小学数学六年级上册“解决问题”核心素养知识清单

小学数学六年级上册“解决问题”核心素养知识清单

一、数与代数领域问题解决的总纲

（一）核心概念与基本思想

1.核心素养指向：【核心素养·关键能力】本单元“解决问题”并非孤立的知识点，而是对前期所学分数乘法、分数除法、比、百分数等核心知识的综合应用与升华。其核心在于培养模型意识，即能从现实情境中抽象出数学问题，识别其数量关系结构，并运用恰当的策略予以解决。这不仅是计算技能的考核，更是对数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的综合检验。

2.基本数量关系基石：尽管问题情境千变万化，但其根基始终是乘法、除法、比、百分数所对应的基本数量关系。例如，“求一个数的几分之几（百分之几）是多少”用乘法；“已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数”用除法（或方程）；“求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）”用除法；“求一个数比另一个数多（少）几分之几（百分之几）”其差量是基准量的几分之几。所有复杂问题都是这些基本模型的复合与变式。

3.解题策略的层级性：【解题策略·思维进阶】问题解决能力的培养遵循从直观到抽象、从特殊到一般的路径。低层次策略包括模仿、记忆公式；高层次策略则强调画图（线段图、示意图）辅助理解、寻找“单位1”、分析关键句、厘清部分与整体、已知与未知的关系，最终实现灵活迁移。本清单旨在帮助学生构建从“解对题”到“会解题”再到“善用数学”的思维阶梯。

（二）审题与分析的通法通则

1.审题三步曲：【基础·必会技能】第一步，通读全题，弄清题意，明确题目中的已知条件和所求问题，切忌断章取义。第二步，圈画关键句，特别是含有分率、百分率、比的句子，如“比……多/少几分之几”、“……是……的百分之几”、“甲与乙的比是3:2”等，这些是分析数量关系的突破口。第三步，理解关键句中每个数量的含义，明确哪个量是进行比较的“标准量”，即“单位1”。

2.寻找与确定“单位1”：【高频考点·核心技能】“单位1”通常是题目中作为参照标准、被比较的量。常见的标志词有“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量。例如，“男生人数是女生人数的4/5”，女生人数是“单位1”；“实际比计划节约了15%”，计划量是“单位1”。准确找到“单位1”是正确列式的第一步。

3.分析数量关系的“双向”思维：【重要·思维工具】在确定“单位1”后，需要判断其已知还是未知。若“单位1”已知，通常考虑用乘法（或其复合运算）求其对应量；若“单位1”未知，通常考虑用除法（或列方程）求出“单位1”。这一判断过程是连接分析与列式的桥梁。

4.画图策略的运用：【难点突破·直观模型】对于数量关系复杂、不易直接理解的问题，画线段图或示意图是化抽象为具体的最有效手段。通过图形，可以直观地呈现各部分量与总量、标准量与比较量之间的关系，揭示隐含条件，明晰解题思路。尤其是在涉及“比一个数多/少几分之几”或“量率对应”时，线段图的优势无可替代。

二、分数乘法解决问题专项梳理

（一）核心模型：求一个数的几分之几是多少

1.【基础·核心模型】这是分数乘法解决问题的基本型。数量关系式为：单位1的量×分率=分率的对应量。无论情境如何变化，只要问题本质是求一个数的几分之几，都直接套用此模型。例如，求30的2/3是多少，即30×2/3=20。

2.【高频考点】连续求一个数的几分之几是多少：问题中分率对应不同的单位“1”，需要分步计算。第一步求出第一个分率的对应量，这个量随即成为第二步中新的单位“1”。解题关键在于找准每一步的单位“1”，并依次计算。例如，一批货物100吨，第一次运走1/5，第二次运走余下的1/4，求第二次运走多少吨。第一步：余下100×(1-1/5)=80吨；第二步：第二次80×1/4=20吨。

3.【难点·易错点】求比一个数多（或少）几分之几的数是多少：这是基础模型的变式。解题时，需先明确“多（或少）的部分”占单位“1”的几分之几，然后求出这个部分量，最后用单位“1”的量加上（或减去）这个部分量。更简捷的方法是直接求出所求量对应单位“1”的分率：所求量对应的分率=1±几分之几。然后列式：单位1的量×(1±几分之几)。例如，一件上衣原价200元，涨价1/10后，现价是多少？现价对应分率为1+1/10=11/10，现价=200×11/10=220元。

4.【考查方式】此类问题通常以生活情境题出现，如购物折扣、工程进度、面积计算等。既考查对分率意义的理解，也考查计算能力。常见题型为选择题、填空题和简单的解答题。

（二）解题步骤与易错辨析

1.标准解题步骤：【规范·得分点】第一步，找准单位“1”。第二步，根据问题画出简单的线段图（草稿纸上进行）。第三步，分析所求量对应的分率。第四步，根据“单位1的量×对应分率=对应量”列出算式。第五步，准确计算，并检查结果是否符合实际，最后写上单位和答语。

2.易错点1：分率与具体量的混淆。【★重要警示】题目中出现的分数，有些表示关系（分率，不带单位），有些表示具体数量（带单位）。在列式时，必须严格区分。例如，“一根绳子长10米，用去1/2米”与“用去1/2”，前者1/2米是具体长度，用减法；后者1/2是分率，用乘法。

3.易错点2：对应关系的错位。【▲高频失分点】在“连续求一个数的几分之几”或“比一个数多/少几分之几”的问题中，所求量必须与所乘的分率严格对应。不能张冠李戴，用第一步的单位“1”去乘第二步的分率。必须确保每一步的计算对象和分率是针对当前正确的单位“1”。

三、分数除法解决问题专项梳理

（一）核心模型：已知一个数的几分之几是多少，求这个数

1.【核心·逆运算模型】这是分数乘法模型的逆运算。数量关系式同样为：单位1的量×分率=分率的对应量。当单位“1”未知，而对应量和分率已知时，求单位“1”的量，用除法：对应量÷对应分率=单位1的量。也可列方程：设单位“1”为x，则x×分率=对应量。

2.【高频考点】“量率对应”原则的应用：这是分数除法解决问题的灵魂。解题的核心在于找到题目中一个已知的具体数量，以及这个数量所对应的分率（即这个数量占单位“1”的几分之几）。用这个数量除以其对应分率，即可求出单位“1”。例如，一本书，小明看了3/5，正好是60页，这本书有多少页？这里的60页对应分率3/5，所以总页数=60÷3/5=100页。

3.【难点】已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数：这是除法模型的变式。同样需要先找到已知量及其对应的分率。已知量比单位“1”多几分之几，则它对应的分率就是(1+几分之几)；已知量比单位“1”少几分之几，则它对应的分率就是(1-几分之几)。然后用已知量除以这个对应分率。例如，一种商品现价240元，比原价降低了1/5，原价是多少？现价240元对应的分率是(1-1/5)=4/5，原价=240÷4/5=300元。

4.【热点】和倍、差倍问题的分数形式：题目中给出两个量的和（或差），以及这两个量之间的分数关系（即一个量是另一个量的几分之几）。解题时，通常将较小的量（或作为单位“1”的量）设为未知数x，用含有x的式子表示另一个量，然后根据和（或差）列方程求解。这是方程思想在分数应用题中的重要应用。

（二）方程思想与算术方法的融合

1.【重要·思维进阶】对于“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，列方程解答是顺向思维，更符合学生对数量关系的自然理解，是解决复杂分数应用题的通法。设单位“1”为x，根据“x×分率=对应量”直接列出方程。这种方法尤其适用于关系复杂的题型，能有效避免因逆向思考而产生的混淆。

2.算术方法的局限性：【易错点分析】算术方法（除法）需要精确找到“量率对应”关系，思维方向与乘法模型相反，对分析能力要求更高。当题目条件复杂，分率关系多层嵌套时，量率对应关系不易直接看出，容易出错。因此，鼓励学生掌握方程法，并能在不同问题中灵活选择最优解法。

3.【解题步骤·方程法】第一步，找准单位“1”，设为未知数x。第二步，分析数量关系，用含x的式子表示出其他相关量。第三步，根据题目中的等量关系（如“是谁的几分之几”、“比谁多/少几分之几”等）列出方程。第四步，解方程并检验作答。

4.【解题步骤·算术法】第一步，找准单位“1”（未知）。第二步，通过画图等方法，寻找已知的具体数量，并分析这个数量对应单位“1”的分率。第三步，根据“对应量÷对应分率=单位1”列式计算。第四步，检验作答。

四、比的应用解决问题专项梳理

（一）按比例分配问题

1.【基础·核心模型】按比例分配问题是比的应用中最基本的类型。其结构特征是：已知总数量和各部分量之间的比，求各部分量是多少。解题关键是先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘以这个几分之几。

2.【标准解法】例如，一种混凝土由水泥、沙子、石子按2:3:5的比例配制，需要配制20吨混凝土，各需多少吨？第一步，总份数：2+3+5=10。第二步，水泥占总量的2/10，沙子占3/10，石子占5/10。第三步，水泥：20×2/10=4吨；沙子：20×3/10=6吨；石子：20×5/10=10吨。

3.【高频考点·变式】已知一个部分量及它与另一个量的比，求总量或其他部分量。例如，配制混凝土，水泥用了4吨，已知水泥与沙子的比是2:3，求沙子用了多少吨？解法一：一份量=4÷2=2吨，沙子：2×3=6吨。解法二：设一份为x，则2x=4，解得x=2，沙子为3x=6。这种“归一法”或“设k法”是处理部分与比例关系问题的通用方法。

4.【难点·变式】已知两个量的差及它们的比，求各量。例如，甲乙两数之比为5:3，甲比乙多10，求甲乙各是多少？解法：一份量=差量÷(份数差)=10÷(5-3)=5。则甲：5×5=25，乙：5×3=15。

（二）比在几何与实际问题中的综合应用

1.【跨学科融合·几何应用】在长方形、三角形等图形问题中，已知周长或棱长总和以及长宽比（或边长比），求面积或体积。解题时需注意：给出的比是长和宽的比，但周长是两个长与两个宽的和。因此，应先求出长与宽的和（周长÷2），再按比例分配求出长和宽，最后求面积。

2.【热点·工程与行程问题中的比】在工程问题中，工作效率比一定，工作时间相同时，工作总量比等于工作效率比；工作总量相同时，工作效率与工作时间成反比。在行程问题中，速度比一定，时间相同时，路程比等于速度比；路程相同时，速度与时间成反比。理解这些关系，可以将比的知识与工程、行程问题深度融合，解决更复杂的实际问题。

3.【重要·方程思想在比例问题中的延伸】对于稍复杂的比的应用题，尤其是涉及分数、百分数混合时，设未知数并根据比例关系列方程是通用解法。例如，甲乙两校人数比为5:4，甲校转走20人到乙校后，两校人数比为9:10，求原来各校人数。此题需设原来甲校5x人，乙校4x人，根据变化后的比例关系列方程：(5x-20):(4x+20)=9:10。

五、百分数解决问题专项梳理

（一）百分数的一般应用题

1.【基础·百分数意义】百分数解决问题本质上与分数解决问题一致，只是表现形式由分数换成了百分数。其核心数量关系、解题策略完全相同。核心模型仍然是：求一个数的百分之几是多少（用乘法）；已知一个数的百分之几是多少，求这个数（用除法或方程）；求一个数是另一个数的百分之几（用除法）。

2.【高频考点】求百分率（如出勤率、发芽率、合格率、成活率等）。其通用公式为：部分量÷总数量×100%=百分率。此类问题需特别注意，计算结果必须写成百分数形式，且分母通常是“应出勤人数”、“试验种子总数”等作为标准的总数量。

3.【热点·重要】求一个数比另一个数多（或少）百分之几。这是百分数应用题中的难点和必考点。解题方法是：先求出两个数的差量，再用这个差量除以单位“1”（即被比较的量）。关键仍然是找准单位“1”。例如，5比4多百分之几？(5-4)÷4=25%；4比5少百分之几？(5-4)÷5=20%。注意，由于单位“1”不同，结果也不同。

（二）百分数在折扣、成数、税率、利率中的应用

1.【生活应用·折扣】几折表示十分之几或百分之几十。解题时，需将折扣转化为百分数。基本数量关系：原价×折扣=现价；现价÷原价=折扣；现价÷折扣=原价。其中，“便宜了多少钱”即原价-现价，或原价×(1-折扣)。

2.【生活应用·成数】几成表示十分之几，即百分之几十。例如，增产二成，即增产20%。其数量关系与“求比一个数多/少百分之几”完全相同，只需将成数转化为百分数即可。

3.【生活应用·税率】应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率叫做税率。核心公式：应纳税额=应纳税所得额×税率。解题时需分清哪个部分是需要纳税的金额。

4.【生活应用·利率】利息=本金×利率×存期。本息和=本金+利息。计算时需注意：利率通常有年利率、月利率之分，存期需与利率对应。如年利率对应存期应为多少年。

5.【综合应用·难点】将折扣、成数、纳税、利息与百分数的一般应用题结合起来，解决实际问题。例如，“买100送20”相当于打几折？此类问题需要学生深刻理解折扣的意义，并能将复杂促销活动转化为简单的百分数计算。

六、综合应用与思维拓展

（一）分数、比、百分数的互化与统一

1.【基础·工具性】在解决综合问题时，题目中可能同时出现分数、比和百分数。首要步骤是将它们转化为统一的形式（通常转化为分数或份数），以便于分析数量关系。例如，“甲数是乙数的4/5”可以转化为“甲数:乙数=4:5”，也可以转化为“甲数是乙数的80%”。

2.【高频考点】根据关系式，求两个量的连比。例如，已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，求甲:乙:丙。解题关键是利用中间量乙，找出它在两个比中的最小公倍数，将两个比化为同一乙值下的连比。这里乙在第一个比中是3份，在第二个比中是4份，最小公倍数为12，则甲:乙=2:3=8:12，乙:丙=4:5=12:15，所以甲:乙:丙=8:12:15。

3.【思维拓展】通过转化单位“1”，将复杂问题简单化。例如，甲的钱是乙的2/3，乙的钱是丙的3/4，求甲的钱是丙的几分之几？可以将乙看作桥梁，甲=(2/3)乙，乙=(3/4)丙，则甲=(2/3)×(3/4)丙=1/2丙。这种逐步代入的转化思想是解决多重复合关系问题的关键。

（二）工程问题中的分数与比

1.【核心模型·经典】工程问题中，工作总量通常看作单位“1”。工作效率=工作总量÷工作时间，即1÷工作时间。合作时间=工作总量÷工作效率和=1÷(1/甲+1/乙)。

2.【热点·合作与交替工作】不仅考查基本合作，还考查先合作后单独做，或交替工作的复杂情形。解题关键是理清各阶段的工作主体、工作时间和完成的工作量，分别求出各阶段工作量，最后相加得到总工作量“1”。

3.【难点·工资分配问题】按各人工作量的比（或工作效率的比，当工作时间相同时）来分配报酬。这需要先计算出各人完成的工作量占总工作量的几分之几（即工作量之比），然后按这个比例分配总报酬。这是工程问题与按比例分配问题的综合。

（三）行程问题中的分数与比

1.【核心关系】路程=速度×时间。当时间一定时，路程比等于速度比；当速度一定时，路程比等于时间比；当路程一定时，速度与时间成反比。

2.【热点·相遇问题中的比例】在两地相向而行的相遇问题中，时间相同，所以速度比就等于路程比。若已知两车速度比，相遇时它们所行路程的比就等于速度比。结合总路程，可以求出各自相遇时行驶的路程。

3.【难点·分数与比的综合】例如，一辆车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/4，第二小时行了余下路程的2/5，这时距离乙地还有45千米。求全程。此题需逐步分析，先求第一小时后余下的分率(1-1/4)=3/4，再求第二小时行了全程的几分之几(3/4×2/5=3/10)，最后找出剩余45千米所对应的全程分率1-1/4-3/10=9/20，全程=45÷9/20=100千米。这是典型的“量率对应”与“分步计算”的综合。

七、易错点与难点深度剖析

（一）单位“1”的误判与混淆

1.【▲第一高频易错点】在含有多个分率的题目中，未能准确辨析每个分率对应的单位“1”是不同的，导致张冠李戴，用错标准量。克服方法：养成读完题后，立即用不同符号（如圆圈、三角）分别圈出每个分率及其对应的“单位1”的习惯。

2.【★核心易错点】在“求比一个数多/少几分之几”的变式中，混淆了“多/少的部分”与“多/少之后的结果”。例如，“甲比乙多1/5”，错误地理解为甲=乙+1/5。必须明确，这个1/5是乙的1/5，是一个相对量，而非绝对量。

（二）量率对应关系的错位

1.【▲除法应用核心易错】在分数除法应用题中，拿已知的具体量去除以一个错误的分率，导致结果错误。例如，一本书，第一天看了全书的1/3，第二天看了20页，还剩40页没看。求全书页数。错误解法可能为(20+40)÷1/3，原因在于没有找到“20+40”这一具体量对应的正确分率（应为1-1/3=2/3）。

2.【难点突破】解决量率对应问题的关键在于画出完整的线段图。将全书看作单位“1”，第一天看了1/3，剩下的部分（包括第二天看的20页和最后的40页）对应的分率就是1-1/3=2/3。而这个2/3对应的具体量就是20+40=60页。由此，全书=60÷2/3=90页。

（三）对“分率”与“具体量”的感知模糊

1.【基础易错】题目中出现多个分数时，不能清晰区分哪些是分率（表示比例关系），哪些是具体量（表示实际数量）。例如，“一根钢管，第一次用去全长的1/4，第二次用去1/4米”，这里的两个1/4意义完全不同。前者是分率，后者是具体长度。

2.【应对策略】在审题时，凡是分数后面带有单位名称的（如米、千克、吨），都是具体量，可以直接参与加减乘除运算；凡是不带单位的，都是分率，需要找到它的单位“1”才能转化为具体量。

（四）按比例分配中的忽略条件

1.【▲几何题易错】在已知长方形周长和长宽比，求面积的问题中，常见的错误是直接用周长乘以各部分占的份数，得出长和宽。忽略了周长是（长+宽）×2这一几何性质。必须先求出“长+宽”的和。

2.【综合题易错】在需要设未知数解决的复杂比例问题中，设了未知数后，未能根据变化后的关系列出正确的比例方程，或者在解比例方程时出错。

八、常见题型与考查方式全景扫描

（一）基础填空题与选择题

1.直接考查基本数量关系。如：“20米的3/5是（）米”、“（）吨的1/4是15吨”。

2.考查单位“1”的识别与分率的意义。如：“男生比女生多1/5，是把（）看作单位1，男生相当于女生的（）”。

3.考查百分率、折扣、利率、成数的基本概念与简单计算。如：“一件商品打八折出售，就是按原价的（）%出售。”

4.考查比的基本性质和简单按比例分配。如：“一个三角形三个内角的度数比是2:3:4，这个三角形是（）三角形。”

（二）计算题中的“看图列式”

1.【高频考查形式】给出线段图或实物图，要求学生根据图中的数量关系列出算式并计算。这种题型直观地考查了学生从图形中抽象出“量率对应”关系的能力。

2.图通常分为几类：一是直接给出单位“1”和部分量分率，求部分量（乘法型）；二是给出部分量和其对应分率，求单位“1”（除法型）；三是给出两个量的和或差以及它们与单位“1”的关系（综合型）。

（三）生活情境解答题

1.【核心考查方式】这是“解决问题”单元的主体。题目设置贴近学生生活的真实情境，如购物、旅游、储蓄、绿化、工程、行程等。

2.分数与百分数情境：例如，“学校食堂运来一批蔬菜，其中黄瓜120千克，土豆比黄瓜多1/4，土豆有多少千克？”；“某工厂五月份用水600吨，比四月份节约了20%，四月份用水多少吨？”

3.比的情境：例如，“学校把栽280棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班有45人，二班有47人，三班有48人，三个班各应栽树多少棵？”

4.百分数综合情境：例如，“李叔叔把10000元存入银行，定期三年，年利率是3.25%，到期后，他能从银行取回本金和利息共多少元？”

（四）稍复杂的复合型应用题

1.【区分度题·压轴题】题目中融合了两个或两个以上的知识点，需要学生具备较强的综合分析能力和逻辑推理能力。

2.分数除法与比的综合：例如，“一批零件，已经加工了总数的3/8，如果再加工30个，那么已加工的与未加工的零件个数比是2:3。这批零件共有多少个？”此题需将30个零件所对应的分率找到，即2/(2+3)-3/8=1/40，然后做除法。

3.工程问题与行程问题的结合：例如，“一段路，甲队单独修要10天，乙队单独修要15天。两队合修几天后，乙队因事离开，剩下的由甲队单独修了3天才完成。两队合修了多少天？”

4.含有两个未知量的方程组思想问题：例如，“甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，相遇时，甲车行了全程的3/5。已知甲车行完全程要6小时，乙车每小时行50千米。A、B两地相距多少千米？”此题需综合运用分数、比、行程三方面知识。

九、终极复习策略与解题习惯养成

（一）建立“问题类型”的图式

1.【高效复习法】引导学生对做过的题目进行归类，总结出每一类问题的标准模型（如“标准量×分率”、“量率对应求单位1”、“按比