2024-2025学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1〜8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）9的算术平方根是（）

A.3B.±3C.V3D.±V3

2.（2分）下列图形中是轴对称图形的是（)

常目

C国D徐

3.（2分）下列事件中，属于随机事件的是（)

A.哥哥的年龄比弟弟的年龄大

B.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上

C.6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球

D.三角形的两边之和小于第三边

4.（2分）在下列长度的线段中，能与长度分别为4,10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（）

A.4B.6C.9D.14

5.（2分）如果把分式2-中的心力同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（）

a+b

A.不变B.扩大为原来的2倍

C.缩小到原来的工D.扩大为原来的4倍

2

6.（2分）已知公式、■=」—41-其中R,R\»&均不为零，且火1+〃2工。・若用含一有R|,佗的式子表不

RR1R2

R,则〃为（)

1R1+RoR1Ro

A.B.---C.———-D.—i—=-

R1+R2^1^2区1+区2

7.（2分）如图，在中，zZ?JC=90°,AOJ_"C于点。,DE平分N4BC,交，。于点E.若/R4D

=34°,则/力欧的度数为（

C.62°D.65°

第1页（共25页）

8.（2分）如图，一个面积为。（〃>1）的正方形。48C,Of边在数轴上，且。是数轴的原点，该正方形

沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，/秒后运动到正方形O'A1B'C的位置，此时正方

形048。和正方形4B'C重叠部分的面积为爪.给出下面三个结论:

①长方形O/'B,。的面积为2aWL

②t=F-1;

③点力'对应的数为2立-2.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

CC1B'

O""~O1A'""A7~

A.①②B.①③C.②③D,①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若分式配L的值为0,则x的值为______________________.

x-3

10.（2分）“如果那么#=房，，的逆命题是.

11.（2分）化简：版=.

12.（2分）如图，NBAD=/CAE,AB=AD,请你添加一个适当的条件：,使得△

ABC^^ADE.

13.（2分）春节期间，某商场举吁有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行

一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是

14.（2分）如图，O是数轴的原点，点M对应的数为2,MNLOM,MN=3,连接ON,以点。为圆心,

第2页（共25页）

ON长为半径作弧，交数轴的正半轴于点心点月对应的数为”，则。的值为

3(填”或"V").

-^―(a>b)

WB.计算2*3的结果

15.(2分)对于任意不相等的实数。，b,定义运算"”如下：a*b=

-^―(a<b)

b-a

为;若4乜=2,则%的值为

16.（2分）如图，在△〃我;中，N5=4C=2,ZJ=90°,。是4C的中点，E,厂分别是线段力4,AC±

的动点（点七不与点月，4重合），且满足。给出下面四个结论:

®DE=DFx

②/E+/1/=2；

③四边形AEDF的面积为1；

④点E到点尸距离的最小值为证.

上述结论中，所有正确结论的序号是

三、解答题（共68分，第17〜20题，每题5分，第21题6分，第22〜24题，每题5分，第25题6分,

第26〜28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：V2x&板.

18.（5分）计算：我+（1-兀）°+4（-2）2-

（5分）计算：工

19.a-2

a+2a2+4a+4

20.（5分）解方程：!」2匚二2

xx-1

第3页（共25页）

21.（6分）己知：如图，F,C是线段8七上两点，AB//DE,BF=CE,AA=AD.求证：AB=DE.

22.（5分）已知a・36+1=0,求（一^--2a.0勺值.

23.（5分）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1,2,3,9的9

张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功；三个游戏规则如下：

规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5,那么选手闯关成功，否则闯关失败；

规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败；

规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败.

请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由.

24.（5分）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了4,8两种品牌的篮球，其中

购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B

品牌篮球的数量的1.5倍，且力品牌篮球的单价比4品牌篮球的单价便宜30元，求力，4两种品牌篮

球的单价.

25.（6分）数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形.

小华说：如图1,任意作一个过点8作N48C的平分线8Q,在射线8。上任取一点G（与点8

不重合），过点G作8。的垂线分别交历1,BC于点E,F,这样得到的△台后尸为等腰三角形.

（2）受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2,任意作一个NPO0,过点。作

的平分线。〃，在射线上任取一点K（与点。不重合），过点K作直线分别交OP,于点

河，N,使得KM=KN,这样得到的△OMN为等腰三角形.小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全

第4页（共25页）

证明过程.

如图3,延长OK到点r,使得AT=OK,连接Nr.

在△KOM和△K77V中，

KO=KT

•0

KM=KN

•••△KOMEKTN.

：・OM=NT()；(填推理依据)

ZKOM=ZT.

•••Or平分N.MOM

jNKOM=NKON.

：.NO=NT（）（填推理依据）.

又，：OM=NT,

：・OM=ON.

为等腰三角形.

26.（7分）在△川气？中，N4BC=45°,AD上BC于点、D,过点。作QE_L4C于点£,过点4作47JL

DE,交上。的延长线于点尸.

（1）依题意补全图形，并证明/

（2）如果/。=«,CD=1,求DE,。尸的长.

A

CDB

27.（7分）阅读下面材料；

我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如:］「二.7W6二手

V7-^6(V7-V6)(V7W6)

似的把分子中的根号化去就是分子有理化.,例如：夜一加二巫卑草3"=^^.分子

V7+V6V7W6

有理化可以用来比较某些二次根式的大小,例如：比较行-在和近-我的大小，可以先将它们分子

有理化如下：V7-V6=1r>瓜-代L因为明娓8后,所以

Vr7W6

V7-V6<V6-V5.

第5页（共25页）

请根据上述材料，解决下列问题：

（I）把下列各式分子有理化：

①®-V3=

（2）比较和JIT-3的大小，并说明理由；

<3）将式子而1-分子有理化为，该式子的最大值

为.

28.（7分）如图，已知△/8C和△4QE都是等边三角形，连接8。，CE,延长EC交8。于点P.

（1）求证：4BAD出ACAE；

（2）连接力尸，用等式表示线段力P,DP,“之间的数量关系，并证明.

第6页（共25页）

2024・2025学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）第1〜8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）9的算术平方根是（）

A.3B.±3C.V3D.±V3

【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可.

【解答】解：9的算术平方根是3,即《§=3,

故选：A.

【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键.

2.（2分）下列图形中是轴对称图形的是（）

.aB磔CH体

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折直，直线两旁的部分能够旦相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴进行分析即可•.

【解答】解：A,4,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

。选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合是解题的关键.

3.（2分）下列事件中，属于随机事件的是（）

A.哥哥的年龄比弟弟的年龄大

B.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上

第7页（共25页）

C.6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球

D.三角形的两边之和小于第三边

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能

事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可.

【解答】解：哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，则力不符合题意；

抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，则8符合题意：

6个小球放进5个箱子里，至少有一个箱子有2个小球是必然事件，则。不符合题意：

三角形的两边之和小于第三边是不可能事件，则D不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.（2分）在下列长度的线段中，能与长度分别为4,10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（）

A.4B.6C.9D.14

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第

三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由比即可判断.

【解答】解：力、4+4V10,不能组成三角形，故力不符合题意；

B、4+6=10,不能组成三角形，故4不符合题意；

C、4+9>10,能组成三角形，故C符合题意：

D.10+4=14,不能组成三角彩，故。不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

5.（2分）如果把分式乌L中的“，。同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（）

a+b

A.不变B.扩大为原来的2倍

C.缩小到原来的工D.扩大为原来的4倍

2

【分析】根据分式的性质进行判断即可.

【解答】解：把分式包中的a,6同时扩大为原来的2倍可得/a久_,

a+b2（a+b）a+b

即该分式的值不变，

故选：A.

【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关健.

第8页（共25页）

（分）已知公式」—其中

6.21=41R，Ri，&均不为零，且R]+&WO,若用含有R，色的式子表示

RR1R2

R,则R为（）

cR]+R2R1区2

A.7?|+/?2B.]D.—L_±_

Rl+R?R1R2R[+R,

【分析】先计算等式右边，再取倒数即可.

【解答】解：・・・l=-^_+5—=曳里

R^1^2^1^2^1^2

：・R=—U-,故选项。符合题意.

R1+区2

故选：D.

【点评】本题考杳了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接

相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.

7.（2分）如图，在△A4C中，N84c=90°,4）J_8c于点。，BE平分N4BC,交AC于点、E.若NB4D

A.56°B.60°C.62°D.65°

【分析】先根据直角三角形的性质求出/力8。，再根据角平分线的定义求出N48区根据直角三角形的

性质计算即可.

【解答】解：•・ZQ_L4C,

:・N4DB=90°,

40=34°,

/.ZABD=90°・/BAD=90'-34°=56°,

平分N48C,

AZABE=^ZABD=^-X56°=28°，

22

在△44。中，ZBAC=90°,ZABE=2Sa,

/.ZAEB=90°-28°=62°,

故选：C.

第9页（共25页）

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键.

8.（2分）如图，一个面枳为。（”>1）的正方形04边在数轴上，且。是数轴的原点，该正方形

沿着数轴以每秒I个单位长度的速度向右运动，/秒后运动到正方形O'A'B'C'的位置，此时正方

形04?。和正方形O'A,B'C重叠部分的面积为爪.给出下面三个结论：

①长方形04'夕。的面积为2a4/L

②t=V^T；

③点对应的数为2立-2.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

CC'BB'

O""~O1A'""A7~

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】由正方形。18c和正方形O'HB'C'的面积都是a,求得4B=「,而正方形O/出。和正

方形O'A1B'Cf重叠部分的面积为立，所以长方形0HB,。的面积为2a/，可判断①正确;

由A=y[aOfA=立:求得O'4=1,而。力=4月=4，则什1=4，所以可判

f

断②正确；由O'A=OA=AB=J^,O'A=\t得。，=2Va所以点力'对应的数为

2立-1，可判断③错误，于是得到问题的答案.

【解答】解：•・•正方形0/44。和正方形O'A'夕C的面积都是。，

2

：.AB=at

:・AB=J^或AB=-立（不符合题意，舍去），

•・•正方形。48c和正方形O'"夕C'重叠部分的面积为4，

，长方形OHB'C的面积为2af/L

故①正确；

，：AB・0'A=yRo'A=U，

：・0'A=l,

*：00'+O'A=OA,且OO'=\Xt=t,OA=AB=「,

/.r+l=Va，

•*«/=VaT，

故②正确；

第10页（共25页）

<O'A'=OA=AB=yRfO'A=\,

=2Va-L

工点卬对应的数为2立-1，而不是2立-2，

故③错误，

故选：A.

【点评】此题重点考查实数与数轴、一元一次方程的应用等知识，正确地求出正方形。18c的边的

长及O'4的氏是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若分式迎文的值为0,则x的值为.

X-33

【分析】直接利用分式的值为零分子为零分母不为零进而得出答案.

【解答】解：•・•分式”包的值为0，

x-3

・・・3x+l=0且x-3W0,

解得：x=-工

3

故答案为：-L.

3

【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0：

（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.

10.（2分）“如果a=b,那么/=/"的逆命题是如果令=庐，那么.

【分析】根据逆命题的概念解答即可.

【解答】解：“如果。=6,那么〃2=b2”的逆命题是“如果层=我那么〃=6"，

故答案为：如果/=房，那么。=4

【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.

1L（2分）化简：柄—.

【分析】直接利用立方根的定义即可求解.

【解答】解：・・・23=8

・•・我=2.

故填2.

【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数X的立方等于4,那么X是。的立方根.

第11页（共25页）

12.（2分）如图，ZBAD=ZCAE,AB=AD,请你添加一个适当的条件：AC=AE（答案不唯•）

使得

【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案.

【解答】解：ZBAD=ZCAE,

：,ZBAC=NDAE,

在△力4c和中，

'AB=AD

'ZBAC=ZDAE»

AC=AE

:.△AB84ADE（SAS）,

，添加一个适当的条件：AC=AE（答案不唯一），使△力台。丝

故答案为：AC=AE（答案不唯一）.

【点评】本题考杳了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的

判定定理有S/fS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有，，

13.（2分）春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行

一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是60%.

【分析】将中一、二、三等奖的百分比相加即可得出答案.

【解答】解：该消费者中奖的可能性是15%+20%+25%=60%,

故答案为：60%.

【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念.

14.（2分）如图，。是数轴的原点，点M对应的数为2,MN_L@V7,MN=3,连接OM以点。为圆心,

6W长为半径作弧，交数轴的正半轴于点力,点力对应的数为〃，则a的值为，石；。＞3

第12页（共25页）

（填“>”，，="或"V"）.

【分析】先根据己知条件求出。河，再根据勾股定理求出0M从而求出04即可.

【解答】解：是数轴的原点，点例对应的数为2,

；・OM=2,

；・/OMN=90°,

：•0N^/MN2OM2=VS2+22=V13，

,・,由题意可知0A=0N二店，

工点力对应的数是后，即。的值为丘,

v3<V13<4,

AA/13>3,

故答案为：屈，>.

【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握利用勾股定理求出OM

-V（a>b）

分一b

15.（2分）对于任意不相等的实数a,b,定义运算“*”如下：a*b=.计算2*3的结果为

-^―（a<b）

b-a

3;若4*x=2,则x的值为8或2.

【分析】根据新定义运算，列出算式计算即可.

【解答】解：・・・2V3,

A2*3=-^-=3；

3-2

当x>4时，工一二2,解得尸8,经检验x=8是分式方程的解；

x-4

当XV4时，工-=2,解得x=2,经检验x=2是分式方程的解；

4-x

综上，x的值为8或2；

故答案为：3,8或2.

第13页（共25页）

【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，新定义运算，解题的关键是理解题意，弄清新定义运算

法则.

16.（2分）如图，在△/AC中，48=/C=2,ZJ=90°,。是8c的中点，E,尸分别是线段ACk

的动点（点E不与点儿〃重合），且满足。£1。尺给出下面四个结论：

①DE=DF；

②/七+//=2；

③四边形AEDF的面积为加；

④点E到点/距离的最小值为

上述结论中，所有正确结论的序号是上②⑷.

【分析】连接力。，由48=/C=2,NB4c=90°,。是BC的中点，得NB=NC=ND4C=ND4B=

45°,AD1BC,AD=BD=CD,而NEDF=90°,则/8。£=/月。£可证明△BOE空△力。凡得DE

=DF,BE=AF,SABDE=S*F，可判断①正确；由<£+4「=4?=2,可判断②正确；求得S△"0=

2,则SA<8o=Saxa>=1,推导出S四边形力EO尸=5沙5£）=1可判断③错误；连接£兄作。〃_1_力。

于点〃，则O〃=Lc=l,由DF2DH,得。则尸所以E广？证,所以E尸的最小

2

值为形,可判断④正确，于是得到问题的答案.

【解答】解：连接力。，

*：AB=AC=2,ZBAC=90°,。是8c的中点，

，N8=NC=45°,ZDAC=ZDAB=^ZBAC=45°,ADA.BC,AD=BD=CD=1~BC,

22

；・NB=ND/1F,ZADB=ZADC=90Q,

DEIDF,

:.NEDF=90°,

：・NBDE=/ADF=90Q-ZADE,

在△8O£和中，

第14页（共25页）

2BDE=NADF

BD=AD，

,ZB=ZDAF

:•△BDEWMDF(ASA),

:・DE=DF,BE=AF,S/\BDE=SMDF，

故①正确；

：・AE+AF=AE+BE=AB=2,

故②正确;

••1△/80=^8・/(7=工乂2X2=2,BD=CD,

22

=1,

•'•S於边形AEDF=S^AD/S”DF=S3DE^S&BDE=S4BD=1W&，

故③错误；

连接ER作DHL4c于点H,WODH=AH=CH=^AC=1,

2

■:DF2DH,

・・321,

:.如DF?如,

2

:£F=^£|g+£）p2=^2DF,

:.EF'显

••・）的最小值为证,

，点E到点厂距离的最小值为证,

故④正确，

故答案为：①②④.

【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地

作出辅助线是解题的关键.

第15页（共25页）

三、解答题（共68分，第17〜20题，每题5分，第21题6分，第22〜24题，每题5分，第25题6分,

第26〜28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：V2xV6W21^-77.

【分析】先根据二次根式的乘法法则和除法法则计算，然后合并同类二次根式即可.

【解答】解：原式=如义点又+7

=2技次

=3如.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

是解决问题的关键.

18.（5分）计算：悯+（1-兀）°+4（-2产-2福-

【分析】先根据算术平方根、零指数幕、二次根式的性质化筒，再合并即可.

【解答】解：我+(1-兀)。+4(-2)2-24

=2点+1+2-2X当

=272+1+2-72

=V2+3.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

19.（5分）计算：-1----/一.

a+2a+4a+4

【分析】先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可.

【解答】解：」--a-2

a+2a+4a+4

=□__a-2

（）2

a+2a+2

_a+2_a_2

（a+2）2（a+2）2

4

a2+4a+4

【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

20.（5分）解方程：

xx-1

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得X的值后近行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：X-1+2X2=2X（X-1）,

整理得：x-1=-2x,

第16页（共25页）

解得：x=—,

3

检验：当寸，X（X-1）#0,

3

故原方程的解为X=l.

3

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

21.（6分）已知：如图，F,C是线段8E上两点，AB//DE,BF=CE,N4=ND.求证：AB=DE.

【分析】由8/=CE,推导出8C=EE,由力8〃。£,得NB=NE,而N4=N。，即可根据“44S”证

明△力8cg凡则力4=。£

【解答】证明：•・/,。是线段4E上两点，BF=CE,

:・BF+CF=CE+CF,

:・BC=EF,

•:AB〃DE,

:"B=/E,

在△X8C和△QE”中，

2B=NE

'NA=ND，

BC=EF

:.△ABgXDEF（力力S）,

：,AB=DE.

【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明尸是解题的

关键.

22.（5分）已知q-36+1=0,求（-^--二一）+。的值•

a+ba-b

【分析】根据分式的除法法则把原式化简，整体代入计算即可.

【解答】解：原式=（Q-二_）・（a+b）（a-b）

a+ba-ba

=2a.（a+b）（a-b）_a.（a+b）（a-b）

a+baa-ba

第17页（共25页）

=2(a-/))-(a+h)

—la-2b-a-b

=a-3b,

*：a-3b+\=0,

：,a-3b=-1,

则原式=-1.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

23.（5分）在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1,2,3,9的9

张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功；三个游戏规则如下:

规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5,那么选手闯关成功，否则闯关失败；

规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败；

规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败.

请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由.

【分析】根据三种规则成功的可能性进行判断即可.

【解答】解：抽到卡片上的数字不大于5的数字卡片为：1,2,3,4,5,

所以成功的可能性为：豆；

9

抽到卡片上的数字是偶数的数字卡片为：2,4,6,8,

所以成功的可能性为：刍；

9

抽到卡片上的数字是3的倍数的数字卡片为：3,6,9,

所以成功的可能性为：1.

3

・•・选择规则一-进行闯关.

【点评】本题考查了倍数，解题的关键是掌握可能性的计算方法.

24.（5分）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了力，8两种品牌的篮球，其中

购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B

品牌篮球的数量的1.5倍，且片品牌篮球的单价比8品牌篮球的单价便宜30元，求48两种品牌篮

球的单价.

【分析】设力品牌篮球的单价是x元，则8品牌篮球的单价是（x+30）元，利用数量=总价+单价，

第18页（共25页）

结合购买4品牌篮球的数量是购买4品牌篮球的数量的1.5倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验

后，可得出x的值（即力品牌篮球的单价），再将其代入（x+30）中，即可求出4品牌篮球的单价.

【解答】解：设力品牌篮球的单价是x元，则8品牌篮球的单价是（A-+30）元，

根据题意得：4500,=3600><15>

xx+30

解得:x=150,

经检验，乂=150是所列方程的解，且符合题意，

Ax+30=150+30=180（元）.

答：/品牌篮球的单价是150元，8品牌篮球的单价是180元.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

25,（6分）数学课上，同学们兴致勃勃地讨论着利用不同的方法作一个等腰三角形.

小华说：如图1,任意作一个244C,过点4作/48c的平分线4。，在射线4。上任取一点G（与点4

不重合），过点G作“。的垂线分别交氏4,4c于点儿卜，这样得到的△仇孑.为等腰三角形.

（2）受小华的启发，小强也想到了作等腰三角形的方法：如图2,任意作一个/尸OQ,过点O作/尸。。

的平分线在射线O以上任取一点K（与点。不重合），过点K作直线MN分别交。尸，。。于点

M,N,使得KM=KN,这样得到的△OWN为等腰三角形.小强给出了如下证明过程，请你帮助他补全

证明过程.

如图3,延长OK到点T,使得KT=OK,连接NT.

在△KOM和△K7W中，

KO=KT

-0

KM=KN

:・/\KOMm/\KTN.

：.OM=NT（对应边相等）；（填推理依据）

第19页（共25页）

/KOM=/T.

*：0T平分/MON,

工NKOM=NKON.

，/T=/KON

：,NO=NT（等角对等边）（填推理依据）.

又，：OM=NT,

：.OM=ON.

为等腰三角形.

【分析】（1）结合角平分线的定义以及全等三角形的判定证明△4£G0△8PG,可得4£=6­，则△4"

为等腰三角形，即可得出答案.

（2）根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质填空即可.

【解答】（1）解：•・•瓦）平分乙48C,

:"EBG=/FBG.

■:EF1BD,

:.NEGB=NFGB=90,、.

在△4EG和44打G中，

rZEBG=ZFBG

<BG=BG，

ZEGB=ZFGB

:ABEG*4BFG（ASA）,

[BE=BF,

为等腰三角形.

・•・小华的作法正确.

故答案为：正确.

（2）证明；延长OK到点丁，使得KT=OK,连接NT.

在△KOM和△K7W中，

KO=KT

'ZOKM=ZTKN*

KM=KN

:.丛KOM乌△KTN（SAS）.

：.OM=NT（对应边相等）；

/KOM=ZT.

第20页（共25页）

平分NMOM

・•・/KOM=ZKON.

:・NT=NKON,

:,NO=NT（等角对等边）.

又，：OM=NT,

：.OM=ON.

•••△OMN为等腰三角形.

故答案为：4OKM=/TKN；对应边相等；ZT=ZKON；等角对等边.

【点评】本题考查作图一堂杂作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与

性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

26.（7分）在中，N48C=45°，力。J_8C于点。，过点。作。E于点石，过点4作片产_L

DE,交上。的延长线于点片

（1）依题意补全图形，并证明△4。£g/\。8氏

（2）如果/。=«,CZ）=1,求DE,。产的长.

【分析】（1）根据题意补全图形即可；结合全等三角形的判定证明即可.

（2）由勾股定理得4C=八环后=2,则4C=2CZ）,即NC4Q=30°,进而可得。七=1知=

2

22=

圆,^=VAD-DE-*再根据全等三角形的性质可得=酢=4

222

【解答】解：（1）如图所示.

证明：•・"QJ_8C,

；・/ADB=9M，

第21页（共25页）

:,/BDF+/ADE=90".

VZABC=45°,

；・NB/1D=45°,

，N4BC=NBAD,

：.AD=BD.

VDfUC,BF工DE,

：・NBFD=/DEA=90°,

：・NBDF+NDBF=90".

JNADE=/DBF.

在△/DE和△DBF中,

rZAED=ZDFB

'NADE=NDBF，

AD=DD

:.AADE%4DBF(AAS).

(2)在RtZX/C。中，AD=g,CD=l,

・"C=VAD2-*CD2=2，

：.AC=2CD,

：,ZCAD=30<>.

在RtZk/DE中，AD=g,NEAD=30°,

"E=/AD=^

A^=VAD2-DE2=7-

•・•△ADEgWBF,

：.DF=AE=^~.

2

【点评】本题考查作图一夏杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

27.（7分）阅读下面材料:

我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：L1L=r~中W3L二由两.类

万赤（V7-V6）（V7W6）

d1

似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：n灰）（板招）—,.分子

V7W6■V7W6

有理化可以用来比较某些一次根式的大小，例如：比较frG和a-爪的大小，可以先将它们分子

第22页（共25页）

有理化如下：V7-V6=/-1/-,V6-V5=--?=1-―>因为W6〉在+V5，所以

V7W646r5

V7-V6<V6-V5.

请根据上述材料，解决下列问题：

（1）把下列各式分子有理化:

@V3-V2=一丁1l.；②粕-«=