北京市海淀区2025-2026学年九年级上学期第二次数学月考试卷(含答案)

北京市海淀区2025-2026学年九年级（上）第二次数学月考试卷一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是(

)A.B.C. D.2.对于二次函数y=x−12+2，下列描述正确的是A.当x>1时，y随x的增大而增大 B.其图象的开口向下

C.有最大值2 D.其图象的顶点坐标为−1,23.已知关于x的方程mx2−3x+4=0

，如果m<0

，那么此方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.无实数根 D.不能确定4.如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB=54°，则∠CBA的大小为(

)A.36°B.39°C.27°D.54°5.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽AB为8cm，水的最大深度CD为2cm，则此管件的直径为(

)A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm6.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为(

)A.18 B.27 C.36 D.457.如图，圆锥的底面圆半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(

)

A.15π B.10π C.20π D.30π8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120∘④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为2上述结论中，所有正确结论的序号是(

)A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④二、填空题：本题共8小题，共16分。9.在平面直角坐标系xOy中，点A−4,1关于原点对称的点A′的坐标为

．10.已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为

____

____cm11.抛物线y=−2(x−3)2+k上三点分别为A(−1,y1)，B(3,y2)，C(5,y3)，则y1，y12.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若正六边形的半径为6，则正六边形ABCDEF的面积为

．13.如图，在一个长为16m，宽为9m的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为112m2，求道路的宽度.设小路的宽为x m，依据上述条件，可列出一元二次方程：

．14.如图，PA,PB,MN分别与⊙O相切于点A,B,C三点．若AP=5，则▵PMN的周长为

．

15.如图，在▱ABCD中，AD=23AB,∠BAD=45∘，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB=3216.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，AB=5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE=3，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为

cm．

三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：(1)x2−6x+3=0

18.(本小题8分)

已知a是方程2x2+7x−3=0的一个解，求代数式19.(本小题5分)

已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k−4=0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．20.(本小题5分)

如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD=20°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数．21.(本小题5分)

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与xx…−3−113…y…−3010…(1)求这个二次函数表达式；

(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；

(3)当x的取值范围为______时，y>−3．22.(本小题6分)

已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．

求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．

作法：①连接OC；

②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；

③作直线CD．

直线CD就是所求作直线l．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：连接OB，BD，

∵OB=OC=BD=CD，

∴四边形OBDC是菱形．

∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，

∴∠BOC=______°(______)(填推理的依据)．

∴四边形OBDC是正方形．

∴∠OCD=90°，即OC⊥CD．

∵OC为⊙O半径，

∴直线CD为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．23.(本小题8分)原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y(单位：m)与水距x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−h)小明进行了两次掷实心球训练．(1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2根据上述数据，①实心球竖直高度的最大的值是________m；②求出函数解析式________；(2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.09(x−4)2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的陆点的水平距离为d2，则d1________d2(24.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，已知点−2,−2在抛物线y=ax(1)①抛物线的对称轴为直线x=___________；②当−3<x<−2时，抛物线在x轴下方，当1<x<2时，抛物线在x轴上方，求此时抛物线的表达式；(2)若抛物线上存在点Px1,y1，Qx2,y2，其中x25.(本小题7分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(45°<α<90°)D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE.将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F．

(1)①依题意补全图形；

②求证：∠B=∠AFE；

(2)连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．26.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,2)(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=6ax+5a+2于点N．①若a=1,t=2，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点C(3a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大．求a的取值范围．27.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”.例如，如图，A(3,0),B(4,0)，则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．(1)⊙O对点(5,2)的“最近覆盖距离”为________________；(2)点P是函数y=−2x+3图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________；(3)若一次函数y=kx−6k的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为32−1(4)D(m,−3)、E(m+1,−4)，且−4<m<4，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，直接写出d的取值范围．

参考答案一、选择题：1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

6.C

7.A

8.C

二、填空题：9.4,−1

10.311.y212.3613.(9−x)(16−2x)=112

14.10

15.516.125三、解答题：17.(1)解：xa=1,b=−6,c=3bx=−b±∴x1=3+6(2)解：=3=3=3+2318.解：∵a是方程2x∴2a∴2a(2a−1)(a+4)+5=2=2=3+1=4．19.解：(1)根据题意得Δ=22−4(2k−4)>0，

解得k<52；

(2)∵k<52且k为正整数，

∴k=1或2．

当k=1时，方程为x2+2x−2=0，此方程无整数根；

当k=2时，方程为x2+2x=0，解得：x=020.解：由旋转的性质可得：∠B=∠D=25°，

∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB，

∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°，∠CAD=20°，

∴∠CAB=(120°−20°)÷2=50°，

∴∠FAB=∠CAB+∠CAD=50°+20°=70°，

∵∠DFB=∠B+∠FAB，

∴∠DFB=25°+70°=95°．

21.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，

把(1,1)代入得1=a×2×(−2)，

解得a=−14，

∴二次函数的表达式为y=−14(x+1)(x−3)，

即y=−14x2+12x+34；

(2)如图，抛物线的顶点坐标为(1,1)，

(3)∵y=−3时，x=−3或x=5，

∴当−3<x<5时，y>−3．

故答案为：−3<x<5．

22.解：(1)补全图形，如图所示：

(2)证明：连接OB，BD，如图：

∵OB=OC=BD=CD，

∴四边形OBDC是菱形．

∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，

∴∠BOC=90°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)．

∴四边形OBDC是正方形．

∴∠OCD=90°，即OC⊥CD．

∵OC为⊙O半径，

∴直线CD为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．故答案为：3.6m；②由①可知，顶点坐标为(4,3.6)，故函数关系为y=a(x−4)把(0,2.0)代入y=a(x−4)16a+3.6=2，∴a=−0.1，故函数解析式为y=−0.1(x−4)(2)解：由(1)可知函数解析式为y=−0.1(x−4)当y=0时，x=10(负值舍去)，∴d在y=−0.09(x−4)令y=0得−0.09(x−4)解得x=210+4(∴d∵10<2∴d24.(1)解：①将−2,−2代入解析式y=ax得：4a−2b−2=−2，解得：b=2a，∴抛物线的对称轴为直线x=−b故答案为：−1；②∵抛物线的对称轴为直线x=−1，则设y=ax+1∴当x=−3时，y1=4a+k，当x=1时，即：−3,y1与1,y∵当−3<x<−2时，抛物线在x轴下方，当1<x<2时，抛物线在x轴上方，∴y1=y2将−3,0和(1,0)代入解析式y=ax得：9a−3b−2=0a+b−2=0，解得：∴此时抛物线的表达式y=2(2)由(1)可知：抛物线的对称轴为直线x=−1，b=2a，∴y=ax2+2ax−2a>0，当x>−1时，y随y1=ax则：y2∵x∴∵0<x∴y∵x2−x∴x1+1<4∴0<x1<3∴1∵要使得y1即：y2只需要使得a<1∴0<a<1综上，a的取值范围为0<a<125.解：(1)①解：如图所示，

②证明：如图，连接AD，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD=α，∠B+∠BAD=90°，

∵将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，

∴∠EAF=α=∠BAD，

∵EF⊥AE，

∴∠EAF+∠AFE=90°，

∴∠B=∠AFE；

(2)解：DF=CF，理由如下：

如图，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，

∵点E是BD的中点，

∴BE=DE，

又∵AE=EH，∠AEB=∠HED，

∴△ABE≌△HDE(SAS)，

∴∠BAE=∠AHD，AB=DH=AC，

∵AE=EH，AE⊥EF，

∴AF=FH，

∴∠FAE=∠FHE=α，

∵∠BAC=2α，

∴∠BAE+∠CAF=α=∠AHD+∠FHD，

∴∠CAF=∠FHD，

∴△ACF≌△HDF(SAS)，

∴DF=CF．

26.(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0，经过点∴c=2，∴a−b+2=−a+2∴b=2a；(2)①如图，当a=1时，b=2a=2，抛物线表达式为y=x2+2x+2∵点Pt,0作x轴的垂线，t=2∴当x=2时，y=22+2×2+2=10y=6×2+7=19，即N2,19∴MN=19−10=9；②当点P从点O运动到点C3a,0∵PM⊥x轴，Pt,0∴x将x=t，b=2a代入y=axy=at2+2at+2将x=t代入y=6ax+5a+2，可得y=6at+5a+2，即Nt,6at+5a+2∴MN=a令MN=0，即at2−4at−5a=0，解得t=−1∵在点P从点O运动到点C(3a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，∴−1≤t≤5，第一种情况：当a>0时，有0<a<3a，即点C在y轴右侧，即点Pt,0有点N在点M的上方，t≥0，∴MN=6at+5a+2−(a=−at−a<0，抛物线开口向下，对称轴为t=−4a∴当0≤t≤2时，MN随t的增大而增大，∵Pt,0从点O运动到点C(3a,0)的过程中，MN的长始终随OP∴3a≤2，即a≤2∵a>0，∴0<a≤2第二种情况：当a<0时，3a<a<0，即点C在y轴左侧，即点P(t,0)从原点向左运动，如图有点M在点N的上方，且t≤0，∴MN=(a=ata<0，抛物线开口向下，对称轴为t=−−4a∴当t≤2时，MN的