2025-2026学年浙江省衢州五校联盟高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省衢州五校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，所以对称点的坐标为，故选：A.3.已知，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D〖祥解〗根据投影向量的数量积表达式结合向量的坐标运算得结论即可.【解析】因为，所以在方向上的投影向量为.故选：D.4.已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线的倾斜角为，可得，由，可得或，则直线的斜率为或，所以充分性不成立；反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立，所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件.故选：B.5.已知实数满足，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】因为，当时，等式不成立，所以，则，当且仅当，即或时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.6.一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（）A.2 B.4 C.8 D.无法确定【答案】B【解析】数据共有8个，则，所以第75百分位数为第6位和第7位的平均值，不带x将数据从小到大排序为，第6位为6，若，则第7位为6，因为第6位和第7位的平均值为6，所以只能x为第6位，且为6，若，则第6位为6，第7位为x，因为第6位和第7位的平均值为6，则不符合题意，综上，，则，所以方差.故选：B7.已知函数，若函数有7个零点，则可以为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，作出图象，如图所示：因为函数有7个零点，所以有7个根，即与的图象有7个交点，令，则，当时，与的图象只有一个交点，此时，因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；当时，与的图象有2个交点，且为-1和2，则和与图象共有4个交点，不符合题意；当时，与的图象有3个交点，设为，则，此时与共有7个交点，符合题意；当时，与的图象有3个交点，设为，则，此时与共有6个交点，不符合题意；当时，与的图象有2个交点，设为，则，若时，此时与共有4个交点，不符合题意，若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图，综上，a的取值范围是，则可以为2.故选：A.8.已知函数在上只有一个极值点，且，则值不可能为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】由，且在上只有一个极值点，所以在区间只有一条对称轴，可得为函数的对称轴，所以，可得，且，即，解得，又由，，因为，可得或是函数的一个对称中心，则或，可得或，联立方程组或，或，令，可得或，所以可能的取值为，所以不可能的取值为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于复数叙述正确的是（）（其中为虚数单位）A.B.C.在复平面上的点位于第二象限D.若，则【答案】BD【解析】，A选项错误；，B选项正确；在复平面上点位于第四象限，C选项错误；若，则，D选项正确；故选：BD.10.已知正方体的棱长为2，下列命题正确的是（）A.B.若为的中点，为的中点，则与所成的角的余弦值为C.该封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为D.若点、分别在与上移动，且和长度保持相等，则最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，如图取的中点，由正方体性质可得：，所以为与所成的角或其补角，由正方体的棱长为2，可得，由余弦定理可得：，故B正确；对于C，封闭正方体容器内有两个半径相等的铁球，如图摆放两个球，根据正方体中心对称性，可知两球的球心一定在体对角线上，且两球相外切，每个球还与正方体的三个面相切，此时两球半径最大，不妨设球的半径为，根据正方体的性质可得：，由图可得：，解得：，故C错误；对于D，由和长度保持相等，分别作，可得，则不妨设，所以有，即根据二次函数的性质可知：当时，，故D正确；故选：ABD．11.已知圆，椭圆为圆上的动点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，圆的圆心为，直线与轴交于点，若点到直线的距离分别为，则（）A. B.C. D.的取值范围为【答案】ABC【解析】设.对于A，由题可知，化简得.所以，故A正确；对于B，，，.因为，且，所以.故B正确；对于C，由A知，，同理，所以当直线的斜率不存在时，其方程为，，；当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得.所以，所以.综上所述，.故C正确；对于D，当为圆与轴的右交点，即时，，，此时，.故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且与相互独立，则___________．【答案】0.94【解析】若，且与相互独立，则．故答案为：.13.求值：___________．【答案】或0.5【解析】.故答案为：.14.已知为双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为___________．【答案】或【解析】不妨令为下焦点，为上焦点，设，在点处的切线为，则，由得：，且，又，整理可得：，，则点处的切线为，；，，解得：，，，由双曲线定义得：，，，，在中，，在中，，，即，离心率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为．（1）求恰有两人成功破译的概率；（2）若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率．解：（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则记恰有两人成功破译的概率为，则.（2）记事件为“丁成功破译密码，则，设密码能被成功破译为事件E，.16.在中，角的对边分别为．已知.（1）求角的正弦值；（2）若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值．解：（1），由正弦定理，得..又由.因为，所以.即角的正弦值为.（2）...所以.由图可知的夹角等于的夹角，即.所以的余弦值为.17.在三棱锥中，点在底面的投影为的垂心，（1）求证：平面；（2）若为线段上一点，满足，且，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：平面平面，又为垂心，，，平面，平面.（2）解：由，且于点，，又，为等边三角形，三棱锥为正四面体，（法一）记点到平面的距离为，由，则，又因为，则，，则到平面的距离为，，与平面所成角的正弦值为.（法二）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，则，平面的一个法向量为，与平面所成角的正弦值为.18.已知函数（且），函数为奇函数.（1）（i）求实数的值，并讨论函数的单调性（不需要证明）；（ii）当时，在区间的值域为，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）（i），，则，，，满足为奇函数，所以符合题意；，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减．（ii）在上单调递减，，即，关于的方程即有两个大于0的不同实根，，解得.（2）为奇函数，又，，，时，在上单调递减，，即，即恒成立，即恒成立，，即.19.已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4．（1）求抛物线的方程；（2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为.（i）求证：；（ii）求证：直线过定点．（1）解：设直线的方程为，代入得，设点，则，而线段中点纵坐标为4，则，解得，故的方程为.（2）（i）证明：法一：由（1），且，则所以.法二：设直线方程为，抛物线的方程可表示为，由，得，，，直线的斜率为，，.（ii）证明：法一：如图，作出符合题意的图形，由已知得，设直线的方程为，联立，可得，，，，整理得，即，当时，直线与直线重合，舍去，直线的方程，直线过定点.法二：由已知得，，，（舍）或，直线的方程是，直线过定点.浙江省衢州五校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，所以对称点的坐标为，故选：A.3.已知，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D〖祥解〗根据投影向量的数量积表达式结合向量的坐标运算得结论即可.【解析】因为，所以在方向上的投影向量为.故选：D.4.已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线的倾斜角为，可得，由，可得或，则直线的斜率为或，所以充分性不成立；反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立，所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件.故选：B.5.已知实数满足，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】因为，当时，等式不成立，所以，则，当且仅当，即或时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.6.一组样本数据为，这组数据的第75百分位数为6，则这组数据的方差为（）A.2 B.4 C.8 D.无法确定【答案】B【解析】数据共有8个，则，所以第75百分位数为第6位和第7位的平均值，不带x将数据从小到大排序为，第6位为6，若，则第7位为6，因为第6位和第7位的平均值为6，所以只能x为第6位，且为6，若，则第6位为6，第7位为x，因为第6位和第7位的平均值为6，则不符合题意，综上，，则，所以方差.故选：B7.已知函数，若函数有7个零点，则可以为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】当时，单调递减，当时，单调递减，当时，单调递增，作出图象，如图所示：因为函数有7个零点，所以有7个根，即与的图象有7个交点，令，则，当时，与的图象只有一个交点，此时，因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；当时，与的图象有2个交点，且为-1和2，则和与图象共有4个交点，不符合题意；当时，与的图象有3个交点，设为，则，此时与共有7个交点，符合题意；当时，与的图象有3个交点，设为，则，此时与共有6个交点，不符合题意；当时，与的图象有2个交点，设为，则，若时，此时与共有4个交点，不符合题意，若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图，综上，a的取值范围是，则可以为2.故选：A.8.已知函数在上只有一个极值点，且，则值不可能为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】由，且在上只有一个极值点，所以在区间只有一条对称轴，可得为函数的对称轴，所以，可得，且，即，解得，又由，，因为，可得或是函数的一个对称中心，则或，可得或，联立方程组或，或，令，可得或，所以可能的取值为，所以不可能的取值为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于复数叙述正确的是（）（其中为虚数单位）A.B.C.在复平面上的点位于第二象限D.若，则【答案】BD【解析】，A选项错误；，B选项正确；在复平面上点位于第四象限，C选项错误；若，则，D选项正确；故选：BD.10.已知正方体的棱长为2，下列命题正确的是（）A.B.若为的中点，为的中点，则与所成的角的余弦值为C.该封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为D.若点、分别在与上移动，且和长度保持相等，则最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，如图取的中点，由正方体性质可得：，所以为与所成的角或其补角，由正方体的棱长为2，可得，由余弦定理可得：，故B正确；对于C，封闭正方体容器内有两个半径相等的铁球，如图摆放两个球，根据正方体中心对称性，可知两球的球心一定在体对角线上，且两球相外切，每个球还与正方体的三个面相切，此时两球半径最大，不妨设球的半径为，根据正方体的性质可得：，由图可得：，解得：，故C错误；对于D，由和长度保持相等，分别作，可得，则不妨设，所以有，即根据二次函数的性质可知：当时，，故D正确；故选：ABD．11.已知圆，椭圆为圆上的动点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，圆的圆心为，直线与轴交于点，若点到直线的距离分别为，则（）A. B.C. D.的取值范围为【答案】ABC【解析】设.对于A，由题可知，化简得.所以，故A正确；对于B，，，.因为，且，所以.故B正确；对于C，由A知，，同理，所以当直线的斜率不存在时，其方程为，，；当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得.所以，所以.综上所述，.故C正确；对于D，当为圆与轴的右交点，即时，，，此时，.故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，且与相互独立，则___________．【答案】0.94【解析】若，且与相互独立，则．故答案为：.13.求值：___________．【答案】或0.5【解析】.故答案为：.14.已知为双曲线的两个焦点，过的直线与双曲线交于两点，双曲线在点处的切线与轴交于，且，，则双曲线的离心率为___________．【答案】或【解析】不妨令为下焦点，为上焦点，设，在点处的切线为，则，由得：，且，又，整理可得：，，则点处的切线为，；，，解得：，，，由双曲线定义得：，，，，在中，，在中，，，即，离心率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为．（1）求恰有两人成功破译的概率；（2）若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率．解：（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则记恰有两人成功破译的概率为，则.（2）记事件为“丁成功破译密码，则，设密码能被成功破译为事件E，.16.在中，角的对边分别为．已知.（1）求角的正弦值；（2）若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值．解：（1），由正弦定理，得..又由.因为，所以.即角的正弦值为.（2）...所以.由图可知的夹角等于的夹角，即.所以的余弦值为.17.在三棱锥中，点在底面的投影为的垂心，（1）求证：平面；（2）若为