2026高考数学复习微专题：81.抛物线焦半径及应用

81.抛物线的焦半径与焦点弦必知的八组结论

抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握

推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形

式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！

一．重要结论

抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最

重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:

假设抛物线方程为y22px.过抛物线焦点的直线l与抛物线交于A,B两点，其坐标分别为

.

A(x1,y1),B(x2,y2)

pp

性质1.|AF|x，|BF|x,|AB|xxp.

A2B2AB

证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过A,B向准线引垂线，垂

足分别为M,N.由定义可知：|AM||AF|，|BN||BF|.代入坐标即可证得相关结论.

2

性质2.抛物线y2px的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个

2

p2

x1x2,y1y2p

交点，求证：4.

22

y1y2

A(,y),B(,y)2

122py

证明：2p2p，则的方程为1，整理可得：

AByy1(x)

y1y22p

2，即可得的方程为：.最后，由

(yy1)(y1y2)2pxy1AB(y1y2)y2pxy1y2

p2

x1x2

于直线过焦点，代入焦点坐标可得2.再代入抛物线方程4.

ABy1y2p

一般地，如果直线l恒过定点M(m,0)与抛物线y22px(p0)交于A,B两点，那么

2.

xAxBm,yAyB2pm

于是，若OAOBAB恒过定点(2p,0).

性质3.已知倾斜角为直线的l经过抛物线y22px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，

则

pP112

（1）|AF|,|BF|，.

1cos1cos|FA||FB|p

2pp21

（2）|AB|，S，|AB|2p(1).

sin2OAB2sink2

证明：设准线l交x轴于点P，过点A作AMx轴于M，作ANl于N，由抛物线定

义可知：AFAN．其中PFp，MFAFcos.

p

所以ANPFFMpAFcos，AFpAFcos，故AF．

1cos

p2p2p

同理BF，所以ABAFBF．

1cos1cos2sin2

性质4.抛物线的通径

(1).通径长为2p.

(2).焦点弦中，通径最短.

(3).通径越长，抛物线开口越大.

由性质3易得，略.

性质5.已知直线l经过抛物线y22px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，若弦AB中

p

点的坐标为(x,y)，则|AB|2(x).

0002

证明：设坐标为，由抛物线定义：，

A,B(x1,y1),(x2,y2)|AB||AF||BF|x1x2p

p

故|AB|2(x).

02

性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.

p

证明：设焦点弦的中点为M:(x,y)，则M到准线的距离为x，由性质5可证得.

0002

性质7.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点，自

向准线作垂线，垂足分别为，则

M,NlM1,N1

（1）；

FM1FM2

（2）记的面积分别为,,，2.

FMM1,FM1N1,FNN1S1S2S3S24S1S3

注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.

二．典例分析

例1.（2017年全国1卷）.已知F为抛物线C:y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直

线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小

l1,l2l1CA,Bl2CD,E|AB||DE|

值为()

A．16B．14C．12D．10

解析：法1:设,,直线方程为

A(x1,y1),B(x2,y2)D(x3,y3),E(x4,y4)l1yk1(x1)

2

y4x2k242k24

取方程,得2222∴11

k1x2k1x4xk10x1x222

yk1(x1)k1k1

2k24

同理直线与抛物线的交点满足2

l2x3x42

k2

由抛物线定义可知

|AB||DE|x1x2x3x42p

2k242k244416

12

224228222816

k1k2k1k2k1k2

当且仅当(或)时,取得等号．

k1k211

π

法2:设l的倾斜角为,则直线l的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:

122

2

444422

．

ABDE2222216

sin2πsincossincos

sin

2

故选A．

法4:设点,则122

Ax1,y1,Bx2,y2ABx1x2px1x22y1y22

4

12

yy2yy2设直线l的方程为xmy1m0

412121

联立直线与抛物线2方程消去可得2

l1C:y4xxy4my40

y1y24m12

所以,所以AByy2yy24m24

1212

y1y244

44

同理DE4，所以ABDE84m216(当且仅当m1时等号成

m2m2

立)

1

法5：可设直线l:ykxb,l:yxb，由抛物线焦点弦的性质3可得：

112k1

11

|AB|4(1),|DE|4(1k2)，故|AB||DE|4(1)4(1k2)16，当且仅

k2k2

当k1时取到最小值，故选A.

上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以

优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要

结论做一个补充.

例2．（2022新高考2卷）已知O为坐标原点，过抛物线C:y22px(p0)的焦点F的

直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点Mp，0，若AF＝AM，则直线AB

的斜率为26

A．直线AB的斜率为26B．OB＝OF

C．AB＞4OFD．OAMOBM180

p

p

3

解析：选项A：设FM中点为N，则xx2p,所以

AN24

6

p

336

y22px2ppp2y0,所以yp,故k226.

AAAAAB3p

422p

42

1121125pp

选项B：BFpxx所以

3pBB

AFBFppBFp623

42

p2p2p22p27p2p2

y22p.所以OBx2y2.

B33BB9394

3p25

选项C：ABppp2p4OF.

4312

选项D：由选项A,B知36p6所以

Ap,p,B,p,

4233

2

36p6p232所以为钝角；

OAOBp,p,ppp0,AOB

423344

2

又p6p6p2112所以为钝角；

MAMB,p,ppp0,AMB

42331212

所以OAMOBM180.故选ACD.

2

例3．（2023新高考2卷）．设O为坐标原点，直线y3x1过抛物线C:y2pxp0

的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．

A．p2

8

B．MN

3

C．以MN为直径的圆与l相切

D．OMN为等腰三角形

2

解析：A选项：直线y3x1过点1,0，所以抛物线C:y2pxp0的焦点F1,0，

p

所以1,p2,2p4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y24x.

2

y3x1

选项：设Mx,y,Nx,y，由消去y并化简得

B11222

y4x

1116

3x210x3x33x10，解得x3,x，所以MNxxp32，

1231233

B选项错误.

1416

或|MN|2p(1)4

k233

C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d，因为

111

dddMFNFMN，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为

21222

直径的圆与直线l相切，C选项正确.

3

D选项：直线y3x1，即3xy30，O到直线3xy30的距离为d，

2

116343

所以三角形OMN的面积为，由上述分析可知

2323

123，所以

y133123,y231

33

22

2

212313，所以三角形不是等腰三角

OM32321,ONOMN

333

形，D选项错误.故选：AC.

2

例4．（湖北省武汉市2025届高三二月调考）已知O为坐标原点，过抛物线y2pxp0

焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若AB12，若△OAB面积为46，则p（）

A．4B．3C．26D．32

pp

解析：（方法1）抛物线y22px的焦点F(,0)，设直线AB:xty，点A(x,y),B(x,y)，

221122

p

xty222

由2消去x得y2ptyp0，则y1y22pt,y1y2p，

2

y2px

22

|AB||AF||BF|x1x2pt(y1y2)2p2p(t1)12，即p(t1)6，

22222，

|y1y2|(y1y2)4y1y24pt4p2pt1

1122223

SOAB|OF||y1y2|pt146，则pt186，因此p64，

22

所以p4.故选：A

2

（方法）设直线的倾斜角为，由于2pp

2AB|AB|，S

sin2OAB2sin

所以p4.故选：A

2

例5.已知抛物线C:y4x的焦点为F，抛物线C上存在n个点P1，P2，，Pn（n2且

*2

nN）满足PFPPFPPFPPFP，则下列结论中正确的是（）

1223n1nn1n

11

A．n2时，2

P1FP2F

B．n3时，P1FP2FP3F的最小值为9

111

C．n4时，

P1FP3FP2FP4F4

D．n4时，P1FP2FP3FP4F的最小值为8

解析：当n2时，P1FP2P2FP1，此时不妨取P1P2过焦点垂直于x轴，

1111

，，

不妨取P1(12),P2(12)，则=+1，故A错误；

P1FP2F22

2

当n3时，PFPPFPPFP，此时不妨设P,P,P在抛物线上逆时针排列，

1223313123

2

设PFx,(0,),则|PF|，则

1211cos

22

|PF|,|PF|

2224，故

1cos()1cos()

33

1

2224(1cos)

P1FP2FP3F22

1cos24，

1cos()1cos()1cos12

33(cos)

2

11342t3

令tcos,t(,)，则PFPFPF，

22212332tt2

42t382t627(t1)

令f(t)，则f(t)，

32tt2(32t)2t3(32t)2t3

13

当t1时，f(t)0，f(t)递增，当1t时，f(t)0，f(t)递减，

22

1

故f(t)f(1)9，故当t1，即cos,时，PFPFPF取到最小值9，

min23123

故B正确；

当n4时，PFPPFPPFPPFP，

122334412

此时不妨设P,P,P,P在抛物线上逆时针排列，设PFx,(0,),

123412

2222

|PF|,|PF|,|PF|,|PF|

则12343，

1cos1cos()1cos()1cos()

22

222

即|PF|,|PF|,|PF|，故

21sin31cos41sin

224224

PFPF，PFPF，

131cos1cossin2241sin1sincos2

11sin2cos21

所以，故C正确；

P1FP3FP2FP4F444

44416

由C的分析可知：PFPFPFPF，

1234sin2cos2sin2cos2sin22

216

当sin21时，取到最小值16，即P1FP2FP3FP4F最小值为16，故D错

sin22

误；故选：BC

例6．（2022年全国甲卷）已知直线x2y10与抛物线C:y22px(p0)交于A,B两点，

且|AB|415．

（1）求p；

（1）设F为C的焦点，M，N为C上两点，FMFN0，求△MFN面积的最小值．

x2y102

解析：（1）设AxA,yA,BxB,yB，由2可得，y4py2p0，所以

y2px

yAyB4p,yAyB2p，所以

222，

ABxAxByAyB5yAyB5yAyB4yAyB415

即2p2p60，因为p0，解得：p2．

（2）（方法1）若设MFxMFN，由抛物线焦半径公式可得

2

22

|MF|,|NF|,故而（凌晨讲数学）

1cos1sin

11222

S|MF||NF|

MFN221cos1sin1sincossincos