小学数学五年级上册《除数是整数的小数除法》核心知识清单

小学数学五年级上册《除数是整数的小数除法》核心知识清单

一、核心概念与算理根基

（一）小数除法的本质意义

【核心概念】▲▲▲除数是整数的小数除法，其本质是“等分”与“包含”两种除法意义在小数范围内的延伸与统一。它解决的是将一个整体（可以是整数，也可以是小数）平均分成整数份，求每份是多少；或者求一个数（整数或小数）里包含多少个整数除数。这与整数除法的意义完全相同，只是运算对象从整数扩展到了小数，是除法运算一致性（计数单位不断细分与均分）的集中体现。

【基础】理解小数除法的意义，是建立数感、理解后续所有计算法则的基石。它沟通了整数除法与小数除法之间的联系，让学生明白运算的意义并未因数的形式变化而改变。

（二）核心算理：计数单位的转化与均分

【核心原理】▲▲▲除数是整数的小数除法，其核心算理在于“将高级计数单位逐级细分为低级计数单位，再进行均分”。当用除数去除被除数的整数部分时，得到整数部分的商，余下的部分表示“几个一”，此时需要将这些“一”细分为更小的计数单位——十分之一（即转化为十分位上的数），与原有十分位上的数合并，继续除以除数，从而得到十分位上的商。依此类推，依次细分到百分位、千分位……直至除尽或除到所需精度。

【难点剖析】▲▲▲这一过程深刻体现了“细分单位”的数学思想。学生往往对商中间的小数点感到困惑，其根源在于未能理解小数点的位置正是每一次单位细分后，新得到的商（表示新的计数单位的个数）所对应的数位的“定位标识”。小数点始终对齐被除数的小数点，是因为每一次的“细分再均分”操作，都是从整数部分向更小的数位逐级进行的，商的数位顺序与被除数的数位顺序保持了严格的一致。

二、基本计算法则与操作步骤

（一）计算通法精析

【方法精要】▲▲▲除数是整数的小数除法，可按以下标准化流程进行操作：

1、定位与准备：按照整数除法的计算法则进行列式。商的小数点要与被除数的小数点对齐。这一步骤是视觉上的关键锚点，确保了商每一位数位的正确性。

2、逐位试商：从被除数的最高位（通常是整数部分的最高位）开始，用除数去除。如果整数部分不够除（即整数部分小于除数），则商的整数部分要用0占位，并在0的后面点上小数点，然后看被除数的整数部分与十分位上的数合起来继续除。

3、细分与落位：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。当除到某一位有余数时，需要将该余数转化为下一个更低数位的单位（例如，余数3个一，就转化为30个十分之一），与下一位上的数合并（如果下一位没有数字，则视为0），继续除以除数。

4、处理特殊情况：如果除到被除数的末尾仍有余数，则需在余数后面添0（即继续细分为更小的计数单位）继续除，直至除尽（或根据题目要求保留小数位数）。

（二）商的小数点定位法则

【关键操作】▲▲▲商的小数点定位是本节最核心的【高频考点】。其操作法则极其明确：商的小数点必须与被除数的小数点对齐。

【深度理解】这一法则并非人为规定，而是算理的自然呈现。例如，计算9.6÷4，我们用4除9，商2，余1个一；接着将1个一转化为10个十分之一，与十分位上的6合并成16个十分之一，再用4除，商4个十分之一。因此，商是由“2个一”和“4个十分之一”组成，写作2.4。小数点正是为了区分整数部分与小数部分而存在的，它必然位于个位和十分位之间，与被除数的小数点位置遥相呼应。

三、不同情况的分类解析与应对策略

（一）被除数整数部分够除的情况

【示例】22.4÷4=5.6

【解题步骤】

1、先用4除被除数的整数部分22，商5，余2。

2、将商5写在个位，点上小数点（与被除数小数点对齐）。

3、将余数2个一转化为20个十分之一，与十分位上的4合并成24个十分之一。

4、用4除24个十分之一，商6个十分之一，写在十分位上。

5、检查余数为0，计算完成。

【考点】重点考查整数部分除完后余数的处理，以及商的小数点是否对齐。

（二）被除数整数部分不够除的情况

【示例】1.26÷3=0.42

【解题步骤】

1、整数部分1比除数3小，不够商1。此时，商的整数部分必须用0占位。

2、在整数部分商0之后，点上小数点（与被除数小数点对齐）。

3、将整数部分的1个一与十分位上的2合并，看作12个十分之一。

4、用3除12个十分之一，商4个十分之一，写在十分位上。

5、余数为0？实际余数为0，但计算还未结束。我们将百分位上的6落下来（视为6个百分之一）。

6、用3除6个百分之一，商2个百分之一，写在百分位上。余数为0，计算完成。

【易错警示】▲▲▲【高频考点】学生极易忘记整数部分不够除时，要在个位商0占位。这个0起到了“位置持有者”的作用，缺失它将导致整个数位顺序错乱，使商的值扩大10倍、100倍。例如，将0.42错算成4.2。

（三）除到被除数末尾仍有余数，需要添0继续除的情况

【示例】12.6÷5=2.52

【解题步骤】

1、先用5除12，商2，余2。点上小数点。

2、将余数2个一转化为20个十分之一，与十分位上的6合并成26个十分之一。

3、用5除26个十分之一，商5个十分之一，余1个十分之一。

4、此时，被除数的十分位已除尽，但仍有余数1。在余数1后面添0（表示将1个十分之一细分为10个百分之一），继续除。

5、用5除10个百分之一，商2个百分之一，写在百分位上。余数为0。

【原理阐述】这一步是“细分单位”思想的极致体现。当所有数位都除过后，余数仍然存在，意味着我们还可以将这个余数细分为更小的计数单位，继续进行均分，直到余数为0或达到题目要求的精度。添0的过程，本质上就是不断向更低位借位细分的数学化表达。

（四）被除数是整数，而除数是整数的小数除法

【示例】15÷6=2.5

【解题步骤】

1、将15看作15.0，即整数可以写成小数部分为0的小数形式。这是解题的前提。

2、按照整数除法计算，用6除15，商2，余3。

3、在商2的后面点上小数点，同时在余数3后面添0（将其视为30个十分之一），继续除。

4、用6除30个十分之一，商5个十分之一，写在十分位上。余数为0。

【考点】本题型考查了“整数可以写成小数形式”这一基本认知，以及当被除数是整数且除不尽时，如何通过添0将计算进行下去。

四、深化理解与思维进阶

（一）商不变规律在小数除法中的印证与应用

【关联知识】▲▲▲商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变）在小数除法中依然成立。虽然我们学习的是除数是整数的小数除法，但这一规律可以用于将除数是小数的除法（后续学习）转化为除数是整数的除法。

【逆向思维】在验算时，我们可以运用“商×除数=被除数”的关系，将除法运算转化为乘法运算，这既是对乘法意义的巩固，也是检验计算结果正确性的【重要方法】。

（二）估算与精算的结合

【策略提升】在精确计算之前，先进行估算，可以确定商的大致范围，有效防止计算中出现重大错误（如小数点定位错误）。

【示例】计算24.6÷4。估算：4×6=24，所以商应该比6稍大一点，大约是6点几。如果算出结果是61.5或0.615，显然与估算结果不符，需立即检查。

【重要】估算能力的培养，有助于提升数感，是检验计算合理性的第一道防线。

（三）小数除法与分数、比的初步联系

【跨学科视野】▲▲▲小数除法的计算结果，可以用分数形式表示。例如，1.2÷4=0.3，也可以写作3/10。这为后续学习分数与小数互化、分数除法埋下伏笔。同时，除法运算本身就对应着一种“比”的关系（a÷b=a:b），为六年级学习“比的认识”提供了直观的运算基础。

五、易错点全景扫描与精准打击

（一）小数点处理的三大典型错误

1、遗忘小数点：在整数部分除完后，忘记在商中点上小数点，导致商变成了整数形式，错误放大了数值。

2、小数点位置错误：没有做到“商与被除数小数点对齐”，而是将小数点随意的放在某一位之后，导致商位值混乱。

3、商中间有0时的小数点误判：例如，计算2.04÷3，正确结果是0.68。学生可能因为整数部分不够除商0后，又忘记在十分位商6时考虑0的存在，或误将商写成6.8。

（二）商中间有0的除法（非整数部分不够除）

【典型题例】4.08÷8=0.51

【易错剖析】

1、整数部分4不够除，商0，点上小数点（√）。

2、用8除40个十分之一（将4个一与十分位上的0合并），商5个十分之一（√）。

3、余数为0，将百分位上的8落下来，用8除8个百分之一，商1个百分之一（√）。正确结果0.51。

【错误形态】学生可能在十分位商5后，直接认为计算结束，得到0.5，忽略了百分位上的计算；或者忘记了十分位商5后，个位的0已经商过，再计算百分位时，误以为商的个位没有0，而写成5.1。

【核心要点】除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。即使这一位上的数是0，只要它参与运算且结果为0，也必须在该位上商0占位。

（三）余数处理不当

【易错点】对余数的“单位”认识不清。在竖式计算中，余数2在哪一位，它就表示2个该数位的单位。例如，在计算个位后的余数2，表示2个一，但下一步计算时，学生可能直接将其当作2个十分之一去与下一位合并，导致单位混乱。

【正确认知】余数必须转化为下一个更低的计数单位才能继续运算。这个“转化”过程就是“添0”或“与下一位合并”的本质。

六、考点、考向与题型全解码

（一）【基础必考】直接写得数或列竖式计算

【考查方式】通常出现在试卷的第一部分，以直接写出得数或列竖式计算的形式出现，分值约占5-8分。

【考点覆盖】主要考查基本计算法则的掌握情况，特别是商的小数点定位、整数部分不够除商0占位、除不尽时添0继续除等核心技能。

【备考策略】确保每一步操作规范、熟练，养成“一看、二想、三算、四查”的好习惯。一看题目特征，二想算理法则，三认真计算，四检查验算。

（二）【高频考点】改错题（数学医院）

【考查方式】呈现一道有典型错误的竖式计算过程，让学生找出错误并改正。

【常见错误设置】常设置的小数点位置错误（如商的小数点未对齐）、商中间漏0、余数处理不当、数位不对齐等。

【解题要点】逐位检查商的每一位是否算对，小数点位置是否正确，余数是否比除数小，落位是否正确。

（三）【重要题型】用小数除法解决实际问题

【考查方式】结合生活情境（如平均分物品、单价问题、速度问题、面积问题等），要求学生根据问题列出算式并计算。

【示例】王老师用一根3.6米长的红丝带做手工，平均分给9个小朋友，每个小朋友分到多少米？妈妈买了5千克苹果，一共花了42.5元，每千克苹果多少元？

【考点】不仅考查计算能力，更考查学生提取数学信息、分析数量关系、建立数学模型（除法模型）的能力。

【易错点】单位换算、结果是否要保留小数位数（有时题目会隐含要求，如货币单位通常保留两位小数）。

（四）【难点与拓展】探索规律与巧算

【考查方式】给出一组有规律的小数除法算式，让学生观察并发现规律，然后根据规律直接写出结果或进行简便计算。

【示例】1÷11=0.0909…，2÷11=0.1818…，3÷11=0.2727…，发现规律后直接写出8÷11的结果。

【考查能力】观察、比较、归纳、推理等高级思维能力。

（五）【综合应用】与其它知识板块的结合

1、与单位换算结合：如3.2米=（）分米，其本质就是3.2×10，也可以看作是32÷10的逆向思维。

2、与平均数问题结合：计算一组数据的平均数，其结果往往是小数，需要用到小数除法。

3、与几何图形结合：已知长方形的面积和长，求宽；或已知三角形的面积和底，求高。这些公式的逆用都涉及到小数除法。

七、解题规范与步骤精要

（一）竖式书写规范

【要点】

1、数位对齐：被除数、除号、商的位置要清晰，相同数位要对齐（尤其是商和被除数的小数点对齐，能帮助实现数位对齐）。

2、步骤完整：每一步的乘、减、落的过程都要清晰可辨。被除数每一位的落位要准确，不可跳步。

3、余数清晰：每一次相减后的余数要明确写出，且确保余数小于除数。

4、添0明确：当需要添0继续除时，要在余数后面清晰地添上0，表示单位细分的操作。

（二）验算方法

【标准方法】▲▲▲用乘法验算除法是最可靠的方法。即：商×除数=被除数。如果计算结果与被除数相等（或考虑近似数后相等），则说明计算正确。

【示例】验算12.6÷5=2.52，计算2.52×5=12.6，结果正确。

【特殊注意】当商是循环小数或近似数时，验算需考虑近似程度。

八、复习策略与思维导引

（一）构建知识网络

将本节知识置于整个“小数除法”单元的大背景下，明确其与前后知识的联系。前承整数除法、小数的意义和性质，后启除数是小数的除法、小数四则混合运算。核心是“细分单位，逐位运算”这一贯穿始终的算理。

（二）错题本的有效利用

建议将平时练习中的典型错题进行归类整理，分析错误原因（是算理不清、法则遗忘、还是计算粗心？），并针对性地进行巩固练习。对于小数点错位、商中间漏0等【高频易错点】，要反复强化，形成条件反射式的正确操作。

（三）口算与估算的常态化训练

每天坚持5-8道除数是整数的小数除法口算题（如2.4÷6，3.6÷4，0.81÷9等），提升对数字的敏感度