2025-2026学年山东省枣庄市峄城区高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省枣庄市峄城区2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】由题意直线，即，所以直线的倾斜角.故选：C.2.已知向量与共线，则（）A. B.0 C.2 D.6【答案】D【解析】因为向量与共线，显然：,所以，所以，故．故选：D.3.已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因为双曲线（，）的上焦点为，所以，渐近线方程为，则，因为，所以，解得，即，可知，则该双曲线实半轴长为.故选：B.4.圆：与圆：的公切线条数为（）A.2 B.1 C.3 D.4【答案】A【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径，则有，两圆相交，有2条公切线；故选：A．5.已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】若，则，解得，则，所以焦距是；若，则，解得，则，所以焦距是.故选：A.6.若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，因为直线和在轴上的截距分别为，所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.故选：A.7.设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线距离最小即可，根据点到直线的距离公式可得，所以.故选：C.8.设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直，如图所示，则，由点到直线的距离公式可得，又，所以．设，则，得，从而，由，解得，由，得，解得．从而可得，所以离心率．故选：D．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．）9.已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）A.的周长为6B.若，则的面积为C.椭圆上存在4个点，使得D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则，，，所以的周长为，A正确.对于B，若，根据余弦定理可得，可得，解得，则面积为，B正确.对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大，此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误.对于D，因为，所以.当且仅当，即时取等号，的最小值是，D正确.故选：ABD.10.已知曲线：，则（）A.有2条对称轴 B.是封闭图形C.与坐标轴有4个交点 D.与直线有4个交点【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以或，所以E是由单位圆O和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，如图，所以曲线E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故A正确；对于B，由A项分析知，曲线E不是封闭图形，故B错误；对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确；对于D，由可得，因为C的一条渐近线方程为且，根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，又直线与圆O有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（）A.二面角的平面角的正切值为2B.C.点的轨迹长度为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】对于A：连接相交于，连接,由于，且，故，因此为二面角的平面角，故，故A错误；对于C：在正方体中，平面，平面，所以，故，则有，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以轨迹长为，故C错误；对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为,平面，故平面，因为，则平面，故在上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点的轨迹是线段，所以可设，，则，，则,,，所以,,，，故，进而可得，故，故B正确；对于：，，，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，，故平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，当时，有最大值，故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确．故选：BD．三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分．）12.直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______．【答案】【解析】因为直线过点，，所以直线的方程为：，即，因为与直线平行，所以，所以两平行线间的距离，故答案为：.13.已知曲线与直线有两个不同交点，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】曲线，两边平方得，整理为且，这是以为圆心，半径的下半圆，直线可整理为，直线恒过定点，由题意，直线与下半圆的交点情况，先求直线与下半圆相切的的值：圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，平方后，即，解得或，当时，直线为，与下半圆无交点，舍去，当时，直线与下半圆相切，求直线过下半圆端点的的值：下半圆的端点为和，直线过时，代入得，解得，直线过时，代入得，解得，直线与下半圆有两个不同的交点，则实数的取值范围故答案为：.14.如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______．【答案】【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线，由题意，根据椭圆的定义可得：，所以,因为，则，那么①，因为点关于的对称点为，所以，因为，所以，即②，联立①②，解得，则.故答案为：.四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知直线．（1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程．解：（1）由，即，则，解得，所以直线过定点.因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.（2）已知直线，且由题意知，

令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.16.如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点（1）求的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）因为为线段的中点，，所以，，所以，又因为，，所以.（2）由（1）得，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.17.已知圆经过、两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.解：（1）设圆的标准方程为，可知其圆心为，由题意可得，解得，所以圆的标准方程为.（2）由题意，过点的直线与圆相交于、两点，且，则，所以，所以，所以圆心到直线距离，由题意直线的斜率存在，设直线为，即，所以，化简得，解得或，所以直线的方程为或.18.某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．（1）证明：取中点，连接，由题意可知且，又因为是矩形对角线交点，所以且，所以且，则四边形为平行四边形，所以且，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为在图1中，且,在图2中上述关系依然成立，所以即为二面角的平面角，则，以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，所以，又因为，平面，所以，所以，，设平面的一个法向量，则，则有，取，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：假设存在满足条件的点，设，所以，则，设平面的一个法向量为，则，所以，取，由（2）知平面的一个法向量，则，要使平面与平面所成的二面角的余弦值为，则只需，即，整理得，解得或（舍去），所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.19.已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为．（1）求的方程；（2）已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值．（3）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由．解：（1）由题意，，设,，，则，解得，所以椭圆的方程为.（2）如图，由，可得,直线的方程为：，即，当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上，设切线为，则可得，由，解得（舍去），此时三角形的高为，所以.（3）解：设直线，，，，可得，所以．直线AE的方程：①直线BF的方程：②联立①②可得．因为，所以所以点G在直线上．

山东省枣庄市峄城区2025-2026学年高二上学期期中数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】由题意直线，即，所以直线的倾斜角.故选：C.2.已知向量与共线，则（）A. B.0 C.2 D.6【答案】D【解析】因为向量与共线，显然：,所以，所以，故．故选：D.3.已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因为双曲线（，）的上焦点为，所以，渐近线方程为，则，因为，所以，解得，即，可知，则该双曲线实半轴长为.故选：B.4.圆：与圆：的公切线条数为（）A.2 B.1 C.3 D.4【答案】A【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径，则有，两圆相交，有2条公切线；故选：A．5.已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】若，则，解得，则，所以焦距是；若，则，解得，则，所以焦距是.故选：A.6.若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，因为直线和在轴上的截距分别为，所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.故选：A.7.设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，根据椭圆的定义可知，所以，则，所以最小时，即最小，即定点到直线距离最小即可，根据点到直线的距离公式可得，所以.故选：C.8.设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直，如图所示，则，由点到直线的距离公式可得，又，所以．设，则，得，从而，由，解得，由，得，解得．从而可得，所以离心率．故选：D．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．）9.已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）A.的周长为6B.若，则的面积为C.椭圆上存在4个点，使得D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则，，，所以的周长为，A正确.对于B，若，根据余弦定理可得，可得，解得，则面积为，B正确.对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大，此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误.对于D，因为，所以.当且仅当，即时取等号，的最小值是，D正确.故选：ABD.10.已知曲线：，则（）A.有2条对称轴 B.是封闭图形C.与坐标轴有4个交点 D.与直线有4个交点【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以或，所以E是由单位圆O和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，如图，所以曲线E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故A正确；对于B，由A项分析知，曲线E不是封闭图形，故B错误；对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确；对于D，由可得，因为C的一条渐近线方程为且，根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点，又直线与圆O有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体的棱长为2，点，在正方体的面内（包括边界），若，，则下述结论正确的是（）A.二面角的平面角的正切值为2B.C.点的轨迹长度为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】对于A：连接相交于，连接,由于，且，故，因此为二面角的平面角，故，故A错误；对于C：在正方体中，平面，平面，所以，故，则有，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以轨迹长为，故C错误；对于B：在正方体中，平面平面，且两平面交线为,平面，故平面，因为，则平面，故在上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点的轨迹是线段，所以可设，，则，，则,,，所以,,，，故，进而可得，故，故B正确；对于：，，，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，，故平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，则，当时，有最大值，故与平面所成角的正弦值的最大值，故D正确．故选：BD．三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分．）12.直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______．【答案】【解析】因为直线过点，，所以直线的方程为：，即，因为与直线平行，所以，所以两平行线间的距离，故答案为：.13.已知曲线与直线有两个不同交点，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】曲线，两边平方得，整理为且，这是以为圆心，半径的下半圆，直线可整理为，直线恒过定点，由题意，直线与下半圆的交点情况，先求直线与下半圆相切的的值：圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，平方后，即，解得或，当时，直线为，与下半圆无交点，舍去，当时，直线与下半圆相切，求直线过下半圆端点的的值：下半圆的端点为和，直线过时，代入得，解得，直线过时，代入得，解得，直线与下半圆有两个不同的交点，则实数的取值范围故答案为：.14.如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______．【答案】【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线，由题意，根据椭圆的定义可得：，所以,因为，则，那么①，因为点关于的对称点为，所以，因为，所以，即②，联立①②，解得，则.故答案为：.四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知直线．（1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程．解：（1）由，即，则，解得，所以直线过定点.因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.（2）已知直线，且由题意知，

令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.16.如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点（1）求的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）因为为线段的中点，，所以，，所以，又因为，，所以.（2）由（1）得，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.17.已知圆经过、两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.解：（1）设圆的标准方程为，可知其圆心为，由题意可得，解得，所以圆的标准方程为.（2）由题意，过点的直线与圆相交于、两点，且，则，所以，所以，所以圆心到直线距离，由题意直线的斜率存在，设直线为，即，所以，化简得，解得或，所以直线的方程为或.18.某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着