2025-2026学年华东师大版八年级数学上学期期末必刷常考题之勾股定理的应用

2025・2026学年上学期初中数学华东师大版八年级期末必刷常考

题之勾股定理的应用

一.选择题（共7小题）

I.（2025秋•东港市期中）如图，为修公路需搭建桥BC,测得N4C8=90°,A5=1000w,AC=800m,

若每天搭建桥12加，则把桥BC搭建完需要（）

A.48天B.49天C.50天D.51天

2.（2025秋•南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米.将竿横放则比门宽长I米，将竿斜放

进门，刚好能放进去，则竿的长度为（）

3.（2025春•邯郸校级期末）如图1,有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离•地高4.5川的墙E,任

何东西只要移至该灯5〃?及5〃:以内时，灯就会自动发光如图2,当一个身高15〃的学生（即CO=1.5〃?）

走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（）

C.6mD.

4.（2024秋•新乐市期末）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5”?的墙上，装有一个由传感

器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃5机及5〃?以内时，即ACW5〃?，门铃就会自动发出语

音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5〃?的学生走到。处，即CQ=1.5m,门铃恰好自动响起，则

BD的长为（）

A.3米B.4米C.5米D.7米

5.（2024秋•偃师区期末）•辆装满货物,宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高

C.3.9米D.3.8米

6.（2025秋•福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，

即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生.如图所示，每根木柱

有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表

面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（）

A.4米B.4.3米C.5米D.6米

7.（2025•吉林校级模拟）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度

=6"〃，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度8r=8c“，此时摆锤与静止位置时的水平距离

灰?=10c”?时，钟摆人。的长度是（）

A

A.ManB.24cmC.26cmD.28c〃？

二.填空题（共5小题）

8.（2025秋•包头期中）如图，一个底面半径为8o〃，高为15。〃的圆柱形饮料罐，将一根长为20。〃的吸

管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不

计，则吸管露在饮料罐外部的长度是c,n.

9.（2025秋•福山区期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志若中国古代数学形成了

完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者

几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹

子底部6尺远，则折断处离地面的高度是.

10.（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2加）堆在一起，并且最下面

的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为加结果/呆留根号）.

11.（2025秋•沈阳期中）如图，长为8a〃的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和打，然后把中点C向上

拉升3c7〃到。，则橡皮筋被拉长了

12.（2025春•樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方4处装着一个感应器，离地4B=2.S米，当人体

进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高L6米的学生CZ）正对门，缓慢走到离门

1.2米的地方时（8C=1.2米），感应门自动打开，则40=米.

三,解答题（共3小题）

13.（2025秋•鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子与E尸靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边

梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度D/相等，若DF=3m,DE=6m,AD=2.6m,求线段B厂的

14.（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如

图1,在一个支架的横杆的点。处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，OA表示小球静

止时的位置.如图2,当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到08位置，此时过点8作8Q_L

OA,垂足为。，当小球摆到OC位置时，04与0c恰好垂直（图2中的A、B、O、。在同一平面上），

过点C作CE_LQ4,垂足为E,测得5£>=6丽,CE=\0cm.

（1）求证：NCOE=NB；

（2）求。E的长.

图1图2

15.（2025秋•瑞安市期中）如图，将17米长的绳索一端固定在物体的E处，利用定滑轮。（忽略滑轮大

小）向高空运送该物体，已知物体顶部离地面竖直高度。E=1米.当物体放在地面上时，拉紧的绳索

的另一端处于A处，AQ=6米.当绳索的一端向左拉至8处时，物体升高5米.求滑轮C离地面的垂

直高度CD和AB的长.

20252026学年上学期初中数学华东师大版（2024）八年级期末必刷常考

题之勾股定理的应用

参考答案与试题解析

一,选择题（共7小题）

题号1234567

答案CCABACC

一.选择题（共7小题）

I.（2025秋•东港市期中）如图，为修公路需搭建桥8期测得NAC8=90°,43=1000〃?，AC=800m,

若每天搭建桥12加，则把桥8c搭建完需要（）

A.48天B.49天C.50天D.51天

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】C

【分析】先根据勾股定理求出8。的长，即可解决问题.

【解答】解:・・・/ACB=90°,43=1000m,AC=800m,

:.BC=ylAB2-AC2=V10002-8002=600（/〃）.

■每天搭建桥12/n,

.,.6004-12=50（天）.

答：把桥AC搭建完需要50天，

故选：C.

【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC的氏是解答此题的关键.

2.（2025秋•南海区期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米.将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放

进门，刚好能放进去，则竿的长度为（)

A.2.2米B.1.5米C.2.5米D.2米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【答案】C

【分析】设竿长x尺，根据勾股定理列方程求解即可.

【解答】解：设竿长x尺，

由题意得:（x-I）2+22=X2,

解得：x=2.5,

・•・竿的长度为2.5米，

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.（2025春•邯郸校级期末）如图1,有一个由传感器4控制的灯，要装在门上方离地高4.5〃,的墙E,任

何东西只要移至该灯5m及5/以内时，灯就会自动发光如图2,当一个身高15〃的学生（即CZ）=1.5/7?）

走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距禽为（）

A.4mB.5mC.6〃iD.Im

【考点】勾股定理的应用.

【专题】推理能力.

【答案】A

【分析】过点C作CE〃3。，交A8于点E,构造出直角三角形，利用勾股定理解答.

【解答】解：过点C作CE//BD,交A3于点£

BE=CD=\.5m,

：,AE=Ali-BE=4.5-1.5=3(m).

VAC=5///»

：,CE2=AC2-AE1=52-32=42,

.\CE=4cm,

故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为4m

故选：A.

【点评】本题考查正确运用勾投定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.直角三角形两

条直角边的平方和等于斜边的平方.

4.(2024秋•新乐市期末)如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高45〃的墙上，装有一个由传感

器控制的门铃4如图①所示，人只要移至该门铃5小及5〃?以内时，即ACW5〃?，门铃就会自动发出语

音“欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5/〃的学生走到。处，即CO=1.5m,门铃恰好自动响起，则

①②

A.3米B.4米C.5米D.7米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【答案】B

【分析】由题意可知BD=CE,BE=CD=\.5m,AC=5m,贝1JAE=AB-BE=3m,再由勾股定理求出

CE的长，即可得出结论.

【解答】解：由题意可知，BD=CE,BE=CD=\.5m,AC=5m,则AE=AB-BE=4.5・1.5=3(〃?)，

在Rt/XACE中，由勾股定理得：CE=>JAC2-AE2=V52-32=4(in),

/.BD=CE=4米，

即门铃恰好自动响起，则8。的长为4米，

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键.

5.（2024秋•偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高

C.3.9米D.3.8米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股

定理得出的长；然后再根据C〃=CQ+O"，进而得出C”的长，即可得出答案.

【解答】解：•二车宽2.4米，

・•・欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高.

在中，由勾股定理可得：

CD=y/OC2-OD2=V22-1.22=1.6（/n）,

CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米，

故选：A.

【点评】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键.

6.（2025秋•福山区期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号己经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，

即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生.如图所示，每根木柱

有雕龙的部分的柱身高4C长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表

面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（）

A.4米B.4.3米C.5米D.6米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】C

【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即

可得到答案.

【解答】解：底面周长约为15米，柱身高约4米，将圆柱体侧面展开如图，

•・•有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的。点，

・・・AE=1.5米，AB=^AC=^x4=2（米），

在直角三角形A8E中，由勾股定理得：BE=J1.52+22=2.5（米），

故雕刻在木柱上的巨龙至少为25X2=5（米），

故选：C.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

7.（2025•吉林校级模拟）如图，行一只摆钟，撰锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度

=60〃，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度8F=8s〃，此时摆锤与静止位置时的水平距离

BC=\Ocw时，钟摆4。的长度是（）

A

A.ManB.24c//?C.26cmD.28c〃？

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形：几何直观；推理能力：应用意识.

【答案】C

【分析】设人8=人。=.切，根据题意可推出AC=(x-2)cm,然后在Rt△人8c中利用勾股定理列方

程求解即可.

【解答】解：设AB=4£>=xcm,

根据题意可知，BC//EF,CELEF,BFLEF,BF=Scm,

**•CE—BF=Scifit

：,AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)cm,

在RtZXABC中，ZACB=90°,

：.AB1=AC1+BC1,即『=(.t-2)2+102,

解得：x=26,

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

二.填空题(共5小题)

8.(2025秋•包头期中)如图，一个底面半径为8cm,高为15刖的圆柱形饮料罐,将一根长为20刖的吸

管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不

计，则吸管露在饮料罐外部的长度是357.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直.角三角形；应用意识.

【答案】3.

【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可.

【解答】解：如图，由题意得：A()=Scm,B0=15CM,N8OA=90°,

b15

在直角三角形人08中，由勾股定理得：

AB=V82+152=17(cw),

・•・吸管在饮料罐内部的长度为17c〃b

•••吸管的总长度为20c〃?，

工外部长度为20・17=3(cm),

即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm.

故答案为；3.

【点评】本题考查了勾股定理解「角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度.

9.(2025秋•福山区期中)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了

完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者

几何？意思是一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹

子底部6尺远，则折断处离地面的高度是3.2尺.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】3.2尺.

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-。尺，利用

勾股定理解题即可.

【解答】解：设竹子折断处离地面K尺，则斜边为（10-K）尺，

根据勾股定理得：X2+62=（107）2.

解得：x=3.2,

工折断处离地面的高度为3.2天，

故答案为：3.2尺.

【点评】此题考杳了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理

解题.

10.（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2〃?）堆在一起，并且最下面

的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为（4V3+2）—机（结果保留根号）.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识.

【答案】（473+2）.

【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成等边三角形，它的边长是8/〃，遮雨棚

起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出其。的长，即可得出结果.

【解答】解：由题意得：A、8、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边

长是4X2=8（〃?），为等边△ABC的高，

，AB=BC=8〃?,BD=CD=^BC=1x8=4（w）,

在RtZ\AZ）8中，由勾股定理得：AD=>JAB2-BD2=V82-42=4A/3（w）,

・•・遮雨棚起码高为：（475+2］小，

故答案为：（4V5+2）.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

11.（2025秋•沈阳期中）如图，长为8c”的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和从然后把中点。向上

拉升到/）,则橡皮筋被拉长了cm.

【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据勾股定理，可求出A。、的长，贝1」人。+8。-88即为橡皮筋拉长的距离.

【解答】解；1"△AC£>中，AC=1/AB=4c/n,CD=3cm；

根据勾股定理，得：AD=>JAC2+CD2=5cw；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉长了2m.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用.

12.（2025春•樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地A8=2.S米，当人体

进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高L6米的学生。。正对门，线慢走到离门

1.2米的地方时（8C=1.2米）：感应门自动打开，则A2=1.5米.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】过点。作于点E,构造RtZ\4OE,利川勾股定理求得A。的长度即可.

【解答】解：如图，过点D作£>EJ_A3于点E,

•.•A6=2.5米，/石=8=1.6米，石。=3C=1.2米，贝ijAE=A6-〃£：=2.5-1.6=0.9（米）.

在Rt/XA。七中，由勾股定理得到：AD=\/AE2+DE2=0.92+1.22=1.5（米）

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得

线段AQ的长度.

三,解答题（共3小题）

13.（2025秋•鞍山期中）如图，是两个长度相同的梯子8c与E厂靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边

梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度。尸相等，若DF=3m,DE=6〃i,AD=26〃，求线段B尸的

长度.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】三角形.

【答案】线段8b长度为11.6”.

【分析】先根据"L定理判断出gRtZXE。凡再根据全等三角形的性质求出即可求

出BF.

【解答】解：由题意知/8AC=NEZ）尸=90°,BC=EF,AC=DF,

在RtaBAC和RtZXEZ）/中，

（BC=EF

lAC=DF'

ARtABAC^RtAEDF（HL）,

：,AB=DE,

VDF=3m,DE=6m,AD=2.6m,

：.BF=AB+AD+DF=6+2.6+3=11.6（〃？）.

答：线段5尸的长度为11.6加.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键.

14.（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如

图I,在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，OA表示小球静

止时的位置.如图2,当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作

OA,垂足为。，当小球摆到OC位置时，。8与OC恰好垂直（图2中的A、B、0、。在同一平面上），

过点C作CE_LO4,垂足为E,测得8Q=6cm,CE=10cm.

（1）求证：/COE=/B；

（2）求的长.

图1图2

【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】（I）*：CE±OA,RDLOA,

・・・NCEO=NOOB=90°,

•・・OB_LOC,

・・・/8OC=90°,

Z.ZBOD+ZCOE=90°,

在RtZ\30。中，NBOD+/B=90°,

:・/COE=NB；

（2）4cm.

【分析】（1）根据垂直的定义得到NC石。=NOQB=90°,求得NBOD+/COE=90°,根据余角的性

质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到CE=OD,OE=BD,于是得到结论.

【解答】（1）证明：・・・CE_LOA,BDVOA,

/.ZCEO=Z1ODB=W,

*：0B10C,

AZBOC=90°,

AZBOD+ZCOE=9(r,

，NBOO+N8=90°,

，NCOE=NB；

(2)解：在△COE和△08。中，

(ZCEO=NODB

J乙COE=ZF，

(0C=OB

:.XCOE4AOBD(AAS),

:.CE=OD,OE=BD,

VCE=10<7n,

J0D=lOcm,

•;BD=6cm,

/.0E=6cm,

:・DE=OD-0E=10-6=4(an).

【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解答本题的关键是找准条件判定全等，解

题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解.

15.(2025秋•喘安市期中)如图，将17