2026高考数学复习微专题：78. 三大主流教材与椭圆十大定义

78.三大主流教材与椭圆十大定义

关于椭圆与双曲线的定义，在人教版，苏教版，北师大版新教材中均有涉及，而且不光是

第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指

出了这三个定义之间的关系.翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到这

三个定义（解答题亦有考察），本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定义，

并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他常见的定义

一．基本原理（公众号：凌晨讲数学）

★定义1.标准定义

椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集

，于是，假设焦点，的坐标分别为，点

P{M||MF1||MF2|2a}F1F2(c,0),(c,0)

P(x,y)，那么：

(xc)2y2(xc)2y22a①

将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：

a2cxa(xc)2y2②

对②式继续平方，再整理可得：

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)③

x2y2

由定义可知：ac，令b2a2c2，那么可得椭圆标准方程1(ab0)④.

a2b2

这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在x轴上椭圆标准方程④.

★定义2.椭圆的第二定义

(xc)2y2c

继续定位到②式，a2cxa(xc)2y2⑥.

a2a

x

c

a2

⑥式表明椭圆上的点P到右焦点F的距离与到直线x的距离之比是离心率e.

2c

★定义3.椭圆第三定义（公众号：凌晨讲数学）

x2y2(xa)(xa)y2yya2

由④式，1⑦，⑦式表明椭圆上

a2b2a2b2xaxab2

的点P到左右两顶点的斜率之积为一个定值.

实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设A,B是椭圆上任意两点且关

于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P（不与A,B重合）到A,B点的斜率之积为一个

定值.

证明：设的坐标分别为，，则由于三点均在椭圆上，故满

A,B(x0,y0),(x0,y0)P(x,y)

x2y2x2y2x2y2x2y2yyyyb2

足：00，，即0000.

22122122222

ababababxx0xx0a

★定义4.

2

如图，圆x1y216的圆心为B，点A(1,0)，点C为圆上任意一点，求线段AC的垂直

平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．

解析：连接PA，如下图：由题意可知，B(1,0)，圆的半径r|BC|4，且A(1,0)，

由垂直平分线定理可知，|PA||PC|，故|PB||PA||PB||PC||BC|4|AB|2

x2y2

由椭圆定义可知，P的轨迹为椭圆，设P的轨迹方程为：1(ab0)，

a2b2

从而2a4，即a2，又因为A(1,0)、B(1,0)，所以c1，又由b2a2c2可知，b3，

x2y2

从而P的轨迹方程为：1.

43

★定义5.

2222

已知两圆C1:(x2)y18,C2:(x2)y2，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆

C2外切.求动圆圆心M的轨迹方程C.

解析：设圆M的半径的R，则MC1MC232R2R424C1C2，

所以M的轨迹是以C1,C2的焦点的椭圆，则2a42，2c4，所以a22，c2，

x2y2

ba2c22，故动圆圆心M轨迹方程C为1

84

★定义6.丹德林双球的定义

如下图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），

切点圆分别为C1，C2.这两个球都与平面相切，切点分别为F1，F2，丹德林（G·Dandelin）

利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两

个球也称为Dandelin双球.

图图

如图，设直线F1F2分别与圆锥母线交于A,B两点，再设过点A,B的母线分别与C1，C2

交于C,D两点，由切线长定理：AF1AC，AF2AD，故AF1AF2ACAD2a.

同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点P，过P的母线分别与C1，C2交于

M,Q两点，则PF1PF2MQ2a.即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.

★定义7.压缩变换

将圆x2y24上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并

说明它是什么曲线．

解析：设所得曲线上任一点的坐标为x,y，圆x2y24上的对应点的坐标为x,y．

xxx2

由题意可得．因为x2y24，所以x24y24，即y21．这就是所得曲线

y2y4

的方程，该曲线是一个椭圆．

定义8.矩形分割

1．（人教A版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD中，|AB|2a，|BC|2b(ab0)．E，

F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R，S，T是线段CF

的四等分点．证明直线ER与GR、ES与GS、ET与GT的交点L，M，N都在椭圆

x2y2

1(ab0)上．

a2b2

b4b

1k4b

解析：由题得E(0,b)，R(a,0)，所以ER1a，所以直线ER的方程为yxb，

4aa

4

3

3bbb

①，由题得G(0,b),R(a,b)，所以4b，所以直线GR的方程为yxb，

4kGR4a

0a4a

8a15b8a15b

②，联立方程①②解之得x,y,所以直线ER,GR的交点为L(,)，

17171717

64a2225b2

代入椭圆方程得，所以直线ER,GR的交点L在椭圆上.同理ES与GS、ET

2892891

a2b2

x2y2

与GT的交点M，N都在椭圆1(ab0)上．

a2b2

2．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是

否在一个椭圆上，为什么？

解析：设矩形AABB的长AAa，宽ABb，以AA的中点O为原点，AA所在的直线为x

aaab

轴，AA的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A,0,A,0,B,,由于整个图形

2222

*

关于y轴对称，我们只研究第一象限，设M点是BB上自右到左的第k0kn,kN个

*akaakb

分点，N点是AB上自上到下的第k0kn,kN个分点，则M,b，N,，

2222

x2y2

nbakba221

所以AM:yx①，AN:yx②，①，②式相乘且整理得ab

ka2na2

22

③，因为点Px,y是直线AM与AN的交点，所以点Px,y满足方程③

故点P在椭圆上．

定义9.达芬奇椭圆仪

（2015年湖北卷理科数学）（苏教版87页）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，

短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑

动，且DNON1，MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周

（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x

轴建立如图2所示的平面直角坐标系．求曲线C的轨迹方程；

解析：设点Dt,0t2,Nx0,y0,Mx,y，依题意，MD2DN，且

tx2x2t

220

x0ty01

DNON1tx,y2x0t,y0,，即y2y0，由于当点D

x2y21

00

tt2x00

xy22

不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0,y0，代入xy1，

4200

x2y2x2y2

可得1，即所求的曲线C的方程为1.

164164

定义10.圆周取点

（苏教版81页）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆

周过点F（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）．这

样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

解析：如图所示：设圆心为点O，圆O的半径为r，设点F关于直线l的对称点为M，连接

MO交直线l于点P，连接PF，由对称性可得FPPM，所以，

PFPOPMPOOMr（定值），又因为OFOM，由椭圆的定义可知，点P的

轨迹是以F、O为焦点的椭圆.

二．典例分析

x2y2

例1.（2022甲卷）椭圆C:1(ab0)的左顶点为A，点P,Q均在C上，且

a2b2

1

关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为，则的离心率为

4

3211

A．B．C．D．

2223

解析：椭圆C的右顶点为B，由于点P,Q均在C上，且关于y轴对称，所以直线BP,AQ

133

也关于y轴对称，由椭圆第三定义，即kkkke21，e2，e．

APBPAPAQ442

x2y2

例2．D为椭圆1的右顶点，过坐标原点的直线交于P,A两点，直线AD,PD交

42

直线x3于E,F两点，求EF的最小值．

yyy2

解析：设，则．所以000．

Px0,y0Ax0,y0,D(2,0)kDPkDA2

x02x024x0

x2

20

x2y221

又00，所以．设直线的斜率为，则直线的

1kDAkDP2DPkDA

424x02

11

斜率为，所以直线DP的方程为ykx2，直线DA的方程为y(x2)．令

2k2k

1112

x3得E3,,F(3,k)．所以|EF|k|k|2，当且仅当k

2k2k2k2

时取等号．所以EF的最小值为2．

，

例3.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为F1(1,0)F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，

|

B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为

x2x2y2x2y2x2y2

A．y21B．1C．1D．1

2324354

解：如图所示：

设，由，代入焦半径公

A(x1,y1),B(x2,y2)|AF2|2|F2B|,|AB||BF1||BF1|3|BF2|

1

式到|BF|3|BF|可得：aex3(aex)xa2.(1).再由|AF|3|BF|

12222222

2.结合（1），（2）式可得，，故

aex12(aex2)2x2x1a.(2)x10

3a

|AF||AF|a，|BF|a,|BF|，这样在三角形ABF与三角形AFF中分别使

121222112

用余弦定理可得:a3,b2a2c2312.

小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.

例4.（2019全国三卷）

22

，xy△

设F1F2为椭圆C:+1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为

3620

等腰三角形，则M的坐标为___________.

解：由已知可得a236,b220,c2a2b216,c4，

MF1F1F22c8．∴MF24．由焦半径公式可知

2

设M(x,y)，由焦半径公式可知|MF|aex6x4x3

0020300

再代入椭圆方程可解得M的坐标为3,15．

x2y2

例5.椭圆C:1的左、右焦点分别为F、F，P为C上一点，且P在第一象限，

6212

，则点的坐标为

PF1PF2P_______.

66

解析：由题意，a6，c2，e，设Px,yx0,y0，则PF6x，

30000130

62242

PF6x，由PFPF可得PFPF12x2FF16，解得：x3，

230121230120

代入椭圆方程得，故

y01P3,1.

x2y2

例6.椭圆C:1的左、右焦点分别为F、F，P为C上一点，且P在第一象限，

8212

，则点的坐标为

PF1PF2P_______.

33

解析：显然a22，c6，e，设Px,yx0,y0，则PF22x，

20000120

3222343

PF22x，PFPFPFPFFF16x224x，代入

2201212122003

6436

椭圆方程得，故

y0P,.

333

x2y2

例7.（2021·新高考Ⅰ卷）已知F、F是椭圆C:1的两个焦点，点M在C上，

1294

则MF1MF2的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

5

解析：由题意，a3，b2，c5，离心率e，设Mx,y，3x3，

3000

555

则MF3x，MF3x，所以MFMF9x2，

1302301290

故当时，取得最大值

x00MF1MF29.

例8．如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一

活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动

以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已

知PA3AB，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（）

1377

A．B．C．D．

4443

解析：设ABx，x0，由题PA3AB，则PA3x，当A滑动到O位置时，P在上顶

点或下顶点，则bPA3x，又当P在右顶点时，B恰好在O位置，则aPB4x，

22c7x7

所以c4x3x7x，故离心率为e.故选：C.

a4x4

例9.（2018全国三卷）

x2y2

已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为

43

M1，mm0．

1

（1）证明：k；

2

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0，证明|FA|,|FP|,|FB|成

等差数列，并求该数列的公差.

2222

x1y1x2y2

解析：（1）设Ax1,y1,Bx2,y2，则1,1.

4343

yyxxyy

两式相减，并由12k得1212k0.

x1x243

xxyy3

由题设知121,12m，于是k.①

224m

31

由题设得0m，故k.

22

（2）由题意得，设，则.

F(1,0)P(x3,y3)(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0)

由（1）及题设得.又点P在C上，所以

x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0

333

m，从而P(1,)，|FP|.于是

422

2

222x1x1x2

|FA|(x11)y1(x11)3(1)2.同理|FB|2.

422

1

所以|FA||FB|4(xx)3.故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等

212

差数列.设该数列的公差为d，则

11

2|d|||FB||FA|||xx|(xx)24xx.②

21221212

37

将m代入①得k1.所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得：

44

11321

7x214x0.故xx2,xx，代入②解得|d|.所以该数列的公差

412122828

321321

为或.（公众号：凌晨讲数学）

2828

注：椭圆的焦半径公式在例4的解题中起到了关键性作用！对于该公式，其推导很简单，

就是两点间距离公式再结合椭圆方程可得，所以，在解答题中，考生们完全有机会自行推

倒后利用其解题！

x2y2

推广：若A(x,y),B(x,y),P(x,y)是椭圆C:1(ab0)上不同的三点，且

112233a2b2

，设为的右焦点，且，则成等

x1x22c(x1x2)FCFPFAFB0FA,FP,FB

差数列.

证明：由题设知.

FA(x1c,y1),FB(x2c,y2),FP(x3c,y3)

FA

由椭圆的第二定义知e，即FAaex，同理FBaex,FPaex.

a2123

x

c1

若，则，所以.

FPFAFB0x33cx1x2cFPaec

又，所以，即成

FAFB2ae(x1x2)2a2ecFAFB2FPFA,FP,FB

等差数列.

例10．（2023届广州一模）如图是数学家Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲

线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相

切，设图中球O1，球O2的半径分别为4和2，球心距离O1O2210，截面分别与球O1，

球O2相切于点E,F（E,F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

ODOF1

22

210410

解析：设，由O1DO1E2，解得，

O1O2EFDO2D,O1D

33

O2DO1D210

22

4104210242

所以22，所以2c2,c1，

DE4,DF2

333333

设直线EF与圆锥的母线相交于点A，圆锥的母线与球相切于B,C两点，如图所示，

则ABAE,ACAF，两式相加得ABACAEAFacac2a，即BC2a，

2

过作，垂直为