小学六年级数学（北师大版）上册核心知识清单

小学六年级数学（北师大版）上册核心知识清单

分数混合运算二十二种巧算策略知识清单

一、运算基石：分数混合运算的法则与定律

（一）运算顺序法则【基础】

在分数混合运算中，运算顺序与整数混合运算保持一致，这是进行计算的首要前提。对于不含括号的算式，我们遵循“先乘除，后加减”的层级规则，即首先要识别出算式中的两级运算，乘法和除法作为第二级运算，必须优先于作为第一级运算的加法和减法进行计算。例如，在算式3/4+1/2×2/3中，必须先行计算1/2×2/3=1/3，再计算3/4+1/3。当算式中出现括号时，括号的优先级最高，必须率先解决括号内的部分，无论括号内包含何种运算。对于同级运算，如连乘、连除或乘除混合，则严格按照从左到右的顺序依次进行。这一顺序规则是确保计算结果唯一性和正确性的基石，任何偏离都会导致运算错误，是每次解题前必须进行的“程序检查”。

（二）转化与统一策略【核心】

分数除法的核心转化律是打通分数乘除法运算壁垒的关键，即“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”。这一法则不仅简化了除法的计算过程，更重要的是它将所有的分数除法问题转化为分数乘法问题，从而统一了运算类型。在分数乘除混合运算中，一个高效的解题步骤是“一次转化，整体连乘”：将算式中的所有除数（即分数线后的数）都替换为它们的倒数，并将所有的除号变为乘号，从而将整个算式转化为一个分数的连乘算式。例如，计算2/3÷4/5÷1/2，可一次转化为2/3×5/4×2。完成转化后，即可运用分数乘法的计算法则，在分子与分母间进行整体约分，以简化计算过程。这要求学生对求一个数的倒数有极快的反应和极高的准确率。

（三）运算定律的推广与应用【核心】

整数运算中的五大定律在分数范围内依然普适，这为我们简化计算提供了丰富的工具。乘法交换律a×b=b×a允许我们重新排列乘数的顺序，将易于约分的分数放在一起。乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)允许我们改变运算的结合方式，使计算步骤更为简便。乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c及其逆向形式a×c+b×c=(a+b)×c是分数简算中运用最广泛、变化最丰富的定律，尤其在处理带分数或一个分数与多个分数的和（差）相乘时，能极大地简化计算量。此外，减法的性质a-b-c=a-(b+c)和除法的性质a÷b÷c=a÷(b×c)在分数运算中同样适用，它们提供了一种从整体角度处理连减或连除问题的方法，避免了繁琐的逐步计算。

二、二十二种巧算方法精析

（一）基础篇：定律的直接运用（第1-6法）

第1法：乘法交换律巧算【基础】

此方法适用于连乘算式，核心在于观察各分数的分子与分母，通过交换因数的位置，使易于约分的分子与分母成对出现，实现先约分后计算。例如计算5/7×3/5×7/9，可以交换3/5与5/7的位置（或交换其他组合），使第一个分数的分子“5”与第二个分数的分母“5”约分，第一个分数的分母“7”与第三个分数的分子“7”约分，从而将算式简化后轻松得出结果。此法的关键在于敏锐地发现可以相互约分的数字对。

第2法：乘法结合律巧算【基础】

当算式中某几个分数的乘积能得到一个整数或一个形式简单的分数时，可以运用结合律优先计算这一部分。例如计算3/4×5/6×8/5，可以先计算5/6×8/5，因为5和5可以约分，6和8有公因数2，计算得4/3，再与3/4相乘，3/4×4/3=1，整个过程非常简洁。这要求我们对分数乘法的结果有预判能力。

第3法：乘法分配律（正向）【高频】

这是最常用的简算方法之一，形式为(a+b)×c=a×c+b×c。当遇到一个括号内是两个或多个分数的和（或差），与另一个分数相乘时，若括号内的每个分数与括号外的分数相乘都能产生约分或得到较整齐的结果，则应优先考虑展开。例如计算(7/12+5/8)×24，因为24是12和8的公倍数，展开后得到7/12×24+5/8×24=14+15=29，计算非常便捷。

第4法：乘法分配律（逆向）【高频】

即提取公因数法，形式为a×c±b×c=(a±b)×c。当算式中出现两个乘积形式相加减，且其中有一个相同的分数（公因数）时，可以将其提取出来，将括号内的部分进行加减运算，往往能简化出整数或简单分数。例如计算3/8×7+3/8×1，可以提取3/8，得到3/8×(7+1)=3/8×8=3。此法需要快速识别出算式中的“公共部分”。

第5法：减法性质巧算【基础】

适用于连续减去多个分数的情况。观察几个减数的分母是否相同或是否能凑成易于计算的数。例如计算9/10-3/10-1/10，可以直接运用性质转化为9/10-(3/10+1/10)=9/10-4/10=5/10=1/2。如果减数分母不同但相加后能简化，此方法依然适用，但前提是先通分或计算减数的和。

第6法：除法性质巧算【基础】

适用于连续除以多个分数（或整数）的情况。将连续除法转化为乘以所有除数的倒数之积。例如计算2/3÷4/5÷5/6，根据除法的性质，可以转化为2/3÷(4/5×5/6)。先计算括号内的4/5×5/6=2/3，则原式变为2/3÷2/3=1。这种“整体观”有时比逐步转化连乘更为简便。

（二）进阶篇：转化与构造的智慧（第7-15法）

第7法：去括号变号法【重要】

当括号前是减号或除号时，去掉括号，括号内的运算符号要发生改变。这是易错点，也是巧算的突破口。例如计算8/9-(5/9+1/6)，去掉括号后变为8/9-5/9-1/6=3/9-1/6=1/3-1/6=1/6。如果直接先算括号内，反而会增加通分的步骤。对于除法：a÷(b×c)=a÷b÷c，a÷(b÷c)=a÷b×c。掌握去括号变号规则，可以灵活调整运算顺序，创造简算条件。

第8法：添括号引号法【重要】

与去括号法则互逆，在解题过程中，为了达到简算目的，可以主动添加括号，添加时若括号前为减号或除号，则括号内各项要变号。例如计算3/4-1/5-3/10，发现1/5和3/10可以先加起来得到1/2，而3/4-1/2很简单，因此可以添括号为3/4-(1/5+3/10)。添括号法是我们主动重组算式、创造简算模式的重要手段。

第9法：带分数拆分法【难点】

当一个带分数与一个整数或多个分数相乘时，可以将带分数拆分成“整数部分+真分数部分”的形式，然后运用乘法分配律进行简算。例如计算51/4×8，可以拆分为(5+1/4)×8=5×8+1/4×8=40+2=42。如果带分数接近一个整数，也可以拆分成“整数-真分数”的形式，如63/5=7-2/5。这种拆分将带分数乘法转化为整数乘法和分数乘法，大大降低了计算难度。

第10法：整数巧化分数法【基础】

在乘除混合运算中，任何整数都可以看作是分母为1的分数。例如，计算6÷3/4，将6视为6/1，则原式为6/1÷3/4=6/1×4/3。这种视角的统一，有助于我们进行约分，并能更顺畅地应用运算定律。尤其是在提取公因数时，整数往往就是那个“公因数”的一部分。

第11法：整体约分法（连锁约分）【核心】

此法主要针对经过“除变乘”转化后的分数连乘算式。在完成除法到乘法的转化后，我们不急于计算分子和分母的乘积，而是将整个算式视为一个整体，将任意一个分子与任意一个分母进行约分（交叉约分），直到所有公因数都被约去，最后将剩余的分子相乘作分子，分母相乘作分母。例如计算3/8÷5/6÷9/10，先转化为3/8×6/5×10/9，然后观察：分子3和分母9约分，分子6和分母8约分，分子10和分母5约分，最终结果非常简单。此法能最大限度地减少计算量。

第12法：裂项相消法（初步）【难点】

这是分数简算中的高级技巧，主要针对形如1/(a×(a+1))=1/a-1/(a+1)的分数加法或减法数列。在六年级阶段，主要涉及分母为两个相邻自然数乘积的分数求和。例如计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)，可以裂项为(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)=1-1/4=3/4。掌握此法，能秒解一类看似复杂的分数计算题。需要熟记裂项公式并能识别出适用的题型。

第13法：裂差与裂和【拓展】

在裂项相消的基础上，当分子不是1时，可以根据分母两数之差与分子的关系进行恒等变形。如2/(1×3)+2/(3×5)+2/(5×7)，分母两数之差为2，分子也为2，则可裂项为(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)。对于更一般的情况，需要构造出差与分子的倍数关系。这不仅是计算技巧，更是代数思维的初步培养。

第14法：设元法（代数法）【拓展】

当算式中有重复出现的复杂分数表达式时，可以将其设为一个字母（元），从而简化算式结构。例如，计算(1+1/2+1/3)×(1/2+1/3+1/4)-(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3)。设a=1/2+1/3，b=1/2+1/3+1/4，则原式化为(1+a)×b-(1+b)×a=b+ab-a-ab=b-a=(1/2+1/3+1/4)-(1/2+1/3)=1/4。设元法将复杂的四则运算转化为简洁的代数式化简，体现了数学的简洁美。

第15法：基准数法【基础】

在分数加法中，若几个分数的大小都接近某个简单的分数（如1/2,1等），可以以这个简单分数为基准，将每个加数拆分为“基准数+零头”的形式，然后进行求和。例如计算5/8+6/11+7/10，观察它们都接近1/2？实际上此例并不典型。更典型的如101/200+97/200+99/200，它们都接近1/2，但更好的方法是直接相加。基准数法更适用于一组结构相似、接近整数的分数，如11/3,11/4,11/5等。

（三）高阶篇：特殊题型与思维突破（第16-22法）

第16法：倒数法【重要】

当一个算式的计算过程比较复杂，而它的倒数形式却很简单时，可以先求出原式的倒数，再取倒数得到原式的结果。这种方法在解决两个繁分数相除，或形如A/B的复杂分式时尤为有效。例如，计算(1/2+1/3+1/4)/(1/2×3+1/3×4+1/4×5)？直接计算复杂，但若先求其倒数，可能会发现分子与分母之间的内在联系。

第17法：约分法（直接约分）【基础】

在分数四则运算中，只要符合乘法形式（即分子与分母整体相乘），就可以随时进行约分。即使在加减运算中，对于已经写出的分数形式，如(3/8)+(5/12)，虽然不能直接约分，但如果某个中间步骤产生了如(6/8)这样的分数，应立即约分为(3/4)。养成“每步必约，能约尽约”的习惯，是保持计算过程简洁、结果准确的关键。

第18法：化小数法【基础】

在某些特定情况下，将分数转化为小数进行计算可能更为简便。例如，计算1/2+0.75-1/4，可以直接化为0.5+0.75-0.25=1。或者当分母比较复杂，但分数对应的是有限小数时。但需注意，此法可能会产生近似值，在精确计算要求下应谨慎使用，通常只适用于常见的分数与小数互化。

第19法：凑整法【高频】

与整数凑整思想一脉相承，在分数运算中寻找能相加得到整数（如1,2,10等）的分数组合。例如计算2/7+3/5+5/7+2/5，通过加法交换律和结合律，将2/7与5/7组合得1，3/5与2/5组合得1，总和为2。凑整法要求对分数的互补关系非常敏感，如3/8和5/8，1/6和5/6等。

第20法：同分母优先法【基础】

在加减混合运算中，无论题目顺序如何，在脑海中（或草稿纸上）先将分母相同的分数进行合并计算，再与其他分母的分数进行运算。这本质上也是加法交换律和结合律的应用，能有效减少通分的次数和复杂度。

第21法：扩倍与缩倍法【拓展】

在解决一些分数除法或比例问题时，可以将算式中的各项同时扩大相同的倍数（如分母的最小公倍数），从而将分数运算暂时转化为整数运算，计算完成后再缩小回原倍数。例如计算(1/2+1/3+1/6)÷(1/3+1/4)，可以将分子和分母同时乘以12（2、3、4、6的公倍数），得到(6+4+2)÷(4+3)=12÷7=12/7。此法思路巧妙，能避开复杂的分数除法。

第22法：图形结合法【拓展】

对于一些数量关系复杂的分数应用题，在列式前或列式后，可以画出线段图或矩形图，将抽象的分数关系直观化。通过图形，可以清晰地看出各部分量占总量的几分之几，从而列出更简便的算式。例如，已知一部分量和它对应的分率，求另一部分量，通过图形可以直接看出另一部分量对应的分率，从而用乘法一步解决。图形结合不仅是理解题意的工具，也是启发简算思路的源泉。

三、应用与实践：分数应用题模型

（一）基本量率对应模型【核心】

解决分数应用题的根本在于找准单位“1”，并明确各个数量所对应的分率。核心关系式为：单位“1”的量×分率=分率对应的量。反之，分率对应的量÷分率=单位“1”的量。在解题时，第一步永远是寻找并确定单位“1”（通常在“的”字前或“比”字后），第二步判断单位“1”是已知还是未知，已知用乘法，未知用除法（或方程）。这是所有分数应用题的通法，也是衡量是否掌握本章内容的黄金标准。

（二）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少【高频】

这是单位“1”已知情况下的典型问题。例如：求比20多1/4的数是多少？有两种解法：解法一（分布法）：先求出多的部分：20×1/4=5，再相加：20+5=25。解法二（综合法）：先求出目标数占单位“1”的分率：1+1/4=5/4，再相乘：20×5/4=25。两种方法本质相同，但综合法列式更为简洁，是推荐掌握的主流方法。

（三）已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数【高频】

这是单位“1”未知情况下的典型问题，与上一类题型互为逆运算。例如：已知一个数比某数多1/4后是25，求某数。解法一（方程法）：设某数为x，则x×(1+1/4)=25，解得x=20。解法二（算术法）：根据量率对应，已知量25对应的分率是(1+1/4)，所以单位“1”=25÷(1+1/4)=20。方程法思维顺向，易于理解；算术法需要逆向思考，但计算迅速。两种方法都应熟练掌握。

（四）已知总量和部分量分率，求另一部分量【重要】

例如：一条路长500米，第一天修了全长的1/5，第二天修了全长的1/4，还剩多少米？解法一：500-500×1/5-500×1/4。解法二：500×(1-1/5-1/4)。解法二体现了对整体减去部分分率的理解，当剩余部分的分率计算简单时，此法更为优越。如果题目中给出的分率不是针对同一单位“1”（如第二天修了余下的1/3），则问题变得复杂，需要逐步分析，但核心仍然是量率对应。

（五）工程问题模型【拓展】

将工作总量看作单位“1”，工作效率用“1/时间”来表示。基本关系式：工作效率×工作时间=工作总量。工程问题的巧算往往体现在对工作效率之和、工作效率之差的处理上。例如，两队合作，工作时间=1÷(1/甲+1/乙)。当遇到更复杂的交替工作或请假问题时，也需要灵活运用分数的混合运算来解决。

四、思维导图与易错警示

（一）知识体系建构

本章知识可分为两大板块：计算与应用。计算板块的核心是“顺序”与“定律”，即严格遵循四则运算顺序，灵活运用五大运算定律和两大运算性质，结合转化、约分、裂项等二十二种技巧，实现计算的准确与迅速。应用板块的核心是“量率对应”，即找准单位“1”，理清数量与分率之间的关系，根据单位“1”的已知或未知，选择乘法或除法（方程）进行解答。两大板块通过“解决问题”这一环节紧密相连，计算是解决应用问题的工具，应用问