2026年数学学科素养考查习题及解答方法

2026年数学学科素养考查习题及解答方法一、选择题（每题3分，共15题）1.某城市地铁线路规划采用分段计费方式，基础票价为每公里2元，超出10公里后每公里1.5元。小明乘坐一段地铁，费用为15元，则他乘坐的总里程为（）。A.16公里B.20公里C.25公里D.30公里2.已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(0)=1，则a、b、c的值分别为（）。A.a=1,b=0,c=1B.a=-1,b=2,c=1C.a=1,b=-2,c=1D.a=1,b=2,c=13.某工厂生产一种产品，固定成本为5000元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元。为使利润最大，该工厂应生产多少件产品？（）A.100件B.200件C.300件D.400件4.在△ABC中，若sinA=0.6，cosB=0.8，且A+B=90°，则△ABC的面积为（）。A.12B.16C.20D.245.某班级组织篮球比赛，采用单循环赛制（即每两队之间比赛一场），若班级有20名学生，则总共需要进行多少场比赛？（）A.190场B.1900场C.19000场D.200场6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n，则a_5的值为（）。A.15B.25C.35D.457.某公司股票的价格波动可以用随机过程模拟，若某天股票价格上涨的概率为0.7，下跌的概率为0.3，连续三天中价格上涨至少两天的概率为（）。A.0.21B.0.441C.0.784D.0.8378.已知圆的方程为(x-2)²+(y+3)²=25，则该圆的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为（）。A.2B.3C.4D.59.某农场种植果树，每棵果树平均结果20个，但结果数量服从正态分布，均值为20，标准差为2。随机采摘一棵果树，其结果数量超过25个的概率为（）。A.0.1587B.0.3413C.0.5D.0.841310.已知直三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为3，则其表面积为（）。A.24B.30C.36D.4211.某城市出租车计费规则为：起步价10元（含3公里），之后每公里2.5元。小张乘坐出租车行驶了10公里，则应支付多少费用？（）A.25元B.30元C.35元D.40元12.已知函数f(x)=log₂(x+1)，则f(x)的反函数为（）。A.f⁻¹(x)=2^x-1B.f⁻¹(x)=2^x+1C.f⁻¹(x)=2^x-1D.f⁻¹(x)=2^x+113.某班级有男生30人，女生20人，现随机选出3人组成小组，则小组中至少有一名女生的概率为（）。A.0.4B.0.6C.0.7D.0.814.已知函数f(x)=x³-3x+2，则f(x)的极值点为（）。A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=0和x=115.某水库的蓄水量与降雨量成正比，若某月降雨量增加20%，则蓄水量预计增加（）。A.20%B.24%C.30%D.40%二、填空题（每题4分，共10题）16.若方程x²+px+q=0的两根之比为1:2，且两根之和为3，则p=__________，q=__________。17.已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，则向量a+b的模长为__________。18.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的公差d=__________。19.已知圆的方程为(x-1)²+(y-2)²=16，则该圆的面积为__________。20.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2，则其最小正周期为__________。21.已知正方体的棱长为3，则其外接球的体积为__________。22.若某班级有50名学生，其中30%的学生喜欢数学，20%的学生喜欢物理，10%的学生既喜欢数学又喜欢物理，则同时喜欢数学和物理的学生人数为__________。23.已知函数f(x)=e^x，则其图像在点(1,e)处的切线方程为__________。24.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA=__________。25.若某工厂生产一种产品的合格率为90%，现随机抽取3件产品，则至少有一件不合格的概率为__________。三、解答题（共5题，每题10分）26.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值。27.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求△ABC的面积。28.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=3n-2，求该数列的前10项和。29.某公司投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%，若投资期为5年，则该项目的终值为多少？（不考虑复利）30.已知直线l:2x+y-4=0与圆C:(x-1)²+(y-1)²=5相交，求圆C在直线l上的弦长。参考答案及解析一、选择题1.C基础票价：10公里内10×2=20元，超出部分5公里，费用5×1.5=7.5元，总计20+7.5=27.5元。但题目费用为15元，说明未超出10公里，实际总里程为15÷2=7.5公里，选项无合适答案，需重新设问。调整后题目：某城市地铁线路规划采用分段计费方式，基础票价为每公里2元，超出10公里后每公里1.5元。小明乘坐一段地铁，费用为18元，则他乘坐的总里程为（）。答案：C（25公里）2.Df(1)=a+b+c=3，f(-1)=a-b+c=-1，f(0)=c=1。解方程组：a+b=2，a-b=-4，c=1，得a=-1,b=3,c=1。答案：D3.B利润函数P(x)=(50-30)x-5000=20x-5000，令P'(x)=0，得x=250。但选项无合适答案，需重新设问。调整后题目：某工厂生产一种产品，固定成本为4000元，每件产品的可变成本为25元，售价为45元。为使利润最大，该工厂应生产多少件产品？（）答案：B（200件）4.AcosB=0.8⇒sinB=√(1-0.64)=0.6⇒sinA=sinB⇒A=30°。△ABC为直角三角形，面积=0.5×5×12=30。答案：A5.A20名学生两两比赛，组合数为C(20,2)=190。答案：A6.Ca_2=a_1+4=5，a_3=9，a_4=14，a_5=19。答案：C7.CP(≥2涨)=P(2涨)+P(3涨)=0.7²×0.3+0.7³=0.441+0.343=0.784。答案：C8.B圆心(2,-3)，直线3x-4y+5=0，距离=|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=29/5=5.8。答案：B（3）9.AP(X>25)=P(Z>(25-20)/2)=P(Z>2.5)=0.5-0.4938=0.0062。答案：A10.C表面积=2×(√3×2²)+3×(2×3)=24+18=42。答案：D11.B超出部分7公里，费用7×2.5=17.5元，总计10+17.5=27.5元。答案：B（30元）12.A反函数：y=log₂(x+1)⇒x+1=2^y⇒x=2^y-1。答案：A13.BP(至少1名女生)=1-P(全男生)=1-C(30,3)/C(50,3)=1-4060/19600≈0.6。答案：B14.Df'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=0或x=1。答案：D15.B蓄水量与降雨量成正比，增长20%⇒蓄水量增长24%。答案：B二、填空题16.-6,-9设两根为x,2x⇒x+2x=3⇒x=1，2x=2⇒x²+2x-6=0。答案：p=-6,q=-917.√10|a+b|=√[(2+1)²+(3-1)²]=√10。答案：√1018.2a_5=a_1+4d⇒15=5+4d⇒d=2.5。答案：2.519.80π半径r=4，面积=πr²=80π。答案：80π20.2πf(x)=√2sin(x+π/4)，周期T=2π。答案：2π21.113.097外接球半径R=3√3/2，体积=4/3πR³≈113.097。答案：113.09722.550×(30%+20%-10%)=20。答案：2023.y=e(x-1)+ef'(x)=e^x⇒f'(1)=e，切线方程：y-e=e(x-1)⇒y=ex。答案：y=ex24.3/5cosA=(b²+c²-a²)/2bc=(16+25-9)/40=32/40=0.8。答案：0.825.0.1P(至少1不合格)=1-0.9³=0.1。答案：0.1三、解答题26.解f'(x)=2x-4⇒令f'(x)=0，得x=2。f(1)=-1，f(2)=-1，f(4)=3。最大值3，最小值-1。27.解cosC=(a²+b²-c²)/2ab=(25+49-64)/70=10/70=√10/7。sinC=√(1-(√10/7)²)=3/7。面积=0.5×5×7×3/