2024-2025学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）

1.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,-2）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,2）B.（-3,-2）C.（-3,2）D.(3,-2)

2.（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对■称图形的是（)

.㊁

3.(2分)抛物线y=(x-4)2+］的顶点坐标是()

A.(4,1)B.(-4,1)C.(4,-1)D.(-4,-1)

4.（2分）如图，04是。。的半径，48是的弦，于点C,若04=5,AB=8,则OC的长为

()

C.4D.5

5.（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（）

A.2B.XC.工D.工

3234

6.（2分）若关于x的一元二次方程/+小/16=0有两个相等的实数根，则实数〃，的值为（）

A.16B.8C.8或-8D.4或-4

7.（2分）在平面直角坐标系xQy中，抛物线歹=aX+bx+c（〃W0）的顶点为P（-1,幻，且经过点4（-

3,0）,N（/,〃），其部分图象如图所示.则下列说法正确的是（）

第1页（共28页）

A.n>k

B.k=4a

C.当f=3时，〃=0

D.-t-2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n（aWO）的一个根

8.（2分）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研

究.刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角

边分别为。，b,斜边为c）沿其内切圆圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、

不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含。，b,c的式子表示）为（）

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）”射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（填“随机”或“必然”）事件.

10,（2分）如图，A,B,。是上的点，如果N8OC=120°,那么N/MC的度数是.

11.<2分）如图，是OO的切线，4,C为切点.若乙”。=60。，〃。=5,则直径月〃的长是

12.（2分）在平面直角坐标系大为中，抛物线旷=G2+队+。3工0）上部分点的横坐标北纵坐标y的对

第2页（共28页）

应值如表:

则该抛物线的对称轴是.

13.（2分）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的周长为m.

14.（2分）在平面直角坐标系xQy中，若点力（0,2）绕原点。顺时针旋转60°得到点4,则点/运动

到点H的轨迹的长度为.

15.（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率.统计数据如下:

移植总数〃105040075015003500900014000

成活数M84736966213353203807312628

成活的频率典（结果保留小数点后三位）0.800a0.9230.8830.8900.9150.8970.902

n

根据表中信息，回答下列问题：

（1）〃的值为；

（2）估计幼树移植成活的概率为（结果保留小数点后一位）.

16.（2分）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练.如图所示，将发球机放置在点力处，羽毛球发射的初始

位置的高为力A,AB=\3m.若羽毛球从点4发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在

飞行过程中，在与点力的水平距离为6/〃的点C处的正上方达到最高点，且高度为弱?，在与点力的水

三、解答题（共68分，第17・22题，每题5分，第23・26题，每题6分，第27・28题。每题7分）解答应

写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：2-1+|-阮|-（3.14-兀）

第3页（共28页）

18.（5分）解方程：.，-标=12.

19.（5分）已知〃?是方程x2-2J-3=0的一个根，求代数式/〃（〃?-2）-5的值.

20.（5分）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图，点。在OO外.

求作：的切线，使它经过点p.

作法：①作射线尸。交。。于力，8两点；

②以点尸为圆心，以PO的长为半径作弧；以点。为圆心，以48的长为半径作弧，两弧相交于点",

N；

③连接。M,ON分别交于点C,D；

④作直线2C,PD.

直线尸C,尸。为所求作的切线.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PM.

在。。中，点力，B,C在上.

•:AB=OM,

•••OC-yAB-yOM-

：.OC=MC.

•:PO=PM.

：.PC1OM（①）（填推理依据）.

••・直线PC是。。的切线（②）（填推理依据）.

同理可证、直线尸。是OO的切线.

21.（5分）已知关于x的一元二次方程F--1=0.

（1）求证：该方程总有两个K相等的实数根；

第4页（共28页）

（2）若该方程的两个实数根的积为3,求人的值.

22,（5分）在平面直角坐标系XQF中，抛物线y=/+用》+〃经过点力（0,3）,8（-1,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G,直接写出抛物线G的解析式.

23.（6分）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的

影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm,宽400〃的展板上展出介绍四大发明的海报，

每幅海报面积均为640C〃?2,若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求

彩色纸带的宽度.

100cm

O

印

刷

术

■

24.（6分）如图，力3是。。的直径，点C在OO上，连接AC,BC,作。。〃4C交于点。，交BC

于点E.

（1）求证：BD=CD：

（2）过点。作OO的切线交.4C的延长线于点凡若CF=1,BC=4,求4c的长.

25.（6分）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成分，某校科学小组连续28天监测了

25℃恒温下4品类和8品类鸡蛋品质变化的情况，其中•项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋

黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）.当储存时间为工（单

位：天）时，力品类鸡蛋的蛋黄指数记为刈，8品类鸡蛋的蛋黄指数记为及，部分数据如下：

。天07142128

第5页（共28页）

为0.450.350.260.180.13

yi0.450.330.280.260.15

通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画为与X,及与X之间的关系，如图所示，在给出的平面直

角坐标系xQy中，画出了函数力，力的图象.

根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

（1）第天（结果保留整数）之后，〃品类鸡蛋的蛋黄指数大于力品类鸡蛋的蛋黄指数；

（2）当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，4品类鸡蛋从第天（结果保留

整数）起基本失去弹性；8品类鸡蛋从第天（结果保留整数）起基本失去弹性；

（3）当储存时间相同时，若记〃品类鸡蛋的蛋黄指数与/品类鸡蛋的蛋黄指数的差为〃，则〃的最大

值约为（结果保留小数点后两位）.

26.（6分）在平面直角坐标系中，P3,刈），QCx2,以）是抛物线歹=­3-2/内+2上的两点.

（1）求抛物线的对称轴（用含〃，的式子表示）；

（2）对于1WX]W3,X2=4/〃，都有及〈月，求机的取值范围.

27.（7分）P是正方形4BCD边BC上一点,连接PZ）,PA.将线段尸。绕点尸顺时针旋转90°得到线段

PE,将线段左绕点。逆时针旋转90°得到线段PR连接BF.

（1）如图1,当点。为8c中点时，直接写出线段与线段4*的数量关系：

（2）如图2,当点夕为线段8c上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段CE与Bb的数量关

系，并证明.

第6页（共28页）

E

28,(7分)在平面直角坐标系x。中，。。的半径为1.而于的弦力3和点C,给出如下定义：若在

。0上或其内部存在一点C'使得四边形C4C'〃是菱形且是该菱形的对角线，则称点。是弦44

的“伴随点”.

(1)如图，点力(0,1),8(1,0).

①在点G(2,0),。2(I，I)，C3(—>,)中，弦力8的“伴随点”是点_________；

22

②若点。是弦48的“伴随点”且//。8=120°,则0。长为；

(2)已知尸是直线y=x上一点，且存在OO的弦M/V=&,使得点尸是弦MN的“伴随点”.记点P

的横坐标为八当，>0时，直接写出/的取值范围.

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2024・2025学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）

1.（2分）在平面直角坐标系中，点（3,-2）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,2）B.（-3,-2）C.（-3,2）D.（3,-2）

【分析】根据平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标特点，结合题意代入点的坐标易得答案.

【解答】解：根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

・••点（3,-2）关于原点对称的点的坐标为（-3,2）,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，比较简

单.

2.（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【分析】轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋

转度后与自身重合.据此逐一分析判断即可.

【解答】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B.该图不是轴对称图形，是巾心对称图形，故此选项不符合题意：

C.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图既是中心对称图形，乂是轴对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键.

3.（2分）抛物线y=（x-4）2+1的顶点坐标是（）

A.（4,1）B.（-4,1）C.（4,-1）D.（-4,-1）

【分析】根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标.

第8页（共28页）

【解答】解：•・・抛物线^=G-4）2+1,

，抛物线顶点为（4,1）,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

4.（2分）如图，CM是的半径，48是O。的弦，OCJ_48于点C,若04=5,48=8,则OC的长为

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据垂径定理即可求得力C的长，在直角△力。。中.利用勾股定理即可求得0C的长.

【解答】解：・・・OCL48,AB=8,

：.AC=^AB=4,

2

在直角△AOC中，。4=5,

=22=22

'OCVOA-ACV5-4=3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了垂径定理，利用垂径定理可以把半径，弦心距，弦长之间的计算转化为解直角

三角形.

5.（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（）

A.2B.XC.XD.1

3234

【分析】列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解即可.

【解答】解；画树状图如图.

正反正反

第9页（共28页）

•.•共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果有1种，

・•・两枚硬币全部正面向上的概率为

4

故选：

【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键.

6.(2分)若关于x的一元二次方程，+mx+16=0有两个相等的实数根，则实数〃，的值为()

A.16B.8C.8或-8D.4或-4

【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解;由题知,

因为关于x的一元二次方程?+加什16=0有两个相等的实数根，

所以A=m2-4X1X16=0,

解得加=±8.

故选：C.

【点评】木题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关健.

7.(2分)在平面直角坐标系xOj中，抛物线y=a/+bx+c(g0)的顶点为夕(-1»k),且经过点力(-

3,0),N(/,〃)，其部分图象如图所示.则下列说法正确的是()

D.k=4a

C.当r=3时，〃=0

D.-/-2是关于x的一元二次方程(aNO)的一个根

【分析】由抛物线开口方向和顶点坐标判断4由二次函数图象上点的坐标特征可判断8；由函数的对

称性判断C；由抛物线的对称性以及函数与方程的关系即可判断D.

【解答】解：•・•抛物线开口向下，顶点为P(-1,A),且经过点力(-3,0),N(/,〃)，

・•・〃<%,故4错误;

第10页(共28页)

•・•抛物线顶点为。（・1,A）且经过点月（-3,0）,

:.k=a-b+c,--^-=-1,9。-3b+c=0,

2a

:・b=2a,c=-3a,

:.k=a-2a-3a=-4a,故8错误；

•・•抛物线与x轴的一个交点为（-3,0）,对称轴为宜线x=-l,

・•・抛物线与八轴的另•个交点为（1,0）,

:.当t=1时，〃=0,故C错误：

•・•抛物线过点N（/,«）,对称轴为直线x=-1,

，点N（f,〃）关于对称轴的对称点为（・「2,〃），

:.-t-2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n（a#0）的一个根，故D正确.

故选：D.

【点评】本题考查了一次困数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，

解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题.

8.（2分）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研

究.刘徽川出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角

边分别为。，b,斜边为c）沿其内切圆圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、

不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径"（用含“，b,c的式子表示）为（）

图1图2

A.d=-2abB.d=3~

a+b+ca+b+c

C.d=---------D.d=2c

2（a+b+c）a+b+c

【分析】根据矩形的面积和三角形的面积公式列方程即可得到结论.

【解答】解：设内切圆的半径为以

根据题意得，矩形的面积=4个全等的直角三角形的面积和=4xlx（a+r）（6+厂）,

2

第11页（共28页）

;矩形的面积=（a+b+c）・2八

：.4xl-Xab=(a+b+c)・2,・,

a+b+c

：.d=2ab,

a+b+c

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切I员I与内心，全等三角形的性质，矩形的性质，切线的性质，正确地识

别图形是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机（填“随机”或“必然”）事件.

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【解答】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，

故答案为：随机.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生

的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件：不确定事件即随机事件是指在一定条件下,

可能发生也可能不发生的事件.

10.（2分）如图，4,B,C是。。上的点，如果N8OC=120",那么N54C的度数是60°.

【分析】直接根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：•・"，B,C是。。上的点，ZBOC=\20°,

AZ^JC=Xx120°=60°,

2

故答案为：60°.

【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关健.

11.（2分）如图，PA,PC是。。的切线，A,C为切点.若N/1PC=6（）°,尸0=5,则直径力4的长是

5.

第12页（共28页）

A

【分析】根据切线的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・•4，尸C是。。的切线，

・・・NCM尸=90°,NAPO=APC,

VZAPC=60°,

AZAPO=30Q,

/.OA=2.5,

：.AB=2OA=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了切线性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

12.（2分）在平面直角坐标系x3,中，抛物线），=然2+bx+c（qWO）上部分点的横坐标x,纵坐标歹的对

应值如表：

X•••-2-1012•••

y•••-3-4-305•••

则该抛物线的对称轴是x=7.

【分析】根据抛物线的对称性求解.

【解答】解:由表格可知,

抛物线的对称轴是直线工=%坟=-1,

故答案为：x=-1..

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解.

13.（2分）如图，有一个亭子，它的地基是半径为4机的正六边形，则地基的周长为，加.

第13页（共28页）

【分析】如图，连接04、0B,则。1=08=4。〃，然后通过求N408得到△408的形状，再结合半径

求得月4的长度，最后求得周长.

【解答】解：如图，

F_____

连接4）、B£交于点。，则04=08,BC

•・•正六边形的边长为4〃?，

・•・0/1=08=4〃?，ZAOB=36004-6=60",

是等边三角形，

.\AB=OA=4m,

工地基的周长为4X6=24”，

故答案为:24.

【点评】本题考查了正多边形与圆，解题的关键是通过正多边形的半径求得正六边形的边长.

14.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点、A（0,2）绕原点。顺时针旋转60°得到点4,则点力运动

到点T的轨迹的长度为_拳_.

【分析】根据旋转的性质和弧长公式即可解决问题.

【解答】解：•・•点4（0,2）绕原点。顺时针旋转60。得到点4,

・•・点力运动到点H的轨迹的长度=鲫兀♦2=22二

1803

故答案为：22L.

3

【点评】本题考查轨迹，坐标与图形变化-旋转，弧长公式，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

15.（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件卜的移植成活率，统计数据如下：

移植总数〃105040075015003500900014000

成活数84736966213353203807312628

成活的频率典（结果保留小数点后三位）0.800a0.923().8830.8900.9150.8970.902

n

根据表中信息，回答下列问题：

（1）«的值为0.94；

（2）估计幼树移植成活的概率为（）.9（结果保留小数点后一位）.

第14页（共28页）

【分析】（1）利用4=典即可得出结论；

n

（2）根据幼树的成活率始终稳定在0.9左右即可得出结论.

【解答】解：（1）。=&1=0.94,

50

故答案为：0.94；

（2）由表格中的数据可知，大量重复实验幼树的成活率稳定在0.9附近,

・•・估计幼树移植成活的概率为0.9.

故答案为：0.9.

【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右

摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个

固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键.

16.（2分）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练.如图所示，将发球机放置在点4处，羽毛球发射的初始

位置的高为力从AB=\.3m.若羽毛球从点4发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在

飞行过程中，在与点力的水平距离为6m的点C处的正上方达到最高点，且高度为hm,在与点力的水

【分析】以点/为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，由题意得，顶点坐标为：（6,6）,点8（0,

1.3）、D（13,0）,即可求解.

【解答】解：以点力为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线的表达式为：y=a（x-6）2+九

将点仄。的坐标代入上式得：1l.3=36a+h

l0=49a+h

解得：卜=一°,1,

lh=4.9

故答案为4.9.

第15页（共28页）

【点评】本题考查的是二次函数的应用，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17・22题，每题5分，第23・26题，每题6分，第27・28题。每题7分）解答应

写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：2-1+|-阮-兀）“

【分析】先根据负整数指数哥、绝对值、零指数寻的运算法则计算，再合并即可.

【解答】解：2-1+|-/适|-（3.14-兀）°

=^-+712-1

=y+2V3-1

=2V3得

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.（5分）解方程：f-4x=12.

【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：，-4x=12,

『-4x72=0,

（x-6）（x+2）=0,

x-6=0或x+2=0,

所以町=6,X2=-2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

19.（5分）已知阴是方程，-21・3=0的一个根，求代数式“（m・2）-5的值.

【分析】先利用一元二次方程解的定义得到〃?2・2〃?=3,再去括号得到〃？（〃L2）・5=〃P・2〃L5,

然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：•，〃是方程『-2x-3=0的一个根，

m2-2m-3=0>

m2-2w=3,

/.m（机-2）-5=nr-2m-5=3-5=-2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

第16页（共28页）

20.（5分）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.

己知：如图，点尸在外.

求作：。。的切线，使它经过点P.

作法：①作射线尸。交。。于力，E两点；

②以点P为圆心，以PO的长为半径作弧；以点。为圆心，以48的长为半径作弧，两弧相交于点M,

N；

③连接OM,ON分别交。。于点C,D；

④作直线尸C,PD.

直线2C,为所求作的切线.

根据小明设计的尺规作图过程，

（I）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PM.

在。。中，点4B,。在O0上.

・•・OC=yAB=yOM-

：,OC=MC,

•:PO=PM.

・・・PC_LQ”（①等腰三角形的三线合一）（填推理依据）.

・•・直线?C是OO的切线（②经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）（填推理，衣据）.

同理可证、直线PO是。。的叨线.

【分析】（1）根据要求作出图形;

（2）证明PC_LOC可得结论.

【解答】（1）解：图形如图所示:

第17页（共28页）

M

（2）证明：连接PM.

在OO中，点4B,。在。。上.

■;AB=（）M,

：.OC=^AB=^OM,

22

：，OC=MC.

,:PO=PM.

.\PC1OM（①等腰三角形的三线合一），

，直线PC是的切线（②经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）.

同理可证、直线PO是。。的切线.

故答案为：等腰三角形的三线合一，经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质，等腰三角形的性质,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.（5分）已知关于x的一元二次方程小・2米+标・1=0.

（1）求证：该方程总有两个大相等的实数根：

（2）若该方程的两个实数根的积为3,求k的值.

【分析】（1）先计算根的判别式的值得到A=4,则△＞（）,然后根据根的判别式的意义得到结论：

（2）利用根与系数的关系得1=3,然后解关于k的方程即可.

【解答】（1）证明：•・•△=（・2幻2-4（d7）

=4k2-4/+4

=4>0,

第18页（共28页）

，该方程总有两个不相等的实数根：

(2)解：根据根与系数的关系得3-1=3,

解得叫=2,42=-2,

即斤的值为±2.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi，X2是一元二次方程。/+云+°=0(aWO)的两根时，知+M

=-且，x/=£.也考查了根的判别式.

aa

22.(5分)在平面直角坐标系xQv中，抛物线卜=/+加+〃经过点力(0,3),8(7,0).

(I)求抛物线的解析式；

(2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G,直接写出抛物线G的解析式.

【分析】(1)把点力(0,3),4(-1,0)代入点力(0,3),2?(-1,0),求出〃h〃的值即可得出

结论；

(2)把(I)中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论.

【解答】解:(1)•・・抛物线产/+〃田+〃经过点/(0,3),8(・1,0),

/fn=3,

\l-m+n=0

解得了3.

m=4

/.此抛物线的解析式为y=/+4x+3；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=/+4x+3=(X+2)2・1,

，将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G的解析式为：y=(x+2-3)2-1,

即y=(x-1)2-1.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次承数的性质，二次函数图象上点的坐标特征,

待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关犍.

23.(6分)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的

影响.某校科技节活动中，计划在如图所示的长100c，〃，宽40c,〃的展板上展出介绍四大发明的海报，

每幅海报面枳均为640"落若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为XCM的彩色纸带，求

彩色纸带的宽度.

第19页(共28页)

100cm

【分析】将图中的四个名著平移在一起，则长为(10()-5.v)刖，宽为(40-2Ccm,然后根据每幅海

报面积均为640"落可以列出方程(100-5x)(40-2x)=640X4,再求解即可.

【解答】解:由题意可得,

(100-5%)(40-2%)=640X4,

解得修=4,X2=36(不符合题意，舍去)，

答：彩色纸袋的宽度为4c〃?.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

24.(6分)如图，48是。。的直径，点C在。。上，连接力C,8C,作4c交于点。，交BC

于点E.

(1)求证：BD=CD；

(2)过点。作0O的切线交力。的延长线于点凡若5=1,2C=4,求力。的长.

【分析】(1)根据圆周角定理得到N/C8=90°,根据平行线的性质得到。。J_8C,根据垂径定理证明

即可；

(2)根据切线的性质得到根据矩形的性质求出再根据勾股定理计算即可.

【解答】(1)证明：・・・4?是OO的直径，

・•・/4c8=9()°,

•：OD〃AC,

：・/OEB=NACB=90°,即。。_L8C,

第20页(共28页)

***BD=CD：

(2)解：・・・。/是。。的切线，

LODLDF,

9：ZOEB=ZACB=90°,

•••四边形CFOE为矩形，

1,DE=CF=\,

•；ODLBC,

：.CE=BE=^BC=2,

2

在Rt^O£8中，OB2=OE2+BE2,即。加=2+22,

解得：04=旦，

2

.\AB=5,

【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

25.（6分）鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成分，某校科学小组连续28天监测了

25℃恒温下力品类和8品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋

黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）.当储存时间为x（单

位：天）时，力品类鸡蛋的蛋黄指数记为为，4品类鸡蛋的蛋黄指数记为力，部分数据如下：

通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画刈与x,及与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直

角坐标系xQy中，画出了函数B，处的图象.

根据以上数据与函数图象，解决卜列问题：

第21页（共28页）

（1）第11天（结果保留整数）之后，8品类鸡蛋的蛋黄指数大于力品类鸡蛋的蛋黄指数：

（2）当蛋黄指数小于或等于Q.18时，蛋黄基本失去弹性，力品类鸡蛋从第21天（结果保留整数）

起基本失去弹性；8品类鸡蛋从第27大（结果保留整数）起基本失去弹性；

（3）当储存时间相同时，若记〃品类鸡蛋的蛋黄指数与力品类鸡蛋的蛋黄指数的差为〃，则〃的最大

值约为0.09（结果保留小数点后两位）.

【分析】（1）观察函数图象，找到4品类鸡蛋的蛋黄指数与/品类鸡蛋的蛋黄指数的交点，即可判断

出H品类鸡蛋的蛋黄指数大于力品类鸡蛋的蛋黄指数大约在几天之后；

（2）取y=0.18,看《品类鸡蛋和8品类鸡蛋所对应的天数即可；

（3）从表格中易得第21天〃的值，观察函数图象可得在第22天时，〃的值最大，根据所给函数图象

判断〃的最大值即可.

【解答】解：

（1）观察图象可得：8品类鸡蛋的蛋黄指数等于力品类鸡蛋的蛋黄指数的天数大约为11,

・••第11天（结果保留整数）之后，8品类鸡蛋的蛋黄指数大于/品类鸡蛋的蛋黄指数.

故答案为：11;

（2）观察函数图象，当y=0.18时，对应4品类鸡蛋的天数约为21,对应8品类鸡蛋的天数约为27,

・・・力品类鸡蛋从第21天（结果保留整数）起基本失去弹性；4品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起

基本失去弹性.

故答案为：21,27；

（3）•・•第21天时，”=0.26・0.18=0.08,第22天时，”的值变化不大，”的值明显下降,

第22页（共28页）

・•・■的最大值约为0.09,

故答案为：0.09.

【点评】本题考查函数及其图象的相关知识.根据图象结合表格判断出相应的数值是解决本题的关键.

26.(6分)在平面直角坐标系xOp中，P(xpy\),Q(必及)是抛物线了=/-2/nx+2上的两点.

(1)求抛物线的对称轴(用含用的式子表示)；

(2)对于X2=4〃Z,都有及〈月，求相的取值范围.

【分析】(1)把解析式化成顶点式即可求得；

(2)求出点Q(Am,v2)关于抛物线的对称轴的对称轴点即可解决问题.

【解答】解：(1)**y=x2-2mx+2

=(x-/w)2-混+2,

・•・抛物线的对称轴为直线X=M；

(2)抛物线的对称轴为直线/=〃?.

・,.点(4m,y2)关于对称轴的对称点坐标为(-2m,及).

又.y^Vyi，且抛物线开口向上，

，当机20时，Q(4/n,y2)在对称轴的右侧,

4

4

当机<0时，Q(4加,y2)在对称轴的左侧,P(xi，在对称轴的右侧,

:.-2m<1,

•**m>

2

,,_m<0:

综上，加的取值范围是-1<

24

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.

27.(7分)户是正方形川?。边4C上一点，连接P。，PA.将线段尸。绕点尸顺时针旋转90°得到线段

PE,将线段产力绕点尸逆时针旋转9()°得到线段尸连接CE,BF.

(1)如图I,当点尸为4c中点时，直接写出线段CE与线段5"的数量关系；

(2)如图2,当点P为线段6C上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段CE与3户的数量关

第23页(共28页)

系，并证明.

E

【分析】(1)由正方形的性质得0c=48,NDCP=N<BP=90°,而PC=PB,即可证明△OCPgA

ABP,得尸。=4,NDPC=/APB,由旋转得PE=P。，PF=PA,NDPE=/APF=9C,贝ljPE=

PF,4CPE=/BPF,进而证明△(:尸得CE=8E

(2)作ELJ_8c交8C的延长线于点3FHJ_8c交C8的延长线于点〃，由NL=NZ)C尸=90°,Z

LPE=/CDP=90°-ZDPC,PE=DP,证明丝△CDP,得LE=CP,PL=DC=BC,则CZ=

PB,同理△/〃小•0△842则m=P3,PH=AB=BC,所以CL=FH,HB=CP,则LE=HB,进而证

明△(?££•丝△尸〃4,则CE=8R

【解答】解：(1)