2025-2026学年广东省广州市南沙区高二（上）期末数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市南沙区高二（上）期末考试数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量m=(2,−1,1)，n=(4,−2,x)，若m//n，则A.−5 B.−3 C.2 D.42.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为12，且焦点在x轴上，则C的离心率为(

)A.32 B.54 C.63.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以AA.(1,1,1) B.(1,1,−1) C.(1,−1,1) D.(−1,1,1)4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1A.33 B.13 C.25.已知直线mx+ny+1=0与圆C：x2+y2=1有两个公共点，若点P的坐标为A.点P在圆C上 B.点P在圆C外 C.点P在圆C内 D.以上皆有可能6.数列{an}满足a1=2，an+1=maA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知数列{an}，对任意的n∈N∗，满足圆x2+y2−2anx−2an+1A.6078 B.5065 C.4052 D.30398.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=4,AC=6,BA+BC=62，则三棱锥P−ABC体积的最大值为(

)A.12 B.122 C.24 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2=2，A.q=2 B.a6=32 C.an10.已知圆C：(x−a)2+y2=1，直线l：x−y+2=0，记直线l与yA.若直线l与圆C相切，则a=2−2

B.若直线l被圆C截得的弦长为2，则a=−2

C.不存在a，使圆C上有三个点到直线l的距离都为1

D.由点A向圆11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BPA.若λ=1，则平面AB1P⊥平面BA1D1C

B.若μ=12，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P

C.若μ=λ，则异面直线D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则p=

．13.已知等差数列{an}满足a2=2，a9=−5，则{an}的通项公式an=14.已知点M(x0,2−x0)，若圆x2+y2=2上存在两点A、四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C经过A(−1,0)，B(2,−3)两点，且圆心C在x轴上．

(1)求圆C的方程；

(2)求与圆C关于直线l：x−y+1=0对称的圆的方程．16.(本小题15分)

记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3Sn+an+1=1．

(1)求{an}的通项公式；17.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，过点F1且斜率为k的直线，与y轴相交于点E，与椭圆相交于C，D两点．

18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别是棱AD，PD上的动点．

(1)当F是棱PD的中点，证明：PB//平面AFC；

(2)当∠PAD=120°，PA=AD=2AB=2，且AE=DF=a．

(Ⅰ)若BE⊥PC，求a的值；

(Ⅱ)当四棱锥B−PAEF的体积最小时，求平面PEC与平面PDC的夹角的余弦值．19.(本小题17分)

已知动点P(x,y)与定点(2,0)的距离和它到定直线l：x=1的距离的比是常数2.记动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点P1的坐标为(−32,12)，按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…)；过Pn−1作斜率为−12的直线与曲线C的右支交于点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn参考答案1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】4

13.【答案】4−n14.【答案】[1−15.解：(1)已知圆C经过A(−1,0)，B(2,−3)两点，且圆心C在x轴上，

设圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0，

则1−D+F=04+9+2D+F=0，

解得D=−4F=−5，

所以圆C的方程为x2+y2−4x−5=0，

即(x−2)2+y2=9．

(2)由(1)知，圆C的圆心为C(2,0)，半径为r=3；

设C(2,0)关于直线l：x−y+1=0对称的点为C′(m,n)，

则CC′的中点为M(m+22,n2)，直线CC′的斜率为k=nm−2；

因为点C，C′关于直线l对称，所以m+22−n2+1=0k=nm−2=−1，

即m−n+4=0n=2−m，解得m=−1n=3，

所以C′(−1,3)，

所以与圆C关于直线l：x−y+1=0对称的圆的方程为(x+1)2+(y−3)2=9．

16.解：(1)因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且3Sn+an+1=1，

所以3Sn−1+an=1，n≥2，两式相减可得：

3an+an+1−an=0，

所以an+1=−2an(n≥2)，所以公比q=−2，

又当n=1时，3a1+a2=1，而a2=−2a1，解得a1=1，

所以an=(−2)n−1；

(2)由(1)知，an=(−2)n−1，

则bn=(−1)n−1nan=(−1)n−1n⋅(−2)n−1=n⋅2n−1，

所以Tn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1，

则2Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，

两式相减得，−Tn=20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=20(1−2n)1−2−n⋅2n=(1−n)⋅2n−1，

则Tn=(n−1)⋅2n+1．

17.解：(1)因为椭圆的离心率为12，|F1F2|=2，

因此c=1，a=2，因此b2=a2−c2=3，

即椭圆的方程为x24+y23=1；

(2)由(1)可知F1(−1,0)，F2(1,0)，因为k=12，

因此直线方程为x−2y+1=0；

联立x24+y23=1x−2y+1=0，可得16y2−12y−9=0；

设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则y1+y2=34,y1y2=−916，

|CD|=1+1k2(y1+y2)2−4y1y2=5×916+94=154，

F2到直线x−2y+1=0的距离为d=|1−0+1|12+(−2)2=255，

因此△F2CD的面积为12×154×255=354；

(3)设E(0,m)，则F1C