子在振动过程中时间t（单位：s）与位移y（单位：m）满足解析式，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是（）A．振幅为10B．周期为C．频率为D．初相为【答案】AC【解析】∵，故振幅为10，周期为，频率为，初相为，故A、C正确，B、D错误；故选：AC.4、（2023·全国·高一随堂练习）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为，α与摆动时间t（单位：s）之间的函数解析式为．求：（1）最初时α的值；（2）单摆摆动的频率；（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？【答案】（1）；（2）；（3）s.【解析】（1）代入得；（2）由解析式可知其周期；（3）由（2）知该函数的周期为，故完成5次完整摆动需要s.5、（2022·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定．以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：

（1）小球在开始振动（即）时的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】（1）平衡位置上方处；（2）；；（3）秒；（4）次.【解析】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，当时，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处；（2）的最大值为2，最小值为，则小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是；（3）由于，故经过小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动次.【题型2三角函数模型在生活中的应用】1、（2023·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（）（参考数据：，）A．441量B．159量C．473量D．127量【答案】A【解析】由题意可得，可得，解得，所以，当时，（量）.故选：A.2、（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为12B．C．时，过山车距离地平面40mD．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s【答案】ACD【解析】由题意可知，周期满足，得，所以，得，又，解得，，所以，又，即，得，因为，所以，所以.对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，由，得，即，，，解得，，所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.故选：ACD.3、（2023上·高一课时练习）如图，某动物种群数量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．

（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月份为计量单位，如1月用表示）（2）估计当年3月1日该动物种群数量．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设这群数量关于时间的解析式，则，解得，又由，可得，所以，因为时，可得，即，解得，又因为，所以，所以.（2）由，当时，，即当年3月1日该动物种群的数列约为.4、（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？【答案】（1）；（2）8小时【解析】（1）由图知，，，，所以，将点代入得，结合解得，所以函数的解析式.（2）货船需要的安全水深为米，所以当时货船可以停留在港口.由得，得，即，当时，，当时，，所以该船一天之内至多能在港口停留小时.5、（2023·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象，一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象基本一致且周期为，其中x为时间，为水深．当时，海水上涨至最高，最高为5米．（1）求函数的解析式，并作出函数在上的简图；（2）求海水持续上涨的时间区间．【答案】（1），作图见解析；（2）【解析】（1）由函数的周期为，可得，当时时，海水上涨至最高，且最高为5米，可得，所以，且，即，可得，即，因为，所以，所以，因为，可得，列表：500描点并连线，得到函数的图象，如图所示，

（2）由（1）知，函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为，海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间，所以海水持续上涨的时间区间为.【题型3三角函数模型在圆周中的应用】1、（2022·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数的周期为，所以，由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为，因为初始位置为点，所以当时，，所以，所以可能取，所以，故选：D2、（2023·湖北武汉·高二统考开学考试）（多选）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（）

A．摩天轮离地面最近的距离为5米B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则C．存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米D．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为20【答案】ABD【解析】对于A，由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A正确；对于B，设，当时，游客从离地面最近的位置进舱，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.所以，，，，又当时，，所以，所以，故B正确；对于C，因为，，又高度相等，函数的对称轴为，则关于对称，则，则；令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，；当时，，所以在只有一个解，故C错误；对于D，周期，由余弦型函数的性质可知，令，则，，函数关于对称，若在，时刻游客距离地面的高度相等，则当时，的最小值为10，的最小值为20.故D正确.故选：ABD.3、（2023·四川自贡·高一统考期中）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差.下述结论正确的是（）

A．B．C．在运行一周的过程中，的时间超过10minD．【答案】ACD【解析】由题意可得是关于的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近点为P，则当时，游客甲位于，以OP为终边的角为，而转一圈需要大约30min，可知角速度大约为，由题意可得：，即A正确；当时，，即B错误；，由正弦函数的性质可得：，故，即高度超过90+2.5米时时间长20-10=10min，显然高度超过90米的时间长超过10min，故C正确；甲乙所在位置分别设为A、B两点，甲乙座舱差7个，则，故t分钟后甲乙的高度分别为：，，其高度差为：，即D正确.故选：ACD.4、（2023·山东泰安·高一统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足.已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）（盛水筒在水面下时，则为负数）.

（1）将距离表示成旋转时间的函数；（2）求筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？【答案】（1），；（2）80秒钟【解析】（1）由题意可知,由于，所以得.因为时,，所以.由，可求得，从而.

所以，其中.（2）当盛水筒位于水面以下时，应满足，即.可列不等式，解得.因为，所以当时，；当时，；当时，.由，可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟.5、（2023·广东珠海·高一斗门区第一中学校考阶段练习）珠海长隆的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点）.现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟.

（1）当时，求1号座舱与地面的距离；（2）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，若在这段时间内，恰有三次取得最大值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，则，，依题意，当时，，取，，所以当时，1号舱与地面的距离为.（2）依题意，，令，解得，当时，取得最大值，故，即，即的取值范围是.【题型4三角函数模型在几何中的应用】1、（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）如图，已知直线，A是，之间的一定点并且点A到，的距离分别为，，其中，，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C.设，则面积S关于角的函数解析式为；的最小值为.

【答案】12【解析】∵，，，∴，，∴，∴，，∴.∵，∴，即，∴当，即时，取最小值，的最小值为.2、（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.（1）写出矩形的面积与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）（2）当时，矩形的面积最大，最大值为【解析】（1）由题可知，在中，，，在中，，（2），当，即时，故当时，矩形的面积最大，最大值为3、（2023·四川成都·高一校考期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面