专题3：用方程研究曲线的性质

专题3：用方程研究曲线的性质一、单选题1．方程为的曲线，给出下列四个结论：①关于轴对称；②关于坐标原点对称；③关于轴对称；④，；以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.和分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：①；②若，则；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P，使用，则.其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（）①的取值范围是；②曲线是中心对称图形；③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④4．已知曲线（为常数），给出下列结论：①曲线为中心对称图形；②曲线为轴对称图形；③当时，若点在曲线上，则或；其中，正确结论是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③5．在数学中有这样形状的曲线：.关于这种曲线，有以下结论：①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意两点之间的距离都不超过2；③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有：（）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③6．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有（）①双纽线经过原点；②双纽线关于原点中心对称；③；④双纽线上满足的点有两个.A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④7．曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹.以下结论正确的个数为（）（1）曲线一定经过原点；（2）曲线关于轴、轴对称；（3）的面积不大于；（4）曲线在一个面积为的矩形范围内.A． B． C． D．8．已知曲线：，下列叙述中错误的是．A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点B．直线（）与曲线最多有三个交点C．曲线关于直线对称D．若，为曲线上任意两点，则有9．关于曲线，给出下列四个命题：①曲线关于轴对称；②曲线关于直线对称；③点（）可能在曲线上；④曲线围成的面积小于；上述命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．笛卡尔､牛顿都研究过方程，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有（）A．该曲线不关于y轴对称B．该曲线关于原点对称C．该曲线不经过第三象限D．该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数二、多选题11．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有（）A．双纽线关于轴对称 B．C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为12．在平面直角坐标系xOy中，为曲线上一点，则（）A．曲线C关于原点对称 B．C．曲线C围成的区域面积小于18 D．P到点的最近距离为13．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A．曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C．曲线围成区域的面积大于D．方程表示的曲线在第一象限和第三象限14．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”.若点是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A．曲线C关于原点O中心对称；B．x的取值范围是；C．曲线C上有且仅有一个点P满足；D．的最大值为.15．关于曲线的以下描述，正确的是（）A．该曲线的范围为：，B．该曲线既关于轴对称，也关于轴对称C．该曲线与直线有两个公共点D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为116．已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（）A．曲线与两坐标轴有公共点B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形C．若点在曲线上，则的最大值是D．曲线围成的面积为三、填空题17．在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线关于对称；乙：曲线关于原点对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）.18．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②周长的最小值为；③点P到y轴距离的最大值为；④点P到原点距离的最小值为．其中所有正确结论的序号是__________．19．已知曲线，，其中.①当时，曲线与有4个公共点；②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数.其中，所有正确结论的序号是________.20．在平面直角坐标系中，关于曲线，下列说法中正确的有________.①该曲线是有界的（即存在实数使得对于曲线上任意一点，都有，成立）；②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线与该曲线至少有1个公共点.21．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；③曲线围成区域的面积大于；④方程表示的曲线在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.22．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；②曲线上存在到原点的距离超过的点；③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有错误结论的序号是______．23．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4.其中，所有正确结论的序号是_______.24．已知曲线的方程，给出下列个结论：①曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；②曲线关于轴、轴、坐标原点对称；③若点在曲线上，则，；④曲线围成的图形的面积是．其中，所有正确结论的序号是__________．25．已知曲线C的方程，有以下说法：①曲线C过原点②曲线C与x轴有两个交点③曲线C关于x轴，y轴对称④为曲线C上任意一点，则其中全部正确的是_______________参考答案，仅供参考哦1．B【分析】①中，用代替，可判定曲线关于轴对称；②中，用代替，用代替，可判定曲线不关于原点对称；③中，用代替，可判定曲线不关于轴对称；④中，化简方程和，得出不等式，即可求解.【解析】由题意，方程，对于①中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线关于轴对称；对于②中，用代替，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于原点对称；对于③中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于轴对称；对于④中，方程，可化为，可得，解得，又由，即，解得.综上可得①④是正确的.故选：B.【点评】本题主要考查了曲线与方程为背景下的命题的真假判定，其中解答中熟练应用曲线的对称性和函数的基本性质，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.2．D【分析】根据题意可知，，由此推导依次判断.【解析】由题可知，所以，；，，故①正确；由得，，又，得，，，②正确.以为直径的圆E:，与“果园”右侧有异于公共点的公共点，由方程组，得显然方程已有一根，另一根为，则，，，解得，故③正确.故选:D【点评】求圆锥曲线中基本量的比值（或范围），常根据已知寻找关于基本量的等式或不等式，再通过解方程或不等式求解.3．C【分析】由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④.【解析】，可知，即，，，，①正确；将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，在上任取一点，，，，即在外，围成图形的面积大于，故④错误.故选：C【点评】关于对称点的问题可以利用以下知识解决：①点关于轴对称的点为；②点关于轴对称的点为；③点关于原点对称的点为；④点关于轴对称的点为.4．D【分析】在曲线上任取一点，得到；将点代入曲线方程，可验证点在曲线上，同理可得点、都在曲线上，得到①②正确；当时，得到，反设且，根据题意，推出矛盾，即可得出③正确.【解析】在曲线上任取一点，则，将点代入曲线的方程可得，同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，①②正确；QQ群333528558当时，，反设且，则，，∴，则，∴，这与矛盾.∴假设不成立，∴或，命题③正确.故正确命题的序号为：①②③.故选：D.【点评】判定曲线对称性的方法，一般任取曲线上的点，结合曲线方程，列出式子；再验证，，是否满足曲线方程，即可得出其对称性.5．A【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断.【解析】如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线中，，经过的整点有：，，，，，，，，共9个，命题①正确；②如图，曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，命题②错误；③曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，命题③正确.故选：A.【点评】本题考查曲线与方程相关知识，通过曲线方程得出曲线图像，再经过计算判断命题是否正确，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题.6．B【分析】设动点，由已知得到动点的轨迹方程，原点代入轨迹方程，显然成立；把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；由图知双纽线最高（低）点是轨迹方程与圆相交位置，两方程联解可得成立，由图知双纽线上满足的点有一个.【解析】设动点，由已知得到动点的轨迹方程化简得，原点代入入轨迹方程，①显然成立；把关于原点对称的点代入轨迹方程，②显然成立；因为双纽线最高（低）点是轨迹方程与圆相交位置两方程联解得成立，，③成立；由图知双纽线上满足的点有一个，④不成立.故选：B【点评】本题考查直接法求动点轨迹方程.直接法求轨迹方程的思路：直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．7．C【分析】设点的坐标为，求出点的坐标所满足的等式，分析命题（1）（2）的正误，利用余弦定理和三角形的面积公式，结合基本不等式分析出命题（3）（4）的正误.【解析】设点的坐标为，由题意可得.对于命题（1），将原点坐标代入方程得，所以，命题（1）错误；对于命题（2），点关于轴、轴的对称点分别为、，，，则点、都在曲线上，所以，曲线关于轴、轴对称，命题（2）正确；对于命题（3），设，，，则，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，则为锐角，所以，，则的面积为，命题（3）正确；对于命题（4），，可得，得，解得，由（3）知，，得，曲线在一个面积为的矩形内，命题（4）正确.因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.故选C.【点评】本题考查曲线的性质，求出轨迹方程是解题的关键，可抓住一些关键点进行分析，考查推理能力，属于难题.8．C【解析】略9．A【分析】对①，根据关于轴对称的性质即可求解；对②，根据关于对称的性质即可求解；对③，将点代入，若方程有解，则可能，若方程无解，则不可能；对④，先设出曲线上一点，通过计算得到点在圆外，即可判断.【解析】解：对①，将方程中的换成，则原方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；对②，将方程中的换成，换成，所得方程为，与原方程不同，故②错误；对③，,，即，，故无解，即点（）不可能在曲线上，故③错误；对④，在曲线上任取一点，，，故，即点在圆外，又圆的面积为：，故曲线围成的面积大于，故④错误；综上所述：①正确.故选：A.【点评】关于对称点的问题可以利用以下知识解决：①点关于轴对称的点为；②点关于轴对称的点为；③点关于原点对称的点为；④点关于轴对称的点为.10．AC【分析】以﹣x代x和以﹣x代x，﹣y代y，判断A和B的正误，利用方程两边的符号判断C的正误，利用赋值法判断D的正误.【解析】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称，正确；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于原点对称，错误；当时，，显然方程不成立，所以该曲线不经过第三象限，正确；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，所以该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，错误，故选：AC【点评】利用赋值法来求解是本题解题的关键点.11．ABD【分析】对A，设动点，则对称点代入轨迹方程，显然成立；对B，根据的面积范围证明；对C，若，则在y轴上，代入轨迹方程求解；对D，根据余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【解析】对A，设动点，由题意可得的轨迹方程为把关于x轴对称的点代入轨迹方程，显然成立，故A正确；对B，因为，故．又，所以，即，故．故B正确；对C，若，则在的中垂线即y轴上．故此时，代入，可得，即，仅有一个，故C错误；对D，因为，故，，因为，，故．即，所以．又，当且仅当，，共线时取等号．故，即，解得，故D正确．故选：ABD.【点评】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.12．ACD【分析】当，时，曲线为，根据点，，都在曲线上，可得曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案.【解析】当，时，曲线即，将中心平移到位于第一象限的部分；因为点，，都在曲线上，所以曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；对于选项B：令中可得，向右平移一个单位可得横坐标为，根据对称性可知，故选项B不正确；对于选项C：令中可得，向上平移个可得纵坐标最大值为，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线C围成的区域面积小于，故选项C正确；对于选项D：令中，可得，所以到点的最近距离为，故选项D正确，故选：ACD【点评】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C的图象，数形结合、由图象研究曲线的性质.13．BD【分析】先确定曲线经过点，再将，的整点，和逐一代入曲线的方程进行检验即可判断；利用基本不等式即可判断；将以为圆心、2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断；因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，从而判断．【解析】解：把，代入曲线，可知等号两边成立，所以曲线在第一象限过点，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点，对于A选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把，和代入曲线的方程验证可知，等号不成立，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线只经过整点，即A错误；对于B选项，因为，所以，所以，所以，即B正确；对于C选项，以为圆点，2为半径的圆的面积为，显然曲线围成的区域的面积小于圆的面积，即C错误；对于D选项，因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，即D正确.故选:BD.【点评】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力．14．AC【分析】求出轨迹的方程，由方程确定曲线的性质，再判断各选项．【解析】设，由题意有，化简得，用替换，替换，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称，A正确；令代入方程成立，即是曲线的一点，，B错；满足的点在线段的垂直平分上，由，得，所以曲线上只有一点满足，C正确；令，代入方程得，即，这是曲线的极坐标方程，显然的最大值为，所以的最大值为，D错，故选：AC．【点评】本题考查利用曲线方程研究曲线的性质．解题方法是通过点的坐标求出曲线方程，然后利用曲线方程研究曲线的性质．15．AD【分析】由题意曲线是焦点在y轴，对称轴是坐标轴的椭圆的右半部分和曲线是焦点在y轴，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，画出图形，结合图形可得答案.【解析】由题意，当时，曲线方程可以化为，即为焦点在y轴，对称轴是坐标轴的椭圆的右半部分和y轴正半轴上的两个点，当时，曲线方程可以化为，即为焦点在y轴，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，如图该曲线的范围为：，，所以A正确；由图可知，该曲线关于轴对称，不关于轴对称，所以B错误；曲线的渐近线方程是，所以是双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点，与椭圆有一个交点，所以C错误；由图可知，曲线上到原点距离最小的点在椭圆部分，设是椭圆部分上的点，则，即求的最小值，所以，所以当时，最小，此时，即点到原点的距离最小，最小值为1，所以D正确.故选：AD.【点评】本题考查了椭圆和双曲线的性质，关键点是画出曲线表示的图形，考查了数形结合思想、转化的思想及计算能力.16．BCD【分析】对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定A错误，B正确，结合对称性判断C选项，根据图形特征计算面积.【解析】解：当，时，方程，当，时，方程，当，时，方程，当，时，方程，作出图象：由于，，所以A错误.曲线既是中心对称，又是轴对称图形，对称中心为，对称轴为轴，B正确.点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，的最大值为圆心距加两个半径，C正确.在当，时，与坐标轴的交点和平分圆，故第一象限的面积为，故总的面积为.17．甲、乙、丙【分析】在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断甲的正误；在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断乙的正误；比较曲线与直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丙的正误；曲线与圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丁的正误.【解析】对于甲的回答，在曲线上任取一点，则，点关于直线的对称点为，且，所以，曲线关于对称，甲的回答正确；对于乙的回答，在曲线上任取一点，则，点关于原点的对称点为，则，所以，曲线关于原点对称，乙的回答正确；对于丙的回答，对于等式，，可得，同理可得，当时，，当时，，在曲线上任取一点，则，即点在直线的下方，如下图所示：直线交轴于点，交轴于点，所以，，丙的回答正确；对于丁的回答，在曲线上任取一点，因为，，则，，则，即点在圆外，如下图所示：圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为，所以，，丁的回答错误.故答案为：甲、乙、丙.【点评】关键点点睛：本题考查利用曲线方程研究曲线的几何性质，在判断曲线、的对称性时，充分利用对称性的定义取点加以验证，在判断曲线与坐标轴围成的区域面积时，要注意找一些特殊的图形，观察图形与图形的位置关系，数形结合加以判断.18．①②④.【分析】由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判定①正确；设，得到，结合基本不等式，可判定②正确；过点作，求得的最大面积为，结合面积相等，可判定③不正确；化简，结合不等式，可判定④是正确的.【解析】由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于，可得，即，用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确；设，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为，所以②正确；过点作，则，当且仅当时，等号成立，当时，取得最大值，所以的最大面积为，又由，解得，即点到轴的最大距离为，所以③不正确；由，又由，当且仅当时，等号成立，所以，所以，可得，所以④是正确的.故答案为：①②④.【点评】方法技巧：根据题设条件得到，令和，得到，结合基本不等式求解是解答的关键.19．①③④【分析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案.【解析】对于①：当时，曲线，，令可得，当时，，当时，，所以与有4个公共点分别为，，，，共个，故①正确；对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时，，，当时，，所以，所以曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确；对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，所以，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确；对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，所以曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；故答案为：①③④【点评】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.20．②③【分析】①分析中的取值范围并进行判断；②根据的取值范围进行分析；③将方程中变为进行分析；④根据的取值范围作出判断.【解析】①因为中，所以，解得：，所以不恒成立，故错误；②假设曲线是中心对称图形，因为，所以取一点，当，此时点的对称点的横坐标，不符合，所以假设错误，故正确；③将方程中的变为时，方程变为与原方程相同，所以曲线关于轴对称，故正确；④因为，所以当时，直线与该曲线无交点，故错误，故答案为：②③.【点评】结论点睛：曲线的对称性有如下常见结论：（1）将方程中的换成，若方程不变，则曲线关于轴对称；（2）将方程中的换成，若方程不变，则曲线关于轴对称；（3）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于原点对称；（4）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于对称；（5）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于对称.21．②④【分析】利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.【解析】作出圆和四叶玫瑰线的图示如下图所示：，解得（当且仅当时取等号），则②正确；将和联立，解得，即与曲线相切于点，，，，则①和③都错误；由，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点评】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.22．②③【分析】将换成方程不变，得到图形关于轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可求解.【解析】将换成方程不变，所以图形关于轴对称，当时