六年级奥数讲义

六年级奥数讲义同学们，欢迎来到六年级奥数的奇妙世界。奥数不仅仅是课本知识的延伸，更是一种思维的体操，它能帮助我们开拓思路，提升解决复杂问题的能力。这份讲义将陪伴大家探索一些有趣且富有挑战性的数学领域，希望大家能在思考中感受数学的魅力，享受解题的乐趣。请记住，每一道难题都是一次锻炼思维的机会，重要的是过程中的思考与发现，而不仅仅是最后的答案。第一讲：速算与巧算进阶在数学学习中，计算是基础。快速准确的计算能力，不仅能节省时间，更能在解决复杂问题时保持清晰的思路。除了我们熟悉的四则运算法则，掌握一些巧妙的计算技巧，能让我们的计算事半功倍。一、常用技巧回顾与拓展1.凑整法：这是最基本也最常用的巧算方法。利用加法的交换律、结合律，将能凑成整十、整百、整千的数先进行计算。*例如：计算387+129+113，我们可以发现387和113能凑成500，所以原式=(387+113)+129=500+129=629。*拓展：在小数或分数计算中同样适用，例如0.75+2.36+1.25=(0.75+1.25)+2.36=2+2.36=4.36。2.基准数法：当几个数都接近某一个数时，可以把这个数作为基准数，然后计算每个数与基准数的差，再进行调整。*例如：计算29+31+28+30+32，这些数都接近30。原式=30×5+(-1+1-2+0+2)=150+0=150。3.公式法：掌握一些常用的运算公式，如等差数列求和公式、平方差公式等，可以快速解决特定类型的计算问题。*等差数列求和：和=(首项+末项)×项数÷2。*例如：计算1+2+3+...+100，这是一个首项为1，末项为100，项数为100的等差数列。和=(1+100)×100÷2=5050。4.裂项相消法：这是分数计算中非常重要的一种技巧，将一个分数拆分成两个或多个分数的差或和，使得中间项相互抵消，从而简化计算。*例如：计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/(9×10)*我们知道1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)，所以原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/9-1/10)=1-1/10=9/10。例题解析：计算：9999+999+99+9分析：这几个数都非常接近整万、整千、整百、整十。我们可以给每个数先“借”1，凑成整数，然后再“还”回去。解答：原式=(____-1)+(1000-1)+(100-1)+(10-1)=____+1000+100+10-4=____-4=____。练习题：1.计算：1234+5678+8766+43222.计算：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-93.计算：1/2+1/6+1/12+1/20+1/30第二讲：行程问题（一）——相遇与追及行程问题是小学数学中的经典问题，主要研究物体运动的速度、时间和路程之间的关系。基本公式是：路程=速度×时间。相遇问题和追及问题是行程问题中的两种基本类型。一、相遇问题核心概念：两个运动物体从两地出发，相向而行，在途中相遇。基本关系：*总路程=速度和×相遇时间*相遇时间=总路程÷速度和*速度和=总路程÷相遇时间例题解析：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，经过3小时两人相遇。A、B两地相距多少千米？分析：两人相向而行，他们每小时一共能走(5+4)千米，这就是他们的速度和。经过3小时相遇，说明两地的距离就是他们3小时一共走的路程。解答：速度和=5+4=9(千米/小时)，总路程=9×3=27(千米)。答：A、B两地相距27千米。二、追及问题核心概念：两个运动物体同向而行，快的物体从后面追上慢的物体。基本关系：*追及路程（路程差）=速度差×追及时间*追及时间=追及路程÷速度差*速度差=追及路程÷追及时间例题解析：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在乙前面10千米处，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。乙多久能追上甲？分析：乙的速度比甲快，每小时能比甲多走(6-4)千米，这就是速度差。开始时乙落后甲10千米，这10千米就是追及路程。乙每小时能缩短2千米的差距，所以追上甲所需的时间就是追及路程除以速度差。解答：速度差=6-4=2(千米/小时)，追及时间=10÷2=5(小时)。答：乙5小时能追上甲。解题技巧：1.画线段图：行程问题往往比较抽象，画线段图能帮助我们直观地理解题意，找出数量之间的关系。2.明确运动状态：仔细审题，明确物体是“相向”、“同向”还是“相背”而行，是“同时出发”还是“不同时出发”，是否有“停留”等。3.找准关键量：对于相遇，关键是“速度和”与“相遇时间”；对于追及，关键是“速度差”与“追及路程”。练习题：1.两列火车从两个车站同时相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行52千米，经过2.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？2.小明和小红从学校到少年宫，小明每分钟走80米，小红每分钟走60米。小红先走5分钟后，小明才出发，小明多久能追上小红？第三讲：工程问题初步工程问题是研究工作总量、工作效率和工作时间之间关系的应用题。它与行程问题有相似之处，解题思路也有相通性。一、基本概念与关系*工作总量：通常把一项工程的全部工作量看作单位“1”。*工作效率：单位时间内完成的工作量。例如，一项工程10天完成，那么每天完成这项工程的1/10，这就是工作效率。*基本关系：*工作总量=工作效率×工作时间*工作时间=工作总量÷工作效率*工作效率=工作总量÷工作时间二、常见题型1.单人单工程：已知一个人完成工程的时间，求工作效率或合作完成时间等。2.多人合作：几个人的工作效率相加，得到合作的工作效率和，再根据基本关系求解。*合作工作效率=各部分工作效率之和*合作时间=工作总量÷合作工作效率和例题解析：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。如果甲、乙两人合作，需要多少天才能完成这项工程？分析：把这项工程的工作总量看作“1”。甲单独做12天完成，甲的工作效率就是1/12；乙单独做18天完成，乙的工作效率就是1/18。两人合作，每天能完成这项工程的(1/12+1/18)。解答：甲的工作效率=1÷12=1/12，乙的工作效率=1÷18=1/18。合作效率和=1/12+1/18。为了计算方便，先通分：1/12=3/36，1/18=2/36，所以合作效率和=3/36+2/36=5/36。合作时间=1÷(5/36)=36/5=7.2(天)。答：甲、乙两人合作需要7.2天完成。解题技巧：1.设工作总量为“1”：这是解决工程问题最常用的方法，能使问题简化。2.找准工作效率：工作效率是解决工程问题的核心，要根据题目条件准确计算。3.注意合作与单独工作的区别：合作时，效率是相加的；单独工作时，各算各的。练习题：1.一项工作，甲单独做8小时完成，乙单独做6小时完成。两人合作，几小时可以完成这项工作的3/4？2.一条公路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天。如果两队合修，多少天可以修完这条路的一半？第四讲：平面几何图形的面积计算（一）平面几何图形的面积计算是小学数学的重要内容，除了掌握基本图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆）的面积公式外，我们还需要学习一些常用的解题技巧，来解决更复杂的组合图形面积问题。一、基本图形面积公式回顾*长方形：面积=长×宽*正方形：面积=边长×边长*三角形：面积=底×高÷2*平行四边形：面积=底×高*梯形：面积=(上底+下底)×高÷2*圆：面积=π×半径×半径(π通常取3.14)二、常用解题技巧：割补法与平移法割补法：将不规则或较复杂的图形，通过分割或填补的方式，转化为我们熟悉的基本图形，再进行面积计算。平移法：将图形的某一部分进行平移，使其与另一部分组合或构成一个基本图形，从而简化计算。例题解析：求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（假设有一个边长为4厘米的正方形，内部有一个半径为2厘米的半圆，直径与正方形的一条边重合，阴影部分为正方形内半圆外的部分）分析：阴影部分是正方形减去半圆后剩下的部分。我们可以先分别算出正方形的面积和半圆的面积，然后用正方形面积减去半圆面积即可。解答：正方形面积=4×4=16(平方厘米)。半圆的半径=4÷2=2(厘米)，半圆面积=(3.14×2×2)÷2=6.28(平方厘米)。阴影部分面积=16-6.28=9.72(平方厘米)。答：阴影部分面积是9.72平方厘米。例题解析：一个平行四边形的一条边长8厘米，这条边上的高是5厘米，另一条边上的高是4厘米，求这个平行四边形的周长。分析：平行四边形的面积可以用“底×高”来计算。我们可以先用已知的底和高求出面积，再根据面积和另一条高求出对应的底边长，最后计算周长。解答：平行四边形面积=8×5=40(平方厘米)。另一条边的长度=面积÷这条边上的高=40÷4=10(厘米)。平行四边形周长=(8+10)×2=36(厘米)。答：这个平行四边形的周长是36厘米。解题技巧：1.仔细观察图形：看清图形的组成，哪些是已知的，哪些是未知的。2.灵活运用公式：不仅要记住公式，更要理解公式的含义，能根据不同条件灵活选用。3.辅助线的妙用：在适当的位置添加辅助线，可以帮助我们更好地分割或补全图形。练习题：1.一个梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是4厘米，求它的面积。2.求下图中阴影部分的面积（假设是一个长方形，长10厘米，宽6厘米，内部有一个最大的圆，阴影为长方形内圆外部分）。第五讲：抽屉原理初步抽屉原理，也叫鸽巢原理，是一个非常有趣且应用广泛的数学原理。它能帮助我们解决一些看似复杂的存在性问题。一、基本抽屉原理抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。通俗理解：比如，有3个苹果要放进2个抽屉，那么至少有一个抽屉里会放2个苹果。抽屉原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)个物体。通俗理解：比如，有7个苹果要放进3个抽屉，7=2×3+1，那么至少有一个抽屉里会放3个苹果。二、解题关键*确定“物体”和“抽屉”：这是解决抽屉原理问题的核心。要弄清楚把什么看作“物体”，把什么看作“抽屉”。*计算“至少数”：根据抽屉原理的不同形式，计算出至少有一个抽屉里物体的数量。例题解析：六年级（1）班有38名学生，至少有几名学生在同一个月过生日？分析：一年有12个月，我们可以把这12个月看作12个“抽屉”，把38名学生看作38个“物体”。问题就是把38个物体放进12个抽屉，至少有一个抽屉里有几个物体。解答：38÷12=3...2，即平均每个月有3名学生过生日，还余2名学生。根据抽屉原理2，至少有3+1=4名学生在同一个月过生日。答：至少有4名学生在同一个月过生日。例题解析：盒子里有同样大小的红球、黄球、蓝球各5个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？分析：