2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题06 三角函数中的高频小题归类（解析版）

第第页专题06三角函数中的高频小题归类题型一：与扇形有关的数学文化【例题1-1】数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．【答案】【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积所以莱洛三角形的面积是.故答案为：【例题1-2】某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.【答案】【详解】如图，的半径为cm,的半径为cm,的半径为cm,,,,,又,可得,，中的小扇形的面积为，中的小扇形的面积为，中的小扇形的面积为，则三个圆之间空隙部分的面积为故答案为：【提分秘籍】扇形中的弧长公式和面积公式弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.【变式1-1】王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧AM的长度为，则需要登上楼的层数约为（

）（参考数据：，，）A．1B．20C．600D．6000【答案】D【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为.令，则.∵，，.∴，又.所以按每层楼高计算，需要登上6000层楼.故选：D.【变式1-2】中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以曲池体积为.故选：D【变式1-3】月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2B．1448m2C．m2D．2028m2【答案】D【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D题型二：同角三角函数【例题2-1】已知，，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为，，所以，因为，所以所以，，，，所以，.故选：A．【例题2-2】若，则______．【答案】【详解】，则，则，.故答案为：.【提分秘籍】同角三角函数的基本关系1、平方关系：2、商数关系:（，）关系式的常用等价变形1、2、【变式2-1】已知，若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，由，得，，所以，即，联立，解得，，所以.故选：D.【变式2-2】已知，且，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由，得，由，得，两式相加得，，所以可得，因为，，所以，所以，可得.故选：B【变式2-3】若，则________.【答案】【详解】，，.故答案为：.【变式2-4】已知，则_______．【答案】【详解】将两边平方，得，即，因为，所以，所以，故．故答案为：.题型三：三角函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性问题【例题3-1】（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．由可得是的整数倍B．函数为偶函数C．函数在上为减函数D．函数在区间上有19个零点【答案】BC【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，，可得，又，所以，所以．对于，当，时，，但不是的整数倍，故错误；对于，是偶函数，故正确；对于，当时，，由正弦函数性质知它是减函数，故正确；对于，令，则，即，所以，解得，因为，所以共10个，故D错误，故选：．【例题3-2】（多选）设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（

）A．在必有有2个极大值点B．在有且仅有2个极小值点C．在上单调递增D．的取值范围是【答案】BD【详解】解：依题意知，由于在，有且仅有4个零点，结合图像及单调性可得，，故D对；令，，有1或2个极大值点，结合复合函数的单调性知也有1或2个极大值点，故A错；同理有2个极小值点，所以有2个极小值点，故B对；当时，，，，递减，根据复合函数单调性得递减，故C错；故选：BD．【例题3-3】已知函数向左平移个单位后为偶函数，其中.则的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，所以的图象向左平移个单位后，得，因为此函数为偶函数，所以，得，因为，所以，故选：D【提分秘籍】函数图象定义域定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减最值当()时，;当()时，;当()时，;当()时，;图象的对称性对称中心为(),对称轴为直线()对称中心为(),对称轴为直线()【变式3-1】已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当，时，，所以为奇函数．当为奇函数时，，．综上，“，”是“为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.【变式3-2】（多选）已知函数，则下列各选项正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上恰有4个极值点【答案】ABD【详解】A选项：令，整理得，令得，所以是的一条对称轴，故A正确；B选项：令，整理得，令得，所以是一个对称中心，故B正确；C选项：当时，，因为在上单调递增，所以在时单调递增，故C错；D选项：当时，，根据正弦函数的图象可得在上有4个极值点，所以在上恰有4个极值点，故D正确.故选：ABD.【变式3-3】（多选）已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有(

)A．对任意的，都有B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数C．函数在区间上是减函数D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”【答案】BCD【详解】，当时，，所以不关于对称，故A错误；函数图象向左平移个单位，得函数，是偶函数，故B正确；当，则，函数单调递减，故C正确；当时，，所以，函数取得最大值，故D正确.故选：BCD题型四：根据三角函数图象求解析式【例题4-1】函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（

）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】D【详解】由图像可知，的最小值为，又，所以，因为，所以，所以，从而，将代入，得，故，得，又，所以，所以，对于A，将的图象向右平移个单位长度得到，故A错误；对于B，将的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；对于C，将的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.故选：D.【例题4-2】已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中，，．将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（

）．A．()B．()C．()D．()【答案】D【详解】由题意得：，则，，所以，将代入得：，即（），则（）．因为，所以，故．因为，则，解得，故.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，令（），解得：（）．所以函数的单调递减区间为（）,故选：D．【例题4-3】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.【答案】1【详解】由题图可知，周期，，所以，因为在的图象上，所以，所以，得，因为，所以，所以，所以，故.故答案为：1【提分秘籍】必备公式辅助角公式，（其中）；求解析式求法方法一：代数法方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅求法方法一：图中读出周期，利用求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.求法方法一：将最高（低）点代入求解；方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案.【变式4-1】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．图象的对称中心为，D．在区间上的最小值为【答案】A【详解】，，；由图象可知：最小正周期，，又，，解得：，又，，；对于A，，，为偶函数，A正确；对于B，，B错误；对于C，令，解得：，的对称中心为，C错误；对于D，当时，，当，即时，，D错误.故选：A.【变式4-2】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．直线是函数的图象的一条对称轴B．函数的图象的对称中心为，C．函数在上单调递增D．将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象【答案】B【详解】由函数图象可知，，最小正周期为，所以.将点代入函数解析式中，得.又因为，所以，故.对于A，令，，即，，令，则，故A错误；对于B，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故B正确；对于C，令，解得，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故D错误.故选：.【变式4-3】已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位得到的图象，若不等式在，上恒成立，则的取值范围是__．【答案】【详解】解：依题意有，，所以，所以，由图知，函数的最小正周期满足：，所以，则，令得，所以，所以，当时，，故，所以，令，原不等式即化为在，上恒成立，令，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：，解得，故的范围是．故答案为：．题型五：拼凑角问题【例题5-1】若，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为．故选：A.【例题5-2】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】.故选：B.【例题5-3】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，故选：B【提分秘籍】通过将已知角和未知角进行“”，或者“”拼凑出特殊角，常用的有：；；；等【变式5-1】已知，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，则由二倍角公式得，又因为，代入可得.故答案为：C【变式5-2】已知，则的值等于（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，故选：B【变式5-3】若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】故选：C.题型六：三角函数中的值域问题【例题6-1】函数的最小值是（

）．A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意，函数，令，可得，当，即时，函数取得最小值，最小值为．故选：D．【例题6-2】函数的最小值是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】依题意，函数，令，则，当，即时，，所以函数的最小值是.故选：D【例题6-3】函数的值域为___________．【答案】【详解】，，当时，，故函数的最小值为．当时，，故函数的最小值为．的值域为.故答案为：【提分秘籍】三角函数值域问题，注意自变量的范围，常涉及到换元法，可化为二次函数型等。【变式6-1】若，则函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，当，即时，，当，即时，，故的值域为，故选：A.【变式6-2】若函数在区间上的最大值是，则（

）A．2B．1C．0D．【答案】C【详解】函数由,得,所以时,函数在区间上取得最大值,解得故选:【变式6-3】若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】关于的方程有解,即有解，令，则，由于，故当时，取得最大值；当时，取得最小值，即，故，故选：B.题型七：三角函数中问题【例题7-1】把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，，，若函数在上恰有3个零点，则，解得：.故选：B【例题7-2】将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为向右平移个单位，得到函数，所以，令，则在上单调递增，因为在上为增函数，故由，，得，即，所以在上为增函数，故，即，解得，故，因为，所以，所以由得，故，所以，即故选：B.【提分秘籍】求题型多为难题，规律不明显，大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。【变式7-1】将函数的图象上所有的点，横坐标扩大为原来的2倍纵坐标保持不变得的图象，若在上单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，，当时，，又在上单调递减，，解得：，当时，满足题意，即.故选：B.【变式7-2】已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由三角函数图象的对称性，可知，由，可得，又，所以，由图象最高点的纵坐标为，可知，所以的周期为12，则的周期为6，则，故选：B．【变式7-3】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（

）A．B．C．3D．4【答案】B【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的值可能为，故选：B专题05三角函数中的高频小题归类课后巩固练习一、单选题1．函数的图象如图所示，则以下结论不正确的是（

）A．B．C．在上的零点之和为D．最大值点到相邻的最小值点的距离为【答案】D【详解】，，所以选项A正确；恒成立，所以选项B正确；，则，则时时，时，，所以选项C正确；最大值点到相邻得最小值点的距离为所以选项D错误.故选：D.2．若函数在恰好存在两个零点和两个极值点，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：设，对于的图象要满足题意则需，解得.故选：B.3．知，满足，若函数在区间上有且只有两个零点，则的范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】依题意：，关于对称，则有，，，不妨设，则，，，当在有且仅有两个零点，则，∴.故选：D.4．已知，则（

）．A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，即，所以．故选：C．5．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，令，则，，因为，，的值域为，所以，解得.故选：B.6．在上有两个零点，，则（）A．