2026年高一数学寒假自学课（沪教版）专题02 函数的概念性质及应用 （解析版）

专题02函数的概念性质及应用

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点

1.函数的概念与三要素

1.定义：设A、B是非空数集，按确定对应关系f，对A中任意x，B中都有唯一f(x)与之对应，称f:AB

为函数，记作yf(x),xA.

2.三要素（核心）：

定义域：自变量x的取值范围，遵循“定义域优先”原则，常见限制：分式分母0，偶次根式被开方数0，

对数真数0等.

对应关系f：函数的核心，可用解析式、图像、表格表示.

值域：函数值的集合{f(x)|xA}，由定义域与对应关系共同确定.

3.表示方法：解析法、列表法、图像法，分段函数是解析法的特殊形式.

2.函数的基本性质

性

定义判定方法核心结论

质

区间内，任意，都有

单Ix1x2

定义法（作差/作商）、

调f(x)f(x)（增函数）或增+增=增，减+减=减；

12图像法、复合函数法则

性

f(x1)f(x2)（减函数）

奇定义域关于原点对称，∀x，定义法、图像法（偶函奇函数f(0)0（若0在定义

偶f(x)f(x)（偶函数）或数对称y轴，奇函数对域内）；奇偶函数和差积商有相

性f(x)f(x)（奇函数）称原点）应奇偶性

区间内存在x，对任意x，都有

最0单调性法、配方法、图闭区间上的连续函数必有最大

（最大值）或

值f(x0)f(x)f(x0)f(x)像法值和最小值

（最小值）

3.函数的应用与反函数

1.函数应用：构建函数模型解决实际问题，常见模型有一次函数（线性增长/衰减）、二次函数（最值优化）、

分段函数（阶梯收费、分段计费）等，核心步骤为：审题→设变量→建函数→定定义域→求解→检验.

2.反函数：

存在条件：函数为一一映射（单调函数必存在反函数）.

求解步骤：①求原函数值域（即反函数定义域）→②反解xf1(y)→③互换x、y得yf1(x)→④注明

反函数定义域.

核心性质：原函数与反函数图像关于直线yx对称；f(f1(x))x（x在反函数定义域内）；

f1(f(x))x（x在原函数定义域内）.

二、概念比较（易混概念辨析）

函数与映射：映射中$A、B$可为任意非空集合，函数是特殊的映射，限定$A、B$均为非空数集.

定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，由题目条件直接限定；值域是函数值f(x)的集合，由定义

域与对应关系共同决定，求值域必须先确定定义域.

单调性与奇偶性：单调性是局部性质（依赖具体区间），奇偶性是整体性质（依赖整个定义域关于原点对

称）.

反函数与原函数：反函数是“逆对应”关系，原函数的定义域=反函数的值域，原函数的值域=反函数的定

义域，二者图像关于yx对称.

分段函数与复合函数：分段函数是同一函数在不同区间对应关系不同，定义域为各区间并集；复合函数是

yf(g(x))的形式（函数套函数），定义域需满足内层函数值域与外层函数定义域的交集非空.

三、易错辨析（高频错误+规避方法）

1.忽略定义域致错

x2

错误示例：判断f(x)奇偶性时，未考虑x0，直接代入f(x)判断；求复合函数yx1x1

x

定义域时，误写为x1（正确应为x1，此处需注意：若为y(x1)(x1)，定义域为x1或x1）.

规避方法：所有函数问题先求定义域，尤其是判断奇偶性、求单调区间、求值域时，第一步必须明确定义

域范围.

2.对“唯一对应”理解偏差

错误示例：认为“多对一”对应不是函数，如yx2中，一个y对应两个x，误判为非函数.

规避方法：紧扣函数定义，函数要求的是“x到y的单值对应”，即一个x只能对应一个y，允许“多个x

对应一个y”，禁止“一个x对应多个y”.

3.奇偶性判定逻辑错误

错误示例：未验证定义域对称性，直接代入f(x)判断，如判断f(x)x奇偶性时，未注意定义域[0,)

不关于原点对称，误判为非奇非偶（虽结论正确，但逻辑缺失）；或判断f(x)x3,x[1,2]时，未发现

定义域不对称，误判为奇函数.

规避方法：判定奇偶性分两步：①先验证定义域是否关于原点对称，不对称则直接判定为非奇非偶；②对

称再验证f(x)与f(x)的关系.

4.反函数求解遗漏值域

错误示例：求yx2(x0)的反函数时，未求原函数值域[0,)，直接反解为xy，互换后写为yx

但未注明定义域x0，或误写为yx.

规避方法：严格遵循反函数求解四步流程，尤其注意“求原函数值域”是确定反函数定义域的关键，不可

遗漏.

5.复合函数单调性判断失误

错误示例：判断yx22x的单调性时，未拆分内外层函数，直接判断为“在[0,2]上单调递增”（正

确应为：内层ux22x在[0,1]递增、[1,2]递减，外层yu在[0,)递增，由“同增异减”得复合

函数在[0,1]递增、[1,2]递减）.

规避方法：判断复合函数单调性时，先拆分为“内层函数ug(x)”和“外层函数yf(u)”，分别判断

二者在对应区间的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性，同时注意定义域限制.

四、重点内容记忆清单（含常考结论）

1.核心定义记忆

函数本质：非空数集间的单值对应，两函数相等的充要条件是定义域与对应关系完全相同（值域由前两者

决定，无需额外判断）.

奇偶性核心：定义域关于原点对称是前提，再满足f(x)f(x)（偶）或f(x)f(x)（奇）.

反函数核心：仅一一映射函数有反函数，单调函数必为一一映射，故单调函数必存在反函数（反之不成立）.

2.常考结论记忆

定义域优先原则：所有函数问题的“第一步操作”，忽略定义域会导致后续所有判断失误.

奇偶函数运算性质：奇奇奇，偶+偶偶；奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇（注：运

算后定义域需关于原点对称，否则无奇偶性）.

单调函数性质：若f(x)在区间I上单调递增，则f(x1)f(x2)?x1x2(x1,x2I)；单调递减则反之，可

用于比较函数值大小或解不等式.

反函数衍生结论：原函数与反函数的单调性一致；若(a,b)是原函数图像上的点，则(b,a)必是反函数图像

上的点；原函数与反函数的交点要么在直线yx上，要么关于直线yx对称.

b4acb2

二次函数最值结论：对于yax2bxc(a0)，当a0时，在x处取最小值；当a0

2a4a

b4acb2

时，在x处取最大值；若在闭区间[m,n]上求最值，需比较顶点横坐标与区间[m,n]的位

2a4a

置关系（顶点在区间内则顶点为最值点，在区间外则区间端点为最值点）.

复合函数定义域结论：若yf(g(x))的定义域为[a,b]，则g(x)的值域即为yf(t)的定义域；反之，

若yf(t)的定义域为[c,d]，则yf(g(x))的定义域是g(x)[c,d]的x取值范围.

抽象函数单调性判定结论：若f(xy)f(x)f(y)且x0时f(x)0，则f(x)为增函数；若

f(xy)f(x)f(y)且x1时f(x)0，则f(x)在(0,)上为增函数.

分段函数奇偶性判定结论：需分别验证各分段区间内f(x)与f(x)的关系，且定义域需关于原点对称，所

有分段均满足奇偶性定义才为相应奇偶函数.

常见函数单调性结论：①一次函数ykxb(k0)：k0时在R上递增，k0时在R上递减；②反比

k

例函数y(k0)：k0时在(,0)和(0,)上递减，k0时在(,0)和(0,)上递增（注意：

x

不能说在定义域上单调）.

函数图像变换与性质关系结论：①yf(xa)是yf(x)左右平移，不改变单调性和奇偶性（平移后定

义域对称则奇偶性保留）；②yf(x)与yf(x)关于x轴对称，单调性相反，奇偶性相同；③yf(x)

与yf(x)关于y轴对称，单调性相反，奇偶性相同.

3.常用方法记忆

求定义域：列限制条件（分母≠0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等）→解不等式（组）→写出定义

域（区间/集合形式）.

证明单调性：取值（x1x2I）→作差（f(x?)f(x?)）→变形（因式分解、配方等）→定号（判断

差的正负）→下结论.

axb

求值域常用方法：单调性法、配方法（二次函数）、换元法、分离常数法（分式函数，如y）、

cxd

判别式法（二次分式函数）.

【考点1复合函数的定义域】

例1（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）函数的定义域是．

2�

【答案】�=ln�−1

【分析】由−题∞意, −可1得∪1, +∞，解出即可得.

2�

�−1≥1

【详解】由题意可得，则，

2�2�2�−�+1�+1

即�−，1≥解1得�−1−1=�−1=�−1.≥0

�+1�−1≥0

故答案为：�∈−∞, −1∪1, +∞

�−1≠0.

�∈−∞,−1∪1,+∞

变式1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数，则

1

22

.�(�)=2−�−�,�(�)=�+�−2

�【(�答)案⋅�】(�)=

1

2

【分析】先−求2−出�−函�数,�∈(−2,1)的定义域，进而求出的定义域，求出的解析式，即可得

出结论.�(�),�(�)��⋅����⋅��

【详解】，定义域均为，

2

�(�)=2−�−，�定=义域−为(�+2)(�−1)−2,1，

11

2

�(�)=�+�−的2=定(�义+2域)(�为−1)，(−∞,−2)∪(−2,1)∪(1,+∞)

∴��⋅��(−2,1).

1

2

故∴答�案�为⋅�：�=−2−�−�,�∈(−2,1)

1

2

【点睛】本题−考2−查�−函�数,�解∈析(−式2的,1求)解，根据已知先确定函数的定义域是解题的关键，容易被忽略，属于基

础题.

变式2．（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的

11�

定义域.��−2,2,�=���+�� �>1

【答案】

11

−2�,2�

【分析】解不等式组11可得．

−2≤��≤2

1�1

−2≤�≤2

【详解】因为函数的定义域为，所以11，又，故解得．

11−2≤��≤211

��−2,21�1�>1−2�≤�≤2�

故答案为：．−2≤�≤2

11

−2�,2�

【考点2抽象函数的定义域】

例2（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定

1

义域为.�=�2�+12,4��=�2�

【答案】

3

1,2

【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可.

【详解】由题意知.

13

故答案为：.�∈2,4,∴2�+1∈2,3⇒2≤2�≤3⇒1≤�≤2

3

1,2

变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域

1

为，值域为．�=��1,20,2�=��+1

【答案】

1

【分析】由抽象0函,1数定义域0,的2求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值

域.

【详解】因为的定义域为，

所以要使�=��有意义，则1,2，所以，

所以�=��的+定1义域为，1≤�+1≤20≤�≤1

�=��的+图1象是0的,1图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为．

1

故�=答�案�为+：1，�.=���=��+10,2

1

0,10,2

变式．（高一上上海单元测试）（）函数的定义域是；

224-25··10

(�+3)

��=�−�+lg1−�

（2）若，，则；

2

�−��+3

（3）若函��数=�+的3定�义�域为=�，�则�函⋅数��=的定义域为．

11�

【答案】��−2,2�（=���，+且��(�）>1)

11

【分析】（1）根−据∞幂,−函3数∪，−根3式,0，分式�和−对1数函�≠数−的3定义要�求≠求0解即可；−2�,2�

（2）根据分式定义域化简求解即可；

（3）根据抽象函数定义域求法解11即可.

−2≤��≤2

1�1

−2≤�≤2

【详解】（1）依题意，，解得且，

�+3≠0

�−�>0�<0�≠−3

所以定义域为

1−�>.0

（2）有意义−∞满,足−3∪−3,0，即，

有�意�义满足，�+3≠0�≠−3

�所以��≠0（，且）.

2

�−��+3

��⋅��=�+3⋅�=�−1�≠−3�≠0

（3）函数的定义域为，所以11，

11−2≤��≤2

��−2,21�1

−2≤�≤2

又，

故解�>得1，

11

所以定义−2域�为≤�≤2�.

11

故答案为：（1−）2�,2�；（2）（，且）；（3）.

11

−∞,−3∪−3,0�−1�≠−3�≠0−2�,2�

【考点3换元法求值域】

例3（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（）．

2

A．B．�=C2．−−�+4��∈0D,4．

【答案】−C2,21,20,2−2,2

【分析】由，得，再代入运算即可.

2

【详解】由�∈0,4，得−�+4�∈0,2，

22

所以�∈0,4−�+．4�=−(�−2)+4∈0,2

2

故选：�=C.2−−�+4�∈0,2

变式1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域；

2

�+�+1

（2）求函数的值域.�=�

【答案】（1�）=�+22−�；（2）

【分析】（1）函−数∞化,−成1∪3,+∞，结合均−∞值,不3等式分别判断、的最值，从而得出值域.

1

（2）由换元法将函数转换�=成�二+次�函+数1的值域问题.�>0�<0

【详解】（1），，

2

�+�+11

���≠0

当时，�==�++1，当且仅当时等号成立；

11

�>0�=�+�+1≥2�+�+1=3�=1

当时，，当且仅当时等号成立.

11

故函�<数0值域为�=−−�−�+1≤−；2−�⋅−�+1=−1�=−1

（2）函数定义−域∞为,−1∪，3令,+∞，则，故函数值域为

22

.�≤2�=2−�,  �≥0�=2−�+2�=−�−1+3≤3

（−2∞3-,234高一·上海·假期作业）函数的值域是

22

【答案】�=�+41−2�

1

【分析】设2,4，则，换元后求二次函数值域即可.

2

221−�

【详解】令�=1−2�，则�=2，

2

221−�

由和�非=负性1得−2到��=，2

2

 �≥00≤�≤1

则，

2

1−�121

可得�=原函2数+的4值�=域−为2�+4，�+2

1

故答案为：2,4

1

2,4

变式2．（25-26高三上·上海·月考）已知集合，，则

22

.�=�|�=�−2�−1�=�|�=−�+4�−5

�【∩答�案=】

【分析】首−先∞化,−简1集合、，再根据交集的定义计算可得.

【详解】因为��，又，

222

所以�=�|�=�−2�−1=R，�=−�+4�−5=−�−2−1≤−1

2

所以�=�|�=−�+4�−5=�|�.≤−1

故答案�∩为�：=�|�≤−1=−∞,−1

−∞,−1

【考点4常见函数的值域】

例4（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域：

(1)，；

2

(2)��=3�−�+2�；∈1,3

2

(3)��=−�．−6�−5

3�+1

【答�案�】=(1�)−2

(2)4,26

(3)0,2．

【分−析∞】,3（∪1）3判,+断∞函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解；

（2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解；

2

（3）利用分离常数法及反比例函数的性质−�计算−可6�得−.5

【详解】（1）因为，，

2

2123

所以在�上�单调=递3�增−，�+2=3�−6+12�∈1,3

又��，�∈1,3，

∴�函1数=4�3=26，的值域为．

2

（2）令��=3�−�+2，�即∈1,34,2，6解得，

2

所以−�−6�−5≥0的定�义+域1为�+5≤，0−5≤�≤−1

2

又∵��=−�−6�−5，−5∴,−1，

222

故−�−6�−5=−�，+3+4≤40≤−�−6�−5≤4

2

∴−�−6�−5∈0,2的值域为．

2

��=−�−6�−50,2

（3）因为，

3�+13�−2+77

又，�所�以=�−2=，�−2=3+�−2

7

∴函�−2数≠0�的�值≠域0为．

3�+1

��=�−2−∞,3∪3,+∞

变式1．（2024高三·上海·专题练习）求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；

22

2�−1�

22

（）�=�+1；（�）=�−1�=7−；（−�）+�+1．

4�−�56

10−10

�−�

【答案�】=（110）+10（�2=）�−2+�−3�（=3）�−2+3−�（4）（5）

5

（6）�∈[−1,2)�∈(−∞,0]∪[4,+∞)�∈7−2,7�∈(−1,1)�∈[1,+∞)

5

【分析�】∈（−1∞）,利4用反函数的性质求函数的值域；

（2）将函数变形为利用对勾函数的性质求函数的值域；

1

（3）根据二次函数的�=性�质−求1函+数�−的1+值2域；

（4）将函数变形为，求出的范围即可得函数的值域；

22

2�2�

（5）由函数的定义域�=及1函−数1的0单+1调性求1出0函+1数的值域；

（6）换元法，设，求二次函数在闭区间上的最值即得值域；

【详解】解：（1）3由−�=�，得．

2

2�−12

2

∵，∴�=．解�+不1等式(，2得−�)�=�+．1∴．

2�+1

2−�

（2�）≠2�=⩾0−1⩽�<2�∈．[−1,2)

222

�(�−1+1)(�−1)+2(�−1)+11

∵�=�−1=�−1=�−1，=�−1+�−1+2

1

∴�−1+�−1∈(−∞,−2．]∪[2,+∞)

（3�）∈∵(−∞,0]∪[4,+∞)，

2

215

∴−�+�+1=−，∴�−2+4．

255

（40）⩽由−�+�+1⩽，2得�∈7−2,7．

�−�2�2�

10−1010−110+1−22

�−�2�2�2�

∵�=10+，10∴�=10+．1=∴10+1=1．−10+1

2

2�2�

（51）0由+定1义>域1可知10+，1∈因(为0,2函)数单�调∈递(增−，1,1)

∴�．⩾∴3．

（�6）−设2+�−3⩾，1则�∈[1,+，∞且)．原函数可化为

2

3−�=��=3−�．�⩾0

22

�由=3−，�得−2+．�∴=−�+�+1．

55

�⩾0�⩽4�∈−∞,4

【点睛】本例给出了求值域的几种常用方法：涉及换元法、基本不等式法、有界函数法、单调函数法等．对

于第（4）小题也可用求得．对于第（1）小题也可用求得，或

2

2��+12�−1−3

22

者利用判别式法：原式10化为=1−�>0，即�=�+1=，2且+�+1∈．[−1,2)

2

(�−2)�+�+1=0�=−4(�−2)(�+1)⩾0�≠2

变式2．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数

2

．�(�)=�−2��+�(�>1)[1,�]

�【=答案】5

【分析】由题意得，解方程组可得的值.

�(1)=�

�,�

【详解】函数�(�)=1的对称轴方程为，

2−2�

所以函数�(�)=�−2��在+�(�上>为1)减函数，�=−2=�>1

2

又函数在�(�)=上的�值−域2�也�为+�[1，,�]

则[1,�，]即[1,�]，

�(1)=�12−2�2+�=�①

由①�(得�)：=1�，−代2�入②+得�=：1②，解得：（舍），．

2

把代�入=3�−1得：�．−3�+2=0�=1�=2

故答�=案2为：5．�=3�−1�=5

【考点5根据值域求参数范围】

例5（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范

2

围是．�∈��=��−2��+30,+∞�

【答案】

【分析】根�据≥给3定条件，求出函数值域包含的范围即可.

2

【详解】由函数�=的�值�域−为2��+3，得函数[0,+∞)�值域包含，

22

则�=��，解−得2��+3，[0,+∞)�=��−2��+3[0,+∞)

�>0

所以的取2值范围是�≥3

Δ=4�−12�≥0.

故答案�为：�≥3

�≥3

变式1．（23-24高三上·上海浦东新·月考）若函数的值域为，则的值为.

2

�+��−2

2

【答案】��=�−�+1−2,2�

【分析】设2，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值.

2

�+��−2

2

【详解】设�=�−�+1，可得��，�

2

�+��−22

2

由题意可知，�=关于�−�的+1方程�−1�−�+��+�+2=在0上有解，

2

��−1�−�+��+�+2=0�

若，可得，则；

若�=1，则−�+1�+3=0�≠−1，即，

222

由题�≠意1可知，�关=于�+的�二次−方4程�−1�+2≥03�−2�−的4两�根−为�+、8，≤0

22

�3�−2�−4�−�+8=0−22

由韦达定理可得2�−4，解得.

3

2=0

�+8�=2

综上所述，.−3=−4

故答案为：�.=2

2

【考点6复合函数的值域问题】

例6（23-24高一上·上海浦东新·月考）函数的值域为.

1

�

【答案】.�=3+2

1

【分析】利(0,用2)指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即求.

�

【详解】∵函数，3+2>2

1

�

∴函数的定义域为�=R3，+又2，

�

∴3>0

�

∴3+2>2,，即，

111

�

∴函0<数3+2<2的值�域∈为(0,2).

11

�

故答案为�=：3+2.(0,2)

1

(0,2)

变式1．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域

11

是（）�(�)[4,4]�(�)=�(�)+�(�)

A．B．

117

C．[4,4]D．[4,4]

1717

【答案】[0D,4][2,4]

【分析】利用换元法得到对勾函数，再根据单调性求最值，得值域即可.

1

【详解】令，则，�(�)=�+�

11

所以对勾函数�(�)=在��∈[4上,4单]调递�(减�)，=在�(�)=�+上�单调递增，

1

得当时取�得(�)最小�值∈[24，,1当]或4时取得�最∈大[1,值4]，故值域为.

11717

故选：�=D1.�=44[2,4]

【点睛】本题考查了复合函数的值域求法，考查了换元法，属于中档题.

变式2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）将函数中的自变量用替换，替换后所得的函数

与原函数的值域相同，则函数��可=以是�下列函数中�的�=��(只填序号).

�①�=��；②��；③；�④�.

�−�

【答�案�】=①③�④��=2��=3�−5��=2−1

【解析】根据题意求出的值域，依次将代入解析式与原函数的值域比较是

否相同可得答案.��=�����=����

【详解】函数的定义域为根据幂函数的单调性可知，函数的值域为，

因为��，=�0,+∞��=�0,+∞

对于�①：�=��，值域为，那么的值域也是与

1

2

�的�值=域相�同=，�故①正确0；,+∞��=��0,+∞

�对�于②=：�的值域为，那么的值域也是与

�

的�值�域=不2相同，故②0不,+正∞确；��=��0,+∞

�对�于③=：�的值域为，

若�，�则=3�−5无意义−，∞若,+∞，的值域也是

与��<0的值�域�相=同，�故�③正确；��≥0��=��0,+∞

对于��④=：�的值域为

−�

若�，�则=2−1无意义−，1若,+∞，的值域也是

与��<0的值�域�相=同，�故�④正确；��≥0��=��0,+∞

所以��正确=的�有：①③④

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先根据幂函数的性质判断的值域为，再利用基本

初等函数的性质逐一求①；②；③��=；④�0,+∞得值域，再计算

�−�

的值域即可.��=���=2��=3�−5��=2−1

��=��

【考点7换元法+方程组法+配凑法求函数解析式】

例7（23-24高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（）

A．B�．=�(�)�∈�

C．�(|�|−1)=|�+1|D．�(|�−1|)=|�+1|

22

【答案】�C�+2�=|�+1|��−1=|�+1|

【分析】根据函数的定义即可求解.

【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应.

对于选项A：�∈���=��

若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误；

�=−1�(0)=0�=1�(0)=2

对于选项B：

若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误；

对于选�=项0C：�(1)=1�=2�(1)=3

令，，

22222

所以�=�+1≥0�+2，�即=�+2�+1−，1=�+1−1=|�+1|−1=�−1

22

令��+2，�则=有|�+1|�(�，−1即)=�，

2

所以�存−在1=这�样的函数�(�)=�，+1C选项�正(�确)；=�+1

对于D选项：�=�(�)

若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误；

故选：�=C−.1�(0)=0�=1�(0)=2

变式1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求

的解析式；��3�(�+1)−2�(�−1)=2�+17��

（2）已知，求的解析式；

11

2244

（3）若对任�意�实+数�x，=均�有+���，求的解析式.

【答案】�(�)−2�(−�)=9�+2��

（1）

（2）�(�)=2�+7(�∈R)

2

（3）�(�)=�−2(�≥2)

【分析�】(�)根=据3求�函−数2(�解∈析R式)的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）

小题.

【详解】（1）（待定系数法）∵是一次函数，可设＝＋，

由题可知：��，�即(�)���(�≠0)，

因为，3所[�以(�+1)+�]−2，[�解(�得−1)+�].=2�+17��+(5�+�)=2�+17

�=2�=2

所以函�∈数R的解析式为

5�+�=17�=7.

（2）(配凑�法�)＋�(�)=2�+7(�∈R)，

1112

224422

���

又��，=�+=�+−2

211

222

���

当且�仅+当≥2，·即=2时等号成立.

1

22

设�=，�则�