2024-2025学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2024・2025学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（上）月考数学试卷（12月

份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中

只有一个是正确的.

1.（4分）2sin30°的值等于（）

A.1B.V2C.D.2

2.（4分）抛物线），=-27-8的对称轴是（）

A.y轴B.x轴C.宜线x=4D.直线x=-4

3.（4分）若反比例函数的图象经过点（1,-2）,则上的值是（）

x

A.3B.2C.ID.-I

4.（4分）如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米（）

5.（4分）如图，抛物线），（a,b,c是常数且aWO）的部分图象与x轴交于点（-2,0）,则

C.xi=-2,X2=4D.,ri=-2,xi=2

6.（4分）如图，四边形ABC。是平行四边形，G是。。的延长线上一点，C8交于点£,F,下列结论错

误的是（)

A.MADGsAFCGB.△ADEsAFBEC./XABE^/XGDED.^ABF^/XGDE

7.（4分）如图，在8X5的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A,B,则siiS的值为（）

A.XB.工C.恒D.逅

2335

A.sinZOAC=cosZBACB.tanZOCA=tanZOBA

C.sinZOCA=cosZOABD.sinZOAB=cosZOAC

10.（4分）如图，AC与8。是四边形A8CQ的对角线，N4C8=90°,AD=2粕，tan/BAC二工则反）

2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

II.（5分）若锐角a满足lan（a+l5°）=1,则cosa=

12.（5分）如图，4,B是双曲线了;工（k是常数且&W0）上两点，BC〃x轴，4CJ_BC于点C,则2的

13.（5分）如图，为了测量河宽，从A处测得对岸。的夹角N8AC=60°,点A和点B位于点C的两侧,

测得AB=（20+20«）米米.

14.（5分）已知抛物线尸机d+仆-5机（小，〃是实数且〃[H0）经过（2,1）.

（1）若加=1,则该抛物线的顶点坐标为:

（2）若该二次函数满足当时，总有），随x的增大而减小，则代数式〃2-2〃?+3的最小值为.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）计算：4sin245°-tan260°+（tan670+sin34°）°.

16.（8分）在RlaABC中，NC=90°,a,Ac分别是NA,NC的对边，NB=60°,解这个直角三角

形.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的顶点都在网格点上

（1）△ABC和关于），轴对称，画出△AiBiCi；

（2）若AA2B2c2与（1）中的△AiBiCi是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为2：1,且△A2B2Q

位于第四象限.

①画出△A2&Q；

-

②SAABC：^AA2B2C2--------.

18.（8分）如图，已知一次函数（k,人是常数且&¥（））的图象与双曲线丫=2（〃是常数且〃#0）

X

（m,2）、B（2,-4）两点

（1）求加，〃，k,〃的值；

（2）求△AOC的面积；

（3）直接写出不等式组0<kx+b<3的解集：.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.（10分）如图，C。是△ABC的高线，E是8c上一点，若C£>=9,sinZBAE=-«

（1）求AE的长;

(2)若AE=BE,求tanNAC。的值.

20,（10分）某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如表，请你帮助兴趣小组解决问

题.

活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离

活动工具测角仪、皮尺等

测量过程①如图，在楼4。和楼B厂之间竖直放置测角仪G"；

②利用测角仪测出楼顶4的仰角N4GC=68.2°,楼顶B的仰角NBGE

=45°；

③利用皮尺测出DH=30米，FH=60米.

D30H60F

解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A,B之间的距

离.

备注说明其中测角仪的底端〃与楼的底部。，厂在同一条水平直线上，图中所

有点均在同一平面内.

参考数据sin68.2°20.93,cos68.20弋0.37,tan68.20弋2.50,V37^6.08.

六、（本题满分12分）

21.（12分）如图，某一海域有4个小岛A,B,C,D,其中小岛从C,经测量，小岛A位于小岛8北偏

东45°且小岛4位于小岛C北偏东15°

（1）求小岛A和小岛C之间的距离AC的长；（结果保留根号）

（2）若小岛D位于小岛A东偏南60°方向，求小岛A与小岛D之间的距离AD的长.（参考数据：

\历-1.414,73^1.732；结果精确到0.01海里）

七、（本题满分12分）

22.（12分）在正方形438中，户是48边上的一个动点，已知QP=PQ,连接。Q,BQ.

（1）如图1,证明：空:=斑：

DPDQ

（2）连接AC交。。于点E,。。和PQ分别交8c于点凡G.

①如图2,若。是A8的中点，证明：PG=QG：

②如图3,连接EF,判断七厂与PQ之间的位置关系并加以证明.

八、（本题满分14分）

23.（14分）如图，已知抛物线y=-』+公+。"，。是常数）与x轴交于4,4两点（0,4）.已知tanN

BAC=4,tanNABC=l.

（1）如图1,求该抛物线的表达式；

（2）如图2,P是直线8c上方抛物线上一点，AP与y轴、3c分别交于。

①若SdBPD=2s.ABD，求点、P的坐标；

②求SaPBEFACE的最大值.

图1图2备用图

2024・2025学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（上）月考数学试卷（12月

份）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案AABBCDDADA

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中

只有一个是正确的.

1.（4分）2sin30°的值等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：2sin300=2x5=1.

2

故选：A.

2.（4分）抛物线），=-2?-8的对称轴是（）

A.轴B.x轴C.宜线x=4D.直线x=-4

【解答】解：抛物线对称轴为直线乂=上=—-

2a3X（-2）

，对称轴为y轴.

故选：A.

3.（4分）若反比例函数的图象经过点（I,-2）,则k的值是（）

x

A.3B.2C.1D.-1

【解答】解：•・•反比例函数的图象经过点（1,-2）,

/.-8=22-6,

解得,k=8.

故选：B.

4.（4分）如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米（）

c

B

A.3：5B.3：4C.I：2D.I：3

【解答】解：沿着斜坡BC前进10米，实际上升高度为6米

水平距离为：V132-63=8（米工

故选：B.

5.（4分）如图，抛物线），=加+区+c（a,b,。是常数且的部分图象与工轴交于点-2,0),则

方程ar+/?x+c?=0的解为（）

B.X1=2,,V2=4

C.AI=-2,X2=4D.x\=-2,X2=2

【解答】解：根据图象可知抛物线与工轴的另一个交点为（4,0）,

，方程ax4+bx+c=0的解为xi=-2,X2=4,

故选：C.

6.（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，CB交于点E,F下列结论错

误的是（）

A.XADGsXFCGB./\ADE^/\FBEC./\ABEsAGDED.AABFs丛GDE

【解答】解：A、•・•四边形ABC。是平行四边形,

：,AD//BC,

/.△ADG^AFCG,

故该选项正确，不符合题意；

8、•・•四边形A8CO是平行四边形,

：.AD//BC.

:.XADEsXFBE,

故该选项正确，不符合题意；

C、•・•四边形ABC。是平行四大形，

:・AB〃DC,

，AABES^GDE,

故该选项正确，不符合题意；

。、无法证明△48尸

故该选项符合题意；

故选：D.

7.（4分）如图，在8X5的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A,8,则sin4的值为（）

A.XB.工C.恒D.逅

2335

【解答】解：如图，连接。E,

r-1IIIIII।

........................................

11..11J--L-J--1

iiii।।।

'•।/|、、！«

L.J__J-L.J..i

।।1111

iI^^*r***iItill

r--r^i------!!------I--I

&〃加p;&〃加pl勺-二.，・：二・・:..，_:

,:DE=M，40=2aV15，

・・・。七2+心=4+8=IO=A£2,

：.ZADE=90°,即△AOE为宜角三角形，

..&DEV7。5

-sinA=—=-/—=-T-J

AEV105

故选：D.

8.14分）抛物线y=/cr-2a是常数且AWO）与双曲线y，二区在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

X

当k>0时，反比例函数在第一，而二次函数），=扇-2开口向上，顶点在），轴上，-2）；

当上<0时，反比例函数在第二，而二次函数,，=小-2开口向下，顶点在），轴上，-2）,

故选：A.

9.（4分）如图，直线二口x+2分别与x轴、丁轴交于点从A2=-2x+2分别与x轴、y轴交于C,A,

2

则下列结论正确的是（）

A.sin/Q4C=cos/H4CB.lanNOCA=tan/084

C.sin/OCA=cosNOABD.sin/OAB=cos/OAC

【解答】解：令x=(),则尸=泗=2,

・・・A(0,6),

：.OA=2-0=2,

令yi=0,贝U-且x+2=6,

2

解得：x=4,

：.B(4,2),

・・・。8=4・0=7,

令*=0,贝卜7户2=0,

解得：x=2,

：.C(1,0),

.\OC=8-O=l,

：,BC=OB-OC=1-1=3,

：.AC=47

AB=2苹,

V7

・・・sinNOAC=2LL,

5

如图，过点。作CE_LA8于点E,

s'\.*

•••S*B=1BC・OA孕3・CE，

3卑=岖，

2V82

；・AE=^^,

4

W5

•^cosZBAC=粤--T=-;

ACV5

，sin/OACWcosNBAC,故选项A不符合题意;

•*tanZ0CA=^-=y=6*

tan/OBA嗡

tanZOCAWtanZOBA,故选项8不符合题意;

・•・sin/OCA卷脸=2。5

cosZ0AB=^-=^=-J5

5，

/.sinZOCAWcosZ.OAB,故选项C不符合题意:

Vsin/0AB笔:+=噜，

AB2V55

皿加笔半华，

ACV55

・・・sinNQ48=cos/OAC,故选项D符合题意;

故选：D.

10.（4分）如图,AC与B。是四边形ABC。的对角线，N4C8=90°,AD=2V5»tanZBAC=^则利

C.573D.473

【解答】解：如图，过点C作CEJ_C。，使CE」CD=6,

2

，NOCE=NACB=90°,

NACD=NBCE,

又••EC_BC__1

・DC=AC

.,.△EBC^ADAC,

•.•—BE二—EC~—BC——8，

ADDCAC2

・•・BE=ADS，

由勾股定理得=7S2+42=4«，

在△BOE中，由三边关系，等号成立），

故BD的最大值=口£+5E=4粕W5=5粕.

故选：A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.（5分）若锐角a满足tan（a+15°）=1,则cosa=近

一2一

【解答】解：Vtan（a+15°）=tan45°=1,

Aa+150=45°,

/.a=3O°,

cosa=cos30;=L5-.

7

12.（5分）如图，4,8是双曲线y=K（k是常数且k#0）上两点，8C〃x轴，4CJ_8C于点C,则人的

x

值为10.

・406k

・OA

—*2xA—=20,

2人'小

・》=IO,

故答案为：10.

13.（5分）如图，为了测量河宽，从A处测得对岸。的夹角N8AC=60°,点A和点B位于点。的两侧,

测得AB=（20+20而）米_20雨—米.

设CD=x米，则8Q=CQ=x米,

•Fn3。。喘与

•，・AD^^-x*

o

・•・AB=AD+BD=y-x+x=20+20J

解得：x=20«，

・••点C到/IB的距离为20炳米.

故答案为：20V§.

14.（5分）已知抛物线尸"M+nx-5机（〃?，〃是实数且〃?W0）经过（2,1）.

（1）若加=1,则该抛物线的顶点坐标为（-1,-21）；

一、24,一

（2）若该二次函数满足当工20时，总有），随x的增大而减小，则代数式J-2〃?+3的最小值为5

【解答】解:（1）;将点（2,1）3+2〃・5=8,

解得〃=1,

421

y=x+x-3=(一,

4

・•・顶点坐标为（-£,号

），

故答案为：（-1,-21）；

、24,

(2)由条件可知4m+ln-5/w=1,

in=ln-1,

当x20时，总有），随工的增大而减小,

・・・加<7,一旦《0，

2m

，〃W4,In-1<3,

IWO,

V/:2-3机+3=〃2-6（2n-1）+4=n2-4〃+2,

・•・直线〃=2是对称轴，

・♦・当〃W0时，/_2m+3随n增大而减小,

・•・当〃=4时，函数取得最小值为5,

即n2-7m+3的最小值是5.

故答案为：5.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.（8分）计算:4sin245°-tan260°+（tan670+sin34°）°.

【解答】解：4sin245°-tan660°+（lan67°+sin34°）0

=4义（除）-（V4）2+l

=4xX-7+1

2

=2-4+1

=0.

16.（8分）在RtaABC中，ZC=90°,a,Ac分别是NA,NC的对边，NB=60°,解这个直角三角

形.

【解答】解：由条件可知NA=90°-ZB=90°-60°=30°,

c=2a=2X5=10,

Z?=tan60°X5=5函.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△A8C的顶点都在网格点上

（1）△4BC和△4/力。关于y轴对称，画出△AiBCi：

（2）若282c2与（I）中的△481。是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为2：I,且282c2

位于第四象限.

①画出aAzB2c2；

【解答】解：（1）△46C8如图所示;

y

（2）①△A282C3如图所示；

②由轴对称性质知SAC=SAA.B.C/

ABXX0

:△A282c2与4A山|。6的位似比为2：1,

...S2kABC二"%B：C]=（匡）之=3,

SAA-B-C.SAAB.C.24

•440=44

故答案为：1：4.

18.（8分）如图，已知一次函数y=H+〃（k,。是常数旦女W0）的图象与双曲线y=2（〃是常数目〃WO）

x

（m,2）、B（2,-4）两点

（1）求in,〃，k,b的值;

（2）求△AOC的面枳；

（3）直接写出不等式组0<kx+b<3的解集：・4VxV-2.

【解答】解：(1)•・•点A(m,2),-4)在双曲线上,

.*./?=5/72=2X(-4),

m=-6,n=-8,

(・4,7),

•・•点A(-4,2),-7)在一次函数y=H+b」二,

.f2=-4k+b

**l-3=2k+b，

解得：4"I；

lb=-6

(2)如图，过点A作4D_L0C于点D,

由(1)得在一次函数)，=-x-2,

AC(-2,7),

.*.5AAOC="X5X2=2；

2

(3)•・,点A(-3,2),0),

结合函数图象可得不等式组2<kx+b<2的解集为-4<xV-2.

x

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.(】0分)如图，CO是△/WC的高线，E是上一点，若CO=9,sinZBAE=—•

4

(1)求人石的长；

(2)若4石=8日求lan/ACD的值.

【解答】解：(1)如图所示，过点E作ERLAB于点F,

是△A8C的高线,

：.CDLAB,

J.CD//EF,

:.△BCDS^BEF,

又,；BE=2CE,

•.•'EF=-B--E-=—2,

CDBC3

可得：1L=2,

96

解得：EF=6,

在RtZXAE”中，sin/EAF;"，

AE

.63

AE4

解得：AE=8：

(2)由(1)可得：BE=AE=1,七F=6,

••・BFWBE2-EF5=A/82-52=272，

••・E/是A5的垂直平分线，

AAF=BF=2V7.

・BF_BE_5

BDBC3

••.BD=3F，

・・・AO=4V7-8d

•'•tanZACD;黑•

\yUO

20.(10分)某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如表，请你帮助兴趣小组解决问

题.

活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离

活动工具测角仪、皮尺等

测量过程①如图，在楼4。和楼8广之间竖直放置测角仪GH；

②利用测角仪测出楼顶A的仰角NAGC=68.2°,楼顶8的仰角N8GE

=45°；

③利用皮尺测出DH=3()米，"7=60米.

测最图示

解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知以求两幢楼楼顶A,3之间的距

离.

备注说明其中测角仪的底端，与楼的底部。，尸在同一条水平直线上，图中所

有点均在同一平面内.

参考数据sin68.2°20.93,8s68.2°^0.37,tan68.20k2.50,V37^6.08.

【解答】解：。"=30米，"7=60米，过点8作

□B

□/□

□

□

□

□

□0E□

一

DHF

，四边形CDHG、四边形E77/G和四边形BECM都是矩形，

・•・CG=DH=30米，GE=FH=60米，

在RtZxACG中，AC=CGX（anZ^GC=30Xtan68.2，'««30X2.50=75（米），

在RtZ\3£G中，8£=G£=6（）米，

：.AM=AC-BE=15-60=15（米），

在入△4BM中，由勾股定理得：^^=VAM2+BM2=V142+922=15^37>

答：两幢楼楼顶4、4之间的距离约为91.2米.

六、（本题满分12分）

21.（12分）如图，某一海域有4个小岛4,B,C,D,其中小岛8,C,经测量，小岛A位于小岛B北偏

东45°且小岛4位于小岛C北偏东15°

（1）求小岛A和小岛。之间的距离AC的长；（结果保留根号）

（2）若小岛。位于小岛A东偏南60。方向，求小岛A与小岛。之间的距离A。的长参考数据：

agL414,73^1.732：结果精确到0.01海里）

【解答】解：(1)小岛A位于小岛8北偏东45°且小岛A位于小岛。北偏东15°,如图1.

图1

••・NABC=90°-45°=45°,

一•△BCE是等腰直角三角形,

•，<E=sinBXBC=sin450XX12=672（海里）・

由题意可知N4C£>=90°-15°=75°,

：,ZBAC=ZACD-ZB=75°-45°=30°.

在RtZXACE中，ZCAE=30°,

则AC=6CE=2X6>/§=12^(海里).

答：小岛A和小岛。之间的距离AC的长为12点海里;

(2)如图6,过点C作CRLA。于点F,

由题意可知ND4G=60°,则NO=60°,

AZCAD=1800-ZACD-ZD=180°-75°-60°=45°,

AAF=CF=sinZCAFXAC=sin45°XI近=12（海里）,

在RtZXC。产中，DF：CF二12

sinDsin600

AAD=AF+DF=12+4V3«12+3X1.732〜18.92（海里）.

答：小岛A与小岛D之间的距离AQ的长约为18.93海里.

七、(本题满分12分)

22.（12分）在正方形A8CO中，尸是4B边上的一个动点，已知QP=PQ,连接。Q,BQ.

（1）如图1,证明：空二斑；

DPDQ

（2）连接AC交。。于点E,DQ和PQ分别交BC于点F,G.

①如图2,若P是AB的中点，证明：PG=QG；

②如图3,连接七人判断£尸与PQ之间的位置关系并加以证明.

【解答】（I）证明：如图1,连接8D.

•••。尸