2026届四川省眉山市高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2026届四川省眉山市高一数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列满足，则（）A．2 B． C． D．2．已知向量，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．33．已知,则的值为()A． B． C． D．4．已知且,则的取值范围是（）A． B． C． D．5．函数的零点有两个，求实数的取值范围（）A． B．或 C．或 D．6．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A． B． C． D．7．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）A． B． C． D．8．边长为1的正方形上有一动点，则向量的范围是（）A． B． C． D．9．圆与圆的位置关系是()A．相切 B．内含 C．相离 D．相交10．的值为（）A．1 B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．12．已知函数，该函数零点的个数为_____________13．点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为__________.14．若点与关于直线对称，则的倾斜角为_______15．下列关于函数与的命题中正确的结论是______.①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.16．已知则sin2x的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点，，点为曲线上任意一点且满足（1）求曲线的方程；（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，直线分别交直线：于点，试问轴上是否存在一个定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.18．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.（1）若，求三棱柱的体积；（2）证明：平面；（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.19．已知函数在上的最大值为3.（1）求的值及函数的单调递增区间;（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.20．王某2017年12月31日向银行贷款元，银行贷款年利率为，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第年末还款后此人在银行的欠款额为元.（1）设每年的还款额为元，请用表示出；（2）求每年的还款额（精确到元）.21．已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；（2）若，求数列的前项的和；（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．【详解】解：数列满足，，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．2、A【解析】

由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得，即．∴，故选A．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．3、C【解析】

根据辅助角公式即可．【详解】由辅助角公式得所以，选C.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用：，属于基础题．4、A【解析】分析：，由，可得，又，可得，化简整理即可得出.详解：，由，可得，又，可得，化为，解得，则的取值范围是.故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5、B【解析】

由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．【详解】由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：故有或，故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题.6、B【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体挖去一个圆锥的组合体，正方体体积为，圆锥体积为几何体的体积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7、A【解析】

利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．【详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的最小值、最大值，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．8、A【解析】

分类，按在正方形的四条边上分别求解．【详解】如图，分别以为建立平面直角坐标系，，设，，∴，当在边或上时，，所以，当在边上时，，，当在边上时，，，∴的取值范围是．故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积，通过建立坐标系，把向量和数量积用坐标表示，使问题简单化．9、D【解析】

写出两圆的圆心，根据两点间距离公式求得两圆心的距离，发现，所以两圆相交。比较三者之间大小判断位置关系。【详解】两圆的圆心分别为：，，半径分别为：，，两圆心距为：，所以，两圆相交，选D。【点睛】通过比较圆心距和半径和与半径差直接的关系判断，即比较三者之间大小。10、A【解析】

利用诱导公式将转化到，然后直接计算出结果即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】试题分析：由题意可得，∴，解得0＜q＜1考点：等比数列的性质12、3【解析】

令，可得或；当时，可解得为函数一个零点；当时，可知，根据的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数.【详解】令，可得：或当时，或（舍）为函数的一个零点当时，，，为函数的零点综上所述，该函数的零点个数为：个本题正确结果：【点睛】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.13、【解析】

由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【详解】点P从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标，纵坐标为，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于容易题．14、【解析】

根据两点关于直线对称，可知与垂直，利用斜率乘积为可求得，根据直线倾斜角与斜率的关系可求得倾斜角.【详解】由题意知：，即：又本题正确结果：【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够根据两点关于直线对称的性质求得所求直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求得结果.15、④【解析】

利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可【详解】①，当时，的反函数是，故错误；②，当时，是增函数，故错误；③，不是周期函数，故错误；④，与都是奇函数，故正确故答案为④【点睛】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题16、【解析】

利用二倍角的余弦函数公式求出的值，再利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，则sin2x＝=，故答案为.【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在点使得成立.【解析】

（1）设P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲线的方程．（2）由题意得M(0，1)，N(0，-1)，设点R(x0，y0)，（x0≠0），由点R在曲线上，得=1，直线RM的方程，从而直线RM与直线y=3的交点为，直线RN的方程为，从而直线RN与直线y=3的交点为，假设存在点S(0，m)，使得成立，则，由此能求出存在点S，使得成立，且S点的坐标为.【详解】（1）设，由，得：，整理得.所以曲线的方程为.（2）由题意得，，.设点，由点在曲线上，所以.直线的方程为，所以直线与直线的交点为.直线的方程为所以直线与直线的交点为.假设存在点，使得成立，则，.即，整理得.因为，所以，解得.所以存在点使得成立，且点的坐标为.【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查是否存在满足向量积为0的点的判断与求法，考查圆、直线方程、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.【解析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱体积公式得：；（2）证明：取的中点，连接，，∵，分别为和的中点，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）连接，设，则由题意知，，∵三棱柱的侧棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又点是的中点，∴平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，∴，即，∴，则时，平面.【点睛】本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.19、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.【解析】

（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.【详解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函数的单调递增区间为（2）由已知，∴由得，因此所以因为为锐角三角形，所以，解得因此，那么【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.20、(1)(2)12950元【解析】

（1）计算100000元到第二年年末的本利和，减去第一次还的元到第二年年末的本利和，再减去第二年年末还的元，可得；（2）根据100000元到第10年年末的本利和与每年还款元到第10年年末的本利和相等，得到关于的方程组，进而求得的值.【详解】(1)由题意得：.(2)因为所以，解得：.【点睛】本题以生活中的贷款问题为背景，考查利用等比数列知识解决问题，考查数学建模能力和运算求解能力，求解时要先读懂题意，并理解复利算法，是成功解决问题的关键.21、（1）的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析【解析】

（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.【详解】（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的