人教版七年级上册数学《第五章 一元一次方程》复习知识清单：实际问题与一元一次方程（第1课时 基础模型与核心题型）

人教版七年级上册数学《第五章一元一次方程》复习知识清单：实际问题与一元一次方程（第1课时基础模型与核心题型）

引言：建模思想的起点

本清单围绕“实际问题与一元一次方程”展开，旨在系统梳理从现实情境中抽象出方程模型的全过程。我们不仅关注“如何解”，更关注“如何列”。这不仅是本章的核心，更是整个初中数学“建模”思想的基石。以下内容将涵盖从审题到作答的完整闭环，并对各类基础模型进行深度剖析。

一、核心概念与解题通法（【基础】、【必考】）

（一）一元一次方程应用题的基本结构

方程是刻画现实世界中等量关系的“天平”。列方程解应用题，本质上就是找到描述实际问题中各类数量之间平衡关系的语句，并用数学符号将其翻译出来。

（二）六步解题流程详解（【解题步骤】）

这是解决所有方程应用题的通用程序，必须形成条件反射：

1、审题（关键）：通读全题，圈出所有已知数据（如数量、速度、单价、人数等）和未知量，特别关注表示等量关系的关键词，如“等于”、“比……多/少”、“是……的几倍”、“共”、“提前/迟到”、“配套”、“获利/亏损”等。【重要】

2、设元（基础）：设未知数。

1.直接设元法：大多数情况，题目求什么就设什么为未知数x

x

x。

2.间接设元法：当直接设所求量导致方程难以列写时，可选择设一个与所求量密切相关的中间量为x

x

x。例如，在配套问题中，常设生产某种配件的工人人数为x

x

x。

3.注意：设未知数时必须写清单位名称。

3、列式（核心）：这是最关键也最困难的一步。用含未知数的代数式表示出题目中涉及的各个量，然后根据第1步中找到的等量关系，将这些代数式用等号连接，构成方程。

4、求解（技能）：运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，熟练求出方程的解。此过程要求准确无误，避免计算失分。【基础】

5、检验（严谨）：双重检验。一要检验解是否是原方程的解，二要检验解是否符合实际意义（例如，人数必须是正整数，长度、时间必须是正数等）。不符合实际意义的解必须舍去。

6、作答（规范）：完整写出答案，包括单位，且语句要通顺，与题目所问对应。

二、基础题型分类精析与考点突破

（一）和差倍分问题【基础】、【高频考点】

1.数量关系：这类问题通常围绕“总和”、“差”、“倍数”展开。关键是要找准“1倍数”或标准量。

2.等量关系：通常表述为：已知两量的和（或差）与倍数关系，求各量。例如：甲量+乙量=总量；甲量=倍数×乙量。

3.常见考向：年龄问题（年龄差不变）、比例分配问题、数字问题（两位数或三位数的表示方法）。

4.典型例题模型：

1.5.年龄问题：“今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后父亲的年龄是儿子的2.5倍，求父子今年各多少岁？”设儿子今年x

x

x岁，利用“5年后”的年龄关系列方程：3

x

+

5

=

2.5

(

x

+

5

)

3x+5=2.5(x+5)

3x+5=2.5(x+5)。

2.6.数字问题：“一个两位数，十位数字比个位数字大3，将十位与个位数字对调后，所得新数比原数小27，求原数。”设个位数字为x

x

x，则原数为10

(

x

+

3

)

+

x

10(x+3)+x

10(x+3)+x，新数为10

x

+

(

x

+

3

)

10x+(x+3)

10x+(x+3)，根据“新数=原数-27”列方程。【易错点：准确表示两位数】

（二）配套问题【重要】、【难点】、【高频考点】

1.问题特征：题目中存在若干种零件，它们需要按固定比例组合成一件完整的产品。

2.核心等量关系（【解答要点】）：配套问题的核心是“总量比=单套内数量比”。常见的两种列式思路：

1.3.倍数关系法：若m

m

m个A零件与n

n

n个B零件配成一套，则A零件的总量×n=B零件的总量×m。这是最通用、最稳妥的列式方法。【非常重要】

2.4.套数相等法：用A零件总量除以每套所需A的数量，所得的套数等于用B零件总量除以每套所需B的数量所得的套数。即A总量

m

=

B总量

n

\frac{\{A总量}}{m}=\frac{\{B总量}}{n}

mA总量​=nB总量​。

5.典型考向：人员分配配套（如生产螺栓和螺母）、材料分配配套（如木材做桌面和桌腿）、部件组装配套（如仪器A部件和B部件）。

6.易错点分析：

1、比例混淆：比如“1个螺栓配2个螺母”，容易错误地列成“螺栓数=螺母数”。必须牢记：螺母数=2×螺栓数，或螺栓数:螺母数=1:2。

2、忘记乘以系数：在使用倍数关系法时，容易漏掉另一边的系数。如上述例子，应列方程为：2

×

螺栓数

=

1

×

螺母数

2\times\{螺栓数}=1\times\{螺母数}

2×螺栓数=1×螺母数。

7.【解题步骤】示例：

1.8.题目：某车间有22名工人，每人每天生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉配2个螺母。为使每天产品配套，应分配多少名工人生产螺钉？

2.9.设元：设分配x

x

x名工人生产螺钉，则生产螺母的工人为(

22

−

x

)

(22-x)

(22−x)名。

3.10.列式：螺钉总数：1200

x

1200x

1200x；螺母总数：2000

(

22

−

x

)

2000(22-x)

2000(22−x)。

4.11.依据关系：螺母总数=2×螺钉总数。

5.12.方程：2000

(

22

−

x

)

=

2

×

1200

x

2000(22-x)=2\times1200x

2000(22−x)=2×1200x。

（三）工程问题【重要】、【高频考点】

1.基本量及关系：工作量=工作效率×工作时间。【非常重要】

2.常见处理方法：

1、当工作总量未知时（绝大多数情况），常设工作总量为“1”。此时，工作效率=1

单独完成时间

\frac{1}{\{单独完成时间}}

单独完成时间1​。【基础】

2、当工作总量已知时（如修一段已知长度的路），则直接使用具体数值。

3.等量关系：各部分工作量之和=总工作量（通常为1）。

4.考向分类：

1.5.合作问题：总效率=甲效率+乙效率。工作量=(甲效率+乙效率)×合作时间。

2.6.先做后做问题（接力）：甲先做工作量+乙后做工作量=1。或者甲做a

a

a天工作量+乙做b

b

b天工作量=1。

3.7.整理数据问题：人均效率×人数×时间=工作量。

8.易错点：时间单位必须统一。如出现“分钟”和“小时”，需先换算。

9.【解题步骤】示例：

1.10.题目：一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需20天完成。若甲先做3天，然后甲乙合作，问还需几天完成？

2.11.设元：设还需x

x

x天完成。

3.12.列式：甲的工作效率：1

15

\frac{1}{15}

151​；乙的工作效率：1

20

\frac{1}{20}

201​。

4.13.分析过程：甲先做3天的工作量：1

15

×

3

\frac{1}{15}\times3

151​×3；甲乙合作x

x

x天的工作量：(

1

15

+

1

20

)

x

(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})x

(151​+201​)x。

5.14.等量关系：甲先做工作量+合作工作量=1。

6.15.方程：3

15

+

(

1

15

+

1

20

)

x

=

1

\frac{3}{15}+(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})x=1

153​+(151​+201​)x=1。

（四）行程问题【难点】、【热点】

1.基本量及关系：路程=速度×时间。【非常重要】

2.核心模型与等量关系：

1、相遇问题（相向而行）：

*等量关系：甲路程+乙路程=总路程。

*同时出发：时间相等。

2、追及问题（同向而行）：

*同时不同地：快者路程=慢者路程+初始距离。

*同地不同时：快者路程=慢者路程（先走的人走的总路程）。

*等量关系：时间差或路程差是解题关键。

3、航行/飞行问题：

*顺水（风）速度=静水（无风）速度+水（风）速

*逆水（风）速度=静水（无风）速度-水（风）速

*等量关系：往返于两地之间，则顺流路程=逆流路程。

3.辅助工具：画“线段图”是解决行程问题最直观、最有效的方法，能清晰展示运动过程和数量关系。【解答要点】

4.常见考向：公路上的相遇与追及、火车过桥/过隧道问题（需考虑火车长度）、环形跑道问题（首次相遇：合走一圈；追及：快比慢多走一圈）。

5.易错点：单位换算（如km/h与m/s）；对“相距”一词的理解要分情况讨论（相遇前或相遇后）。

（五）销售问题【热点】、【实际应用】

1.核心概念与关系式（【非常重要】）：

1、利润=售价-进价（成本）。

2、利润率=利润

进价

×

100

%

\frac{\{利润}}{\{进价}}\times100\%

进价利润​×100%。

3、售价=标价×打折数（如打x

x

x折，则售价=标价×x

10

\frac{x}{10}

10x​）。

4、售价=进价×(1+利润率)。

2.等量关系：通常围绕“利润”或“利润率”构建方程。

3.考向分析：

1.4.求进价/标价：根据“利润=售价-进价”或“利润率=(售价-进价)/进价”列方程。

2.5.求折扣：设打x

x

x折，则售价=标价×x

10

\frac{x}{10}

10x​，再代入利润公式求解。

3.6.盈亏判断：计算总利润与总进价的比较。

7.易错点：

1、打折概念不清：“打八折”是乘以8

10

\frac{8}{10}

108​或0.8，而不是乘以8。

2、利润率基数混淆：利润率是相对于进价而言的，不是相对于售价。

3、多件商品问题：注意区分“单件利润”和“总利润”。

（六）方案选择与分段计费问题【难点】、【综合应用】

1.问题特征：对于同一问题，存在两种或多种不同的处理方案（如不同的付费方式、不同的购买套餐），需要根据具体情况选择最优方案。

2.解题策略（【解题步骤】）：

1、计算临界点（方案无差别点）：设未知数，令两种方案的最终花费（或结果）相等，解出此时对应的变量值（如用水量、通话时间、购物金额等）。

2、分类讨论：以临界点为界，分情况讨论。

*当变量小于临界值时，分别计算两种方案的结果进行比较。

*当变量大于临界值时，同样计算比较。

*（有时也需考虑等于临界值的情况）。

3、验证实际：在分段计费问题中，求出的解必须落在所假设的取值范围内，否则要舍去或重新假设。

3.典型模型：

1.4.阶梯水价/电价：不同用量段单价不同。

2.5.通讯套餐：月租费与通话费的组合。

3.6.租车/租船问题：哪种方式更省钱。

4.7.购物优惠：“买一送一”、“满减”、“打折”等不同优惠方式的比较。

三、跨学科视野拓展与思想方法提炼

1.与语文学科的融合：列方程的过程就是“语文翻译数学”的过程。能否准确地将题目中的自然语言（特别是表示数量关系的陈述句）转化为数学符号语言，是解题成败的前提。例如，“甲比乙的2倍少3”应翻译为“甲=2×乙-3”。

2.与物理学科的融合：行程问题、航行问题中的速度、时间、路程关系，是物理匀速直线运动的基础。工程问题中的效率，也类似于物理中的功率概念。

3.数学思想精华：

1、建模思想：这是本章的灵魂。将实际问题抽象、简化，抓住其本质的数量关系，用方程这个数学模型去描述它，最终通过解方程解决实际问题。

2、化归思想：解方程的过程，就是不断地将复杂的形式向x

=

a

x=a

x=a这个最简单形式转化和归约的过程。

3、分类讨论思想：在行程问题中的“相距”、方案选择问题、分段计费问题中，当条件不明确时，需要分多种情况讨论，这是培养思维严谨性的重要载体。

4、数形结合思想：借助线段图、表格、图示来直观呈现复杂的数量关系和运动过程，使抽象问题具体化，从而更容易找到等量关系。

四、终极复习策略与备考建议

1、构建题型脑图：复习时不应孤立地刷题，而应将上述六大类题型作为主干，每一类下再细分小类，形成知识网络。看到一道题，首先判断它属于哪一类，然后调用该类题型的标准处理模型。

2、强化“找等量关系”训练：每天专门找5-10道应用题，不求解，