山西省长治、运城、大同、朔州、阳泉五地市2026年高三最后一模（5月月考）数学试题含解析

山西省长治、运城、大同、朔州、阳泉五地市2026年高三最后一模（5月月考）数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明2．已知，则的大小关系为A． B． C． D．3．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点仅有一个；②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；③无论过点的直线在什么位置，总有；④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）A． B． C． D．5．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（）．A． B． C． D．6．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（）A．， B．，C．， D．，7．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（）A．9 B．27 C．81 D．8．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或99．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为A．或11 B．或11 C． D．10．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．11．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在上单调递减，则的取值范围是_______14．若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．15．在二项式的展开式中，的系数为________.16．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.18．（12分）[选修45：不等式选讲]已知都是正实数，且，求证:．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.（1）求证：OE∥平面PBC；（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.20．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值21．（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51515123（1）将竞赛成绩在内定义为“合格”，竞赛成绩在内定义为“不合格”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．参考公式及数据：，其中．22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.2．D【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．C【解析】

①：由抛物线的定义可知，从而可求的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解：对于①，设，由抛物线的方程得，则，故，所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，故，当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，，且的斜率不为0，则设方程为：，设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，，整理得，则，所以，则.故的倾斜角互补，所以，故③正确.对于④，由题意知，由③知，则，由，知，即三点在同一条直线上，故④正确.故选:C.本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.4．B【解析】

计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知，则对任意的，，则，，由，得，，，，因此，.故选：B.本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．D【解析】

根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D．本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．6．D【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出，故得，故选：D．本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.7．A【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由，得，解得或.因为.且数列递增，所以.又，解得，故.故选：A本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．9．A【解析】

圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A．10．C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.11．C【解析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点．记，则过原点作的切线，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，即，将，代入解得．所以切线斜率为，所以或．故选：C本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12．D【解析】

原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.【详解】由题意，a＞2，令t，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）．当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则⇔，记h（t）（t＞2且t≠2），则h′（t）．令φ（t），则φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜2．∴实数a的取值范围是（2，2）．故选：D．此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由题意可得导数在恒成立，解出即可．【详解】解：由题意，，当时，显然，符合题意；当时，在恒成立，∴，∴，故答案为：．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．14．(1，)【解析】

在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等价转化为与的图像在(1，)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.【详解】由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点考查临界情形：与切于，．故答案为：.本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．60【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式的展开式通项为：，取，则的系数为.故答案为：.本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【解析】

根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数，所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）的最小值为1，此时直线：【解析】

（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，设，，则可得，，由求出，将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.【详解】（1）设，则，即整理得（2）设：，将其与曲线的方程联立，得即设，，则，将直线：与联立，得∴∴设.显然构造在上恒成立所以在上单调递增所以，当且仅当，即时取“=”即的最小值为1，此时直线：.（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得（或），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．18．见解析【解析】试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．试题解析：证明：∵，又，∴考点：柯西不等式19．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示：∵点O，E分别是AC，PA的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，又∵OE平面PBC，PC平面PBC，∴OE∥平面PBC；（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴S△ABD，∴三棱锥E﹣PBD的体积.本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.20．（1）见解析（2）【解析】

（1）推导出，，从而平面，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过作