小学五年级数学下册《长方体和正方体》总复习知识清单

小学五年级数学下册《长方体和正方体》总复习知识清单

一、核心概念体系与基础特征辨析

本部分作为整个单元的基石，要求学生必须达到准确记忆、理解本质并能进行图文转换的水平。

【基础】【必考点】

（一）立体图形的要素认识

顶点：棱和棱的交点。长方体共有8个顶点。【基础】

棱：面和面相交的线段。长方体共有12条棱。根据方向的不同，可分为三组，即长、宽、高。【基础】

面：包围着立体的平面部分。长方体共有6个面。【基础】

（二）长方体的特征详解

面：6个面都是长方形（在特殊情况下，即当有两个相对的面是正方形时，其余四个面是大小完全相同的长方形）。相对的两个面完全相同，即面积相等、形状相同。【基础】

棱：相对的棱长度相等。12条棱分为三组，每组4条，分别对应长方体的长、宽、高。【基础】

顶点：8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。【基础】

（三）正方体的特征详解

面：6个面都是完全相同的正方形，面积都相等。【基础】

棱：12条棱的长度都相等。【基础】

顶点：8个顶点。

（四）长方体与正方体的关系

【重要】【高频考点】

正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。因此，正方体是一种特殊的长方体。在选择题和判断题中，常用此关系设置陷阱，如“长方体不是正方体”是错误的，因为正方体是长方体的一种。

（五）长、正方体的棱长总和计算

【基础】【运算必会】

长方体的棱长总和：公式为C长=4×(a+b+h)，其中a为长，b为宽，h为高。推导依据为4条长、4条宽、4条高的长度和。逆向应用：已知棱长总和与其中两个量，求第三个量。解题步骤为先用棱长总和除以4，得到一组长宽高的和，再减去已知的两项。

正方体的棱长总和：公式为C正=12×a，其中a为棱长。逆向应用：已知棱长总和求棱长，直接用总和除以12。

二、表面积计算原理与生活化应用

【重点】【难点】【高频考点】

（一）表面积的定义

长方体或正方体六个面的总面积，叫做它的表面积。【基础】

（二）长方体表面积公式推导与计算

标准公式：S长=2×(a×b+a×h+b×h)。这是由于长方体有三组相对的面，每组面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高。【重要】

变形公式：S长=2ab+2ah+2bh。

（三）正方体表面积公式

标准公式：S正=6×a²。因为正方体六个面的面积相等，都是棱长的平方。【基础】

（四）【难点】实际应用中的“面数”分析

在解决实际问题时，不能机械套用公式，必须根据生活经验判断需要计算哪几个面的总面积。

【易错点】无盖/无底问题：如制作鱼缸、游泳池、抽屉等，只需求五个面的总面积。解题要点：少算一个上面（或下面）的面积。常用解法为S=ab+2ah+2bh。

【易错点】通风管/烟囱问题：此类物体只求四个侧面的总面积，没有上、下两个底面。解题要点：S=2×(a×h+b×h)或底面周长×高。

【易错点】拼切问题：将两个长方体拼成一个大长方体，表面积减少两个拼合面的面积；将一个大长方体切成两个小长方体，表面积增加两个切开面的面积。【难点】【高频考点】

【易错点】刷墙/贴瓷砖问题：需注意扣除门窗、地板等不需要刷的面积。

三、体积与容积的概念、单位及换算

（一）体积与容积的本质区别

【基础】【易混点】

体积：物体所占空间的大小。【重要】度量的是物体外部占用的空间。

容积：容器所能容纳物体的体积。【重要】度量的是物体内部空余部分的大小。一个物体（如木箱）有体积，也有容积。但当容器壁很薄时，我们通常忽略厚度，认为体积和容积数值相等，但概念绝不能混淆。判断题常考“体积就是容积”是错误说法。

（二）常用的计量单位与进率

【基础】【必考换算】

长度单位：厘米（cm）、分米（dm）、米（m）。相邻单位进率：10。

面积单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）。相邻单位进率：100。

体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。相邻单位进率：1000。【重要】

容积单位：升（L）、毫升（mL）。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。1升=1000毫升。【重要】

（三）单位换算方法

【运算必会】【易错点】

高级单位（大）→低级单位（小）：乘以进率。例如：2.5m³=(2.5×1000)dm³=2500dm³。

低级单位（小）→高级单位（大）：除以进率。例如：4500mL=(4500÷1000)L=4.5L。

特别提醒：区分相邻单位进率（面积100，体积1000）是考试失分的高发地带。

四、体积计算的核心公式与推导逻辑

（一）长方体体积公式

基本公式：V长=a×b×h。即用长方体的长、宽、高相乘。【基础】

推导过程：体积单位的累加。即看长、宽、高各包含多少个相应的长度单位，从而计算出包含多少个体积单位。

（二）正方体体积公式

基本公式：V正=a³=a×a×a。读作a的立方，表示3个a相乘。【基础】

（三）统一公式

【重要】V=S底×h。此公式适用于一切直柱体（包括长方体和正方体）。已知底面积和高，即可求出体积。这是连接二维与三维空间的关键桥梁。【热点】

（四）容积的计算方法

计算方法与体积相同，也是长×宽×高，但数据要从容器内部测量。【易错点】题目若给外部尺寸且有厚度，计算容积必须减去厚度。

五、高阶思维与经典题型深度解析

【拓展】【难点】【压轴题】

（一）“等积变形”问题

【高频考点】【热点】

原理：物体形状改变，但体积保持不变。

常见题型：

锻造问题：将正方体钢坯锻造成长方体钢材。解题步骤：先求出正方体体积（即钢材体积），再根据长方体体积和已知的长、宽，反求高（或根据已知的长、高求宽）。公式变形：h=V÷a÷b。

水位上升/下降问题（排水法）：【非常重要】

基础模型：在装有水的容器中放入不规则物体（完全浸没），水位上升。不规则物体的体积=容器的底面积×水面上升的高度。即V=S底×Δh。

进阶模型：若物体取出，水位下降，物体体积=底面积×水面下降的高度。

溢出问题：当物体放入盛满水的容器中，溢出的水的体积等于物体的体积。【易错点】若容器未满，先考虑上升再考虑溢出，需分步计算。

（二）“拼合与切割”问题

【难点】

切割：把一个长方体切成若干个小长方体（或正方体），表面积增加，增加的面积是切面的两倍。切几刀，增加几个面？切一刀增加2个面。

拼合：把若干个小正方体拼成一个大长方体，表面积减少，减少的面积是拼合面的两倍。

顶点处挖去小正方体：在一个大正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩余部分的表面积不变（因为挖掉的面用露出的三个面补齐了）。【经典题型】

（三）“表面积与体积变化规律”问题

正方体棱长扩大n倍：

棱长总和扩大n倍。

表面积扩大n²倍（因为面积是棱长×棱长）。

体积扩大n³倍（因为体积是棱长×棱长×棱长）。

【重要】【高频考点】此规律在填空和选择题中命中率极高。

（四）展开图与空间想象

【基础】【空间观念】

能够识别哪些平面图形可以折叠成长方体或正方体。掌握“141型”、“231型”、“33型”、“222型”等正方体展开图的特点，并能判断相对面。解题技巧：同行或同列隔一个相对；“Z”字型两端相对。

（五）不规则物体体积测量

【拓展】【实践应用】

方法一：排水法（如上所述）。注意点：物体要完全浸没，且不与水反应或吸水。

方法二：溢水法。利用溢水杯，测量溢出水的体积。

方法三：等积替换。将不规则物体转化成规则形状（如捏成规则的橡皮泥）。

六、常见题型及解题步骤规范

（一）基础计算题

步骤：①统一单位（若单位不统一）；②确定求什么（棱长和？面积？体积？）；③选择正确公式；④代入数据（注意a³要写成连乘形式）；⑤检查单位并写答语。

（二）生活应用题

步骤：①审题，圈出关键