2026届安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，所以，故选：B.2.已知复数满足（其中i为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以，所以，故选：C.3.已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，所以，故选：D.4.“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】若函数的图象关于直线对称，则，令，则，所以，是偶函数，所以函数是偶函数，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件；若函数是偶函数，令，则是偶函数，所以，又，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件.综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件，故选：C.5.已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（）A.24 B.21 C.18 D.15【答案】A【解析】设的公差为，的公差为，，解得，所以，，因为数列也是等差数列，所以，即，解得（舍去）或，所以，.故选：A.6.已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负，对于A：,，满足，A正确；对于B：，不满足，B错误；对于C：，不满足，C错误；对于D：，，不满足，D错误；故选：A.7.已知角满足，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，解得，所以，，所以，故选：B.8.定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由已知，令，则，则①或②；解①得，解②得；则③或④，解③得或；对于④由的几何意义：轴上的点到两定点的距离之差的绝对值.而，可知④无解，综上，方程的根的个数为，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由得，对于A，当时，显然不成立，故A错误；对于B，指数函数则上是减函数，由得，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，，由得，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D错误；故选：BC.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有且仅有5个零点【答案】BCD【解析】对于A：因为，所以的最小正周期不是，A错误；对于B：当，即时，，因为，所以，则当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以此时的值域为；当，即时，，因为，所以，当时，，当时，取得最大值，所以此时的值域为；综上，函数的值域为，B正确；对于C：因为，，所以，所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确；对于D：当时，由，解得或，当时，由，解得，又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确；故选：BCD.11.已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ACD【解析】由题可得：，对于A，，，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确；对于B，令，解得：或，令，解得：，所以的单调递减区间为；令，解得：，或，所以的单调递增区间为，；由于，，令，解得：或；令，解得：或，作出函数的大致图象如下：所以函数的图象与直线交于不同的三点，则，且；令，则的三个根分别为，则所以，由于，所以，即的取值范围是，故B不正确；由，可得：，，则，因为，所以当时，，由于，所以的取值范围是，故C正确；对于D，，所以，因为，所以当时，，且；所以的取值范围是，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】因为，所以，而，所以，所以，故答案为：.13.若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，令，则，，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.14.在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为__________.【答案】【解析】由三角形面积，余弦定理，有，则，由基本不等式当且仅当时取等号，则，所以，令，则，根据辅角公式，其中，即，因为，所以，两边平方可得，则的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.（1）求函数的解析式，并求函数的值域；（2）设，解关于的不等式：.解：（1）因为是上的幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以，所以，所以.因为的值域为，函数在上单调递增，所以的值域为.（2）由（1），即，可化为，若，则解得或；若，解得；若，解得或；综上，若，则不等式的解集为；若，则不等式解集为；若，则不等式的解集为.16.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.解：（1）当时，由题意可知，因为，即，当时，，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，当时，，当，，因为，所以，综上，.17.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域，对函数求导得，①当时，，因为，所以，则，函数在上单调递增.②当时，令，即，解得（舍）或，当，所以，则，函数单调递增.当，所以，则，函数单调递减.③当时，令，即，解得（舍）或，因为，所以，则，函数在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，所以当，，则存在，使成立.当时，函数在上单调递增，在上单调递减.所以，若存在，使，即，令，求导，令，，令，解得或（舍），当，，函数单调递增.当，，函数单调递减.所以有最大值，可知，在单调递减，且，当，，当时，.综上，实数的取值范围.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，求此时的内切圆半径的最大值；（3）求的取值范围.解：（1）因为，所以，即，所以，因为，，所以，，又，所以.（2）由知为直角三角形，满足，所以直角三角形内切圆半径公式为，因为，所以（当且仅当时等号成立），所以，的内切圆半径的最大值.（3）因为，所以，由正弦定理得，，令，则，因为，所以，则，因为函数在上单调递增，所以.19.若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”.（1）判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由；（2）若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式；（3）若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值.解：（1）数列是“可拆数列”.理由如下：假设数列是“可拆数列”.设，当，取，则，即存在，使得，则数列是“可拆数列”.（2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”，所以对任意，存在，使得，于是即，又，所以，解得或，当或时，，即，于是对任意，总存在，使得，所以数列的通项公式为或.（3）因为数列是“可拆数列”，则对任意，当时，当或时，因为数列为递增数列，所以综上，对任意，都有又，所以，，，，，，，，.又，又数列为递增数列，所以，当以上格式等号同时成立时，故因为数列是“可拆数列”，所以对任意，存在，使得，而，所以对任意的，必存在，使得，又数列为递增数列，，则，解得，由，得，当时取等号，故.综上所述，使成立的的最小值为，最大值为.安徽省江淮十校2026届高三上学期第二次联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，所以，故选：B.2.已知复数满足（其中i为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以，所以，故选：C.3.已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，所以，故选：D.4.“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】若函数的图象关于直线对称，则，令，则，所以，是偶函数，所以函数是偶函数，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件；若函数是偶函数，令，则是偶函数，所以，又，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件.综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件，故选：C.5.已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（）A.24 B.21 C.18 D.15【答案】A【解析】设的公差为，的公差为，，解得，所以，，因为数列也是等差数列，所以，即，解得（舍去）或，所以，.故选：A.6.已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负，对于A：,，满足，A正确；对于B：，不满足，B错误；对于C：，不满足，C错误；对于D：，，不满足，D错误；故选：A.7.已知角满足，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，解得，所以，，所以，故选：B.8.定义一种新运算：，函数，则方程的根的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由已知，令，则，则①或②；解①得，解②得；则③或④，解③得或；对于④由的几何意义：轴上的点到两定点的距离之差的绝对值.而，可知④无解，综上，方程的根的个数为，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由得，对于A，当时，显然不成立，故A错误；对于B，指数函数则上是减函数，由得，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，，由得，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D错误；故选：BC.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有且仅有5个零点【答案】BCD【解析】对于A：因为，所以的最小正周期不是，A错误；对于B：当，即时，，因为，所以，则当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以此时的值域为；当，即时，，因为，所以，当时，，当时，取得最大值，所以此时的值域为；综上，函数的值域为，B正确；对于C：因为，，所以，所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确；对于D：当时，由，解得或，当时，由，解得，又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确；故选：BCD.11.已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ACD【解析】由题可得：，对于A，，，所以函数在点处的切线方程为，即，故A正确；对于B，令，解得：或，令，解得：，所以的单调递减区间为；令，解得：，或，所以的单调递增区间为，；由于，，令，解得：或；令，解得：或，作出函数的大致图象如下：所以函数的图象与直线交于不同的三点，则，且；令，则的三个根分别为，则所以，由于，所以，即的取值范围是，故B不正确；由，可得：，，则，因为，所以当时，，由于，所以的取值范围是，故C正确；对于D，，所以，因为，所以当时，，且；所以的取值范围是，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】因为，所以，而，所以，所以，故答案为：.13.若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，令，则，，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.14.在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为__________.【答案】【解析】由三角形面积，余弦定理，有，则，由基本不等式当且仅当时取等号，则，所以，令，则，根据辅角公式，其中，即，因为，所以，两边平方可得，则的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的图象.（1）求函数的解析式，并求函数的值域；（2）设，解关于的不等式：.解：（1）因为是上的幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以，所以，所以.因为的值域为，函数在上单调递增，所以的值域为.（2）由（1），即，可化为，若，则解得或；若，解得；若，解得或；综上，若，则不等式的解集为；若，则不等式解集为；若，则不等式的解集为.16.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.解：（1）当时，由题意可知，因为，即，当时，，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，当时，，当，，因为，所以，综上，.17.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域，对函数求导得，①当时，，因为，所以，则，函数在上单调递增.②当时，令，即，解得（舍）或，当，所以，则，函数单调递增.当，所以，则，函数单调递减.③当时，令，即，解得（舍）或，因为，所以，则，函数在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，所以当，，则存在，使成立.当时，函数在上单调递增，在上单调递减.所以，若存在，使，即，令，求导，令，，令，解得或