初中数学九年级下册垂径定理专题复习知识清单

初中数学九年级下册垂径定理专题复习知识清单

一、定理源起与核心本质

（一）圆的轴对称性【基础】

垂径定理的根基在于圆的旋转对称性之外的另一种重要性质——轴对称性。任何一个圆，其任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。这一定理由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次进行了严谨的论证，但其应用甚至可以追溯至古巴比伦时期的数学泥板【引用4】。理解圆的轴对称性是探究垂径定理的逻辑起点。

（二）定理的核心表述【非常重要】【高频考点】

垂径定理的文字语言表述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

在鲁教版五四制教材中，其符号语言（几何语言）表述如下：

如图，在⊙O中，若直径CD⊥弦AB于点E，则：

1.AE=BE（平分弦）

2.弧AD=弧BD（平分弦所对的一条弧——优弧）

3.弧AC=弧BC（平分弦所对的另一条弧——劣弧）【引用1】【引用4】

（三）定理的逻辑证明【方法】

证明该定理通常有三种典型思路，均体现了平面几何的严谨性：

1.全等三角形法：连接OA、OB，构成Rt△OAE和Rt△OBE，利用HL（斜边与直角边）定理证明全等，从而得到AE=BE，再根据圆的对称性可得弧相等【引用4】。

2.等腰三角形性质法：利用OA=OB，即△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，由“高”直接得到“中线”，从而证明点E是AB的中点【引用4】。

3.对称性法：直接利用圆的轴对称性，将图形沿直径CD折叠，通过观察弦AB两侧部分完全重合来证明线段和弧的相等关系【引用4】。

二、定理的推论与深度拓展（“知二推三”）【难点】

垂径定理本身包含五个核心元素：①过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。这五个条件中，任意满足其中两个，就可以推导出其余三个结论，这一规律被称之为“知二推三”。【引用4】

（一）推论一：平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧【重要】

这是垂径定理最常用的逆命题。需要特别强调的是，被平分的弦不能是直径。如果弦是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定垂直。

1.符号语言：在⊙O中，若直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥AB，且弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。【引用1】【引用6】

（二）推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

这一定理为解决“找圆心”类问题提供了理论依据。任意一条弦的垂直平分线，必然穿过圆心。在实际应用中，只需作出圆上任意两条不平行的弦的垂直平分线，其交点即为圆心。【引用4】

（三）推论三：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

该推论在涉及弧的中点的题目中应用广泛。当题目中出现“弧的中点”这一条件时，通常需要连接圆心与弧的中点，这条连线（或延长线）即具备直径的性质，必垂直平分该弧所对应的弦。

（四）推论四：圆的两条平行弦所夹的弧相等【拓展】【基础】

这是垂径定理的另一个重要推广。如图，在⊙O中，若弦AB∥弦CD，则弧AC=弧BD。证明此推论通常需要过圆心作弦的垂线，利用垂径定理进行等量代换。【引用4】【引用6】

三、核心数学模型与解题通法

（一）经典“黄金三角形”模型【非常重要】

在垂径定理的应用中，最核心的几何模型是由“半径（R）”、“半弦（a/2）”、“弦心距（d）”构成的直角三角形。

1.关系式：R

2

=

d

2

+

(

a

2

)

2

R^2=d^2+(\frac{a}{2})^2

R2=d2+(2a​)2

这个关系式将圆的问题与勾股定理紧密结合起来，是解决所有计算类问题的根基。【引用1】【引用5】

（二）与弓形高的关系【拓展】

若已知弓形的高h（即弧的中点到弦的距离），则弦心距d与半径R、弓形高h之间存在关系：d

=

R

−

h

d=R-h

d=R−h（当弦与圆心的位置关系是圆心在弓形高内部时，即劣弧情况）或d

=

h

−

R

d=h-R

d=h−R（当圆心在弓形高外部时，即优弧情况）。通常，对于一般的拱桥问题，我们取d

=

R

−

h

d=R-h

d=R−h。【引用1】

（三）通用解题步骤（六步法）【考向】【方法】

1.第一步：寻径连心——过圆心作弦的垂线（或作半径）。这是最核心的辅助线，俗称为“垂径”。

2.第二步：构造Rt△——连接圆心与弦的一个端点（半径）。此时，半径（R）、半弦（a/2）、弦心距（d）共同构成一个直角三角形。

3.第三步：标记已知——将题目中所有的已知长度（如弦长、半径、弦心距、弓形高）标记在图上【引用3】。

4.第四步：设元列式——根据勾股定理R

2

=

d

2

+

(

a

/

2

)

2

R^2=d^2+(a/2)^2

R2=d2+(a/2)2列出方程。若未知量较多，通常设半径为未知数x，然后用含x的代数式表示弦心距d【引用3】。

5.第五步：求解方程——解出所列方程，注意根据实际情况舍去负根。

6.第六步：检验作答——检验结果是否符合题意（如长度为正数），并规范作答。

四、常见题型分类与考向分析

（一）基础计算类【高频考点】【基础】

1.求半径：已知弦长和弦心距，求半径。

1.2.例：⊙O的半径为10cm，弦AB的长为12cm，则弦心距为多少？【引用7】

3.求弦长：已知半径和弦心距，求弦长。

1.4.例：在⊙O中，圆心到弦AB的距离为5cm，⊙O的半径为13cm，则弦AB的长为多少？【引用5】

5.求弦心距：已知半径和弦长，求弦心距。

1.6.例：水平放置的圆柱形排水管的截面半径为0.6m，水面宽0.8m，则水的最大深度为多少？

（二）分类讨论类【难点】【易错点】

由于圆是轴对称图形，点的位置不确定往往导致多解情况。

1.弦与圆心的位置关系：已知AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB=6，CD=8，⊙O的半径为5，求AB与CD间的距离。

1.2.易错分析

：需要考虑两条平行弦位于圆心同侧和位于圆心异侧两种情况。若考虑不周，则会漏解。

3.弓形的高：已知半径为5的圆内有一条弦AB=8，求这条弦所对的弓形的高。

1.4.易错分析

：需要分情况讨论弓形是劣弧弓形还是优弧弓形。劣弧弓形的高为R

−

d

R-d

R−d，优弧弓形的高为R

+

d

R+d

R+d。

5.点在弧上的位置：圆内接三角形或四边形问题中，点的位置不同，图形不同。

（三）实际应用类【热点】【非常重要】

垂径定理在实际生活中应用广泛，主要解决桥梁、隧道、油罐、涵洞等工程问题。【引用1】【引用6】

1.赵州桥问题（经典）：

1.2.题干：1300多年前我国隋代建造的石拱桥，主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦长AB）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为7.2m，求主桥拱的半径。

2.3.解题思路：设半径为R，在Rt△OAD中，O

A

2

=

A

D

2

+

O

D

2

OA^2=AD^2+OD^2

OA2=AD2+OD2，即R

2

=

(

37.4

2

)

2

+

(

R

−

7.2

)

2

R^2=(\frac{37.4}{2})^2+(R-7.2)^2

R2=(237.4​)2+(R−7.2)2。解得R≈27.9m。【引用1】

4.“圆材埋壁”问题（《九章算术》）：

1.5.题干：今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？

2.6.翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺（10寸），求直径CD的长。

3.7.解题思路：设半径为r，则OE=r-1，AE=5，由r

2

=

(

r

−

1

)

2

+

5

2

r^2=(r-1)^2+5^2

r2=(r−1)2+52解得r=13，故直径CD=26寸。【引用1】【引用6】

8.轮船过桥问题：

1.9.问题模型：判断船只是否能通过圆弧形拱桥。

2.10.解题关键：将船宽的一半作为弦长（或半弦长），计算该弦所对应的弦心距（或弓形高），与船的实际高度进行比较。

（四）坐标系中的垂径定理【考向】

在平面直角坐标系中，垂径定理常与点的坐标结合考查。【引用7】

1.思路：利用垂径定理求出弦心距或弦长，进而转化为点的坐标。

2.例：在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，n）和原点O，过P作PB⊥AO交y轴于点C，结合勾股定理求解。

（五）同心圆与垂径定理【基础】

1.模型：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。

2.结论：AC=BD。【引用1】【引用5】

3.证明方法：过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理得AE=BE，CE=DE，从而推出AC=BD。

五、易错点深度剖析与避坑指南【非常重要】

（一）忽略隐含条件“不是直径”

在应用推论“平分弦的直径垂直于弦”时，极易忘记检查被平分的弦是否为直径。若弦为直径，结论不一定成立。这是选择题和判断题中常见的陷阱。

（二）辅助线添加错误或不全

很多同学在题目没有直接给出直径时，不知道如何下手。规范做法是：“过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点”。这两条辅助线缺一不可，前者给出弦心距，后者给出半径。

（三）计算中的符号与平方错误

在解方程R

2

=

d

2

+

(

a

2

)

2

R^2=d^2+(\frac{a}{2})^2

R2=d2+(2a​)2时，务必分清谁是斜边。半径R永远是直角三角形的斜边，因此平方和关系绝不能写错为d

2

=

R

2

+

(

a

2

)

2

d^2=R^2+(\frac{a}{2})^2

d2=R2+(2a​)2等形式。

（四）分类讨论意识的缺失

当题目中出现“两条平行弦”、“弓形的高”、“圆内一点到弦的距离”等模糊性条件时，要立即警觉是否需要分“同侧”和“异侧”两种情况讨论。

（五）实际应用中的单位换算

在解决“圆材埋壁”等古代数学问题或实际工程问题时，注意单位是否统一。如“一尺”等于“十寸”，计算时必须换算为同一单位。【引用1】

六、跨学科视野与高阶思维拓展【专家视角】

（一）物理学中的垂径定理

在匀速圆周运动中，向心力的方向始终指向圆心。若以物体在某一点的瞬时速度方向（切向）为“弦”的方向，那么向心力（指向圆心）恰好垂直于该时刻的运动趋势。这种“垂直”关系正是垂径定理在动力学中的一种映射。

（二）圆锥曲线中的推广（点差法）【拓展】

垂径定理不仅仅存在于圆中，在椭圆和双曲线中，也有类似的性质，这一般在高中数学中会深入学习。

1.椭圆中的推广：对于椭圆x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

a2x2​+b2y2​=1，弦AB的中点为M，则直线OM与AB的斜率之积为定值−

b

2

a

2

-\frac{b^2}{a^2}

−a2b2​。当a

=

b

a=b

a=b时，椭圆变圆，斜率之积为-1，即OM⊥AB，这与圆的垂径定理（直径垂直于弦）完美统一。【引用4】

2.证明方法：通过“点差法”——设出弦两端点坐标，代入椭圆方程后作差，利用平方差公式进行因式分解，从而得到斜率关系。【引用4】

（三）工程美学与古代智慧

垂径定理的应用体现了中国古代数学“经世致用”的特点。从隋朝李春设计的赵州桥（圆弧拱）到宋代的《营造法式》，古人利用“矢高”（即拱高）和“跨长”（即弦长）来确定圆弧半径的方法，本质就是垂径定理与勾股定理的完美结合。这不仅是一个数学定理，更是中国古代工匠智慧的结晶。【引用1】【引用9】

七、思维导图与复习策略

（一）知识体系建构

1.一条主线：圆的轴对称性→垂径定理→知二推三→应用。

2.两种思想：数形结合思想（勾股+几何）、分类讨论思想。

3.三个量：半径（R）、半弦（a/2）、弦心距（d）的勾股关系。

4.四类图形：基本Rt△、同心圆图、平行弦图、实际应用图。

（二）复习建议

1.基础薄弱者：重点掌握“黄金三角形”的勾股计算，做到