2026年高一数学寒假自学课（沪教版）专题01 指数对数运算+指对幂函数的图像与性质 （解析版）

专题01指数对数运算+指对幂函数

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重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点：

（一）指数运算

1.实数指数幂的定义

正整数指数幂：anaaa（n个a相乘，n*）

零指数幂：a01（核心限制：a0）

n1

负整数指数幂：a（a0，n*）

an

m

m11

*n

分数指数幂：当，且时，nm；am（注：时，分数指数

a0m,nn1ananma0

ana

1

幂不一定有意义，如(2)2无意义）

2.根式的核心性质

(na)na（n*，n1；n为偶数时，需满足a0）

nan的化简：n为奇数时，nana；n为偶数时，nan|a|

3.指数运算法则（核心公式）

对任意正数a,b，任意实数s,t，有：

asatast

(as)tast

(ab)tatbt

（二）对数运算

1.对数的定义（指数与对数互化核心）

x

如果aN（其中a0，a1，N0），则xlogaN.

常用对数：lgNlog10N

自然对数：lnNlogeN（e2.71828）

2.对数的基本性质

负数和0没有对数（真数N0）

loga10；logaa1

x

对数恒等式：logaN；

aNlogaax

3.对数运算法则

若a0，a1，M0，N0，则：

loga(MN)logaMlogaN

M

loglogMlogN

aNaa

n（）

logaMnlogaMn

4.换底公式及推论

logcb

换底公式：logab（a,c0且a,c1，b0）

logca

nn

推论：logbloga1；logmblogb（m0）

abama

（三）指对幂函数的图像与性质

1.指数函数：yax（a0，a1）

核心性质当a1时当0a1时

定义域（全体实数）（全体实数）

值域(0,)（正实数集）(0,)（正实数集）

单调性在上单调递增在上单调递减

定点过定点(0,1)过定点(0,1)

奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数

2.对数函数：ylogax（a0，a1）

与指数函数yax互为反函数，图像关于直线yx对称.

核心性质当$a>1$时当0a1时

定义域(0,)（正实数集）(0,)（正实数集）

值域（全体实数）（全体实数）

单调性在(0,)上单调递增在(0,)上单调递减

定点过定点(1,0)过定点(1,0)

奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数

3.幂函数：yx（，重点研究有理数）

核心共性：过定点(1,1)

1

定义域与值域：由决定（例：1时定义域；时定义域[0,)；1时定义域{x|x0}）

2

单调性：0时，在(0,)上单调递增；0时，在(0,)上单调递减

1

奇偶性：由决定（例：1、1为奇函数；2为偶函数；非奇非偶）

2

二、核心概念比较（易混淆点区分）

（一）指数函数vs幂函数

对比维度指数函数yax（a0，a1）幂函数yx（）

解析式核心差异底数a为常数，指数x为变量底数x为变量，指数为常数

1

底数/变量限制底数a必满足a0且a1变量x的限制由决定（如时x0）

2

图像共性过定点(0,1)过定点(1,1)，第一象限必有图像

（二）指数函数vs对数函数

x

对比维度指数函数ya（a0，a1）对数函数ylogax（a0，a1）

核心关系互为反函数，图像关于直线yx对称

定义域与值

定义域，值域定义域，值域

域(0,)(0,)

同底数下单调性一致：递增，同底数下单调性一致：递增，

单调性a10a1a10a1

递减递减

定点过(0,1)过(1,0)（定点关于yx对称）

三、易错辨析（高频易错点汇总）

（一）指数运算易错点

1.忽略零指数、负指数前提：如误认00有意义，或(a2)01未考虑a2.辨析：非零数的零指数幂为1，

负指数幂是倒数，底数必不为0.

2.根式化简混淆奇偶指数：如(3)23的错误.辨析：偶数根结果非负，奇数根结果与被开方数符号一

致.

1m

3.分数指数幂滥用：如2的错误.辨析：n为偶数时需，否则无意义.

(4)2ana0

（二）对数运算易错点

1.忽略真数正性：如求loga(x1)定义域时未强调x10.辨析：真数必为正数，是对数定义的核心前提.

2.滥用对数运算法则：如loga(MN)logaMlogaN的错误.辨析：运算法则仅适用于积、商、幂，

不适用于和、差.

3.换底公式遗漏限制：如未注意新底数c0且c1.辨析：新底数需满足对数底数的通用限制，保证对数

有意义.

（三）函数性质易错点

1.混淆指幂函数形式：如误将y2x当作幂函数.辨析：变量在指数上为指数函数，在底数上为幂函数.

2.对数函数单调性判断错误：如认为“底数越大越递增”.辨析：单调性由底数范围决定，a1递增，0a1

递减.

1

3.幂函数定义域判断错误：如误将yx2定义域视为.辨析：定义域由决定，需结合根式意义分析.

四、重点记忆内容（必背核心）

（一）核心公式

1.指数运算法则：asatast、(as)tast、(ab)tatbt（a,b0，s,t）

M

2.对数运算法则：log(MN)logMlogN、loglogMlogN、logMnnlogM

aaaaNaaaa

（a0,a1，M,N0）

logb

c

3.换底公式：logab（推论：logablogba1）

logca

（二）关键性质

1.指数函数yax：过(0,1)，值域(0,)，单调性由a决定.

x

2.对数函数ylogax：过(1,0)，定义域(0,)，与ya互为反函数.

3.幂函数yx：过(1,1)，单调性由符号决定.

（三）解题核心要点

1.运算前先判断底数、真数限制条件（如a0、N0）.

2.比较函数值大小：同底数用单调性，不同底数用中间值（0或1）过渡.

3.解决函数问题：优先考虑定义域，再分析单调性、奇偶性.

【考点1指数的运算与化简】

例1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知，求和的值；

3�−2�

���+�2

（2）正实数满足，求和10=2, 10=310的值1．0

1133

2−22−22−2−1

【答案】（1）�6；�−（�2）7=；1�+��−��+�−6

22

【分析】（1）直接3由指数幂的−运1算2可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，

−12−2

由立方差的公式可求�+�=3�+�

33.

22−1

【详解】（1）�−��+�；−6

�+���

10=10⋅10=6.

3�−2�333

22�−��2�−12−122

（102）因=为1正0实数=满1足0⋅10，=所2以⋅3=3，

11112

2−22−2−1−1

所以��−�=1，�−�=�−2+�=1⇒�+�=3

2−2−12

�+�=�+�−2=7

3311.

2−2−12−2−1−1

�−��+�−6=�−��+1+��+�−6=1×4×−3=−12

变式1．（25-26高一·上海·假期作业）已知，求：

1

(1)；�+�=22

1

(2)�−�．

1

33

【答�案+】�(1)

(2)±2

【分析】（）利用完全平方公式进行求解；

1021

（2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解.

【详解】（1）因为，所以

112111

2222

即，�+�=22.�+�=�+2�⋅�+�=�+2+�=8

11

2222

�+2+�=8�+�=8−2=6.

12111

2222

因�为−�=�−2，�所⋅�以+�=�−2+�，则.

1121

22

（2）�+�=6�−�=6−2=4�−�=±.4=±2

111111

332222

已知�+�=�+��−，�所⋅�以+�=�+��−1+�.

111

2233

�+�=22,�+�=6�+�=22×(6−1)=22×5=102

变式．（高一上上海嘉定期中）已知实数，，化简：2111

224-25··3223.

2��−6��

15

�>0�>066

【答案】3��=

【分析】根−4据�指数幂运算即可得到答案.

【详解】2111

3223.

2��−6��211115

3+2−62+3−6

15

66

故答案为：3�.�=−4��=−4�

−4�

【考点2对数的运算性质】

例2（25-26高一上·上海松江·期中）若方程的两根为、，则

2

．�+�log26+log23=0��

1�12�

【4答案⋅】2=

【分析】利36用韦达定理结合对数恒等式可求得结果.

【详解】因为方程的两根为、，由韦达定理可得，

2

222

故�+�log6+log3=0.���+�=−log6

�2�2�+�−2log26

1111log236

故答4案为⋅：2=.2=2=2=36

36

变式1.（25-26高一上·上海·期中）、为正实数，若，，则的最小值

�2�2211

为．���=�=3�+�−��+3=0�+�

【答案】

【分析】由2条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得

1111

�2���

即可求解.�=3,�=3�=3,�=3�+�−��+3=0

�【�详≥解9】由，得，

11

�2��2�

所以�=�=3�=3,�=3，

1111

22����

令�+�−��+3=3，+则3−33+3=0，

1111

��33

所以�=3>0,�=3，>0�=log�,�=log�

11

且�+�=log3��，且，

解得�+：�−��+，3即=0≥2，��当−且�仅�+当3�，�即>0时取等号，

所以��≥3��≥，9�=��=�

11

��3

即+的最=小lo值g为��2，≥2

11

�+�

故答案为：2

变式2.（25-26高一上·上海·期中）若实数，满足，，则.

��123

【答案】��7=911=27�−�=

【分析】通log过37对7数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运

算法则求解.��

【详解】由，得，故.

�221

77�2log73log733

由7=9，得�=log9=2log3，=故==log7.

�1−3−3331

1111�−3log113log1133

因此11，=27=3�=log3=−3log3==−=−lo.g11

23

故答案为�−：�=log37−(−log311)=log37+log311=log3(7×11)=log377

log377

【考点3换底公式】

例3.（25-26高一上·上海·期中）已知，，用，表示．

�

【答案】lg2=�10=3��log1240=

1+2�

【分析】应�+2用�指对数运算得出，再应用换底公式计算求解.

【详解】因为，�，=所lg3以，

�

所以lg2=�10=3�=，lg3

lg40lg10+lg41+2lg21+2�

12

所以用log，40表=示lg12=lg3+lg4=�，+2lg2=�+2�

1+2�

12

故答案为�：�.log40=�+2�

1+2�

�+2�

变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知均为正实数，若，则的值为.

�����+2�

2

【答案】1�,�,�3=4=6log��

【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解

即可.�,�,��,��

【详解】对同取对数可得，

�����

结合换底公式3可=得4=6log2，3=2�=log26

即�⋅log23=2，�=�log26

��+2�2�⋅log62⋅2�⋅log32+2�

2

363

�=2�⋅log2,�=2�⋅log2��=2�⋅log2=，

2log62log32+1

log3266266

故=2log2+.log2⋅log3=2log2+log3=2

��+2�

22

故答log案为�：�1=log2=1

变式2.（25-26高一上·上海松江·期中）已知实数，，满足：

��

(1)若满足方程：，求的值；���4=8=�

2

(2)若�，求�的+值�.−12=0�

11

【答案2�】+(�1=)2�

1

(2)�=2log23

【分析】（）先根据一元二次方程求出，然后根据指数和对数的互换求出

�=41.

（2）根据指数和对数的互换和对数的性质�进行求解即可.�

【详解】（1）因为满足，所以，

2

解得或�.�+�−12=0�+4�−3=0

因为�=−4�=3，所以.

��

所以4=8=�>0.�=3

1

42

（2）�因=为log3=2log3，所以.

��11

4282

因为4=，8所=以�>0�=log�.=2log�,�=log�=3log�

11134

所以2�+�=2，所以log2�+.log2�=log2�=2

log2�=2�=4

【考点4幂函数的定义域值域问题】

例4.（24-25高三上·上海·月考）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有

1�

可能取值组成的集合为．�∈−1,0,2,1,2,3�=��

【答案】

1

【分析】根−据1,幂2,函1,3数的性质一一验证即可.

【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意,

1

当时,�=−1,其定�义=域�为(,−值∞域,为0)∪(,不0,符+合∞)题意,

0

当�=0时,�=�,其定义域和值(−域∞均,为0)∪(0,+∞,符)合题意,{1}

1

当�=2时�,=�,其定义域和值域均为[R0,,符+合∞题)意,

当�=1时,�=�,其定义域为R,值域为,不符合题意,

2

当�=2时,�=�,其定义域和值域均为[R0,,符+合∞题)意,

3

综上�=当3幂函�数=的�值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为.

1

故答案为:.−1,2,1,3

1

−1,2,1,3

变式1.（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值．

2

−�+2�+3

【答案】0或1或2�=��R�

【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解.

2

−�+2�+3>0

【详解】若幂函数的定义域为，

2

−�+2�+3

则�=，�得，且R，

2

所以−�+2�+.3>0−1<�<3�∈Z

�=0,1,2

变式2.（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为．

�2

【答案】�=�2,2

【分析】代0,入+点∞可得，结合即可得函数值域.

1

【详解】将点代�入=�可得�>0，即，

1

2��2−21

可得2,，2�=�2=2=2�=−2

1

−21

因为�=�，=可得�，所以该幂函数的值域是.

1

故答案�为>：0�.=�>00,+∞

0,+∞

【考点5幂函数的单调性奇偶性】

例5.（25-26高一上·江苏南通·期中）若幂函数为偶函数，且在区间上递增，

2

�+2�−3

则.��=��∈�−∞,0

【答�案=】

【分析】由−1函数为幂函数、且为偶函数和在区间上递增求出即可.

【详解】因为函数为幂函−数∞，,0且在区间上递增，

2

�+2�−3

所以为�偶�数=且��∈�，−∞,0

22

解得：�+2�−3，又�，+2�−3<0

所以可−3能<为�：<1�，∈�

当�时，−2,−1,0不满足题意，

22

当�=−2时，�+2�−3=−2+2×−2−3=−3满足题意，

22

当�=−1时，�+2�−3=−1+2×−1−不3满=足−题4意，

22

故答�案=为0：�.+2�−3=0+2×0−3=−3

−1

变式1.（25-26高一上·上海闵行·期中）已知幂函数，且在上为严格

233

2�+2�−4

增函数.�(�)=(�+3�+3)�(0,+∞)

(1)求函数的解析式；

(2)若�(�)，求的取值范围.

【答案�(】�+(1)1)<�(3−；2�)�

1

4

(2)�(.�)=�

2

−1≤�<3

【分析】（1）利用幂函数的定义及性质列式求解.

（2）由（1）的结论，结合单调性列出不等式组求解即得.

【详解】（1）由幂函数在上为严格增函数，

233

2�+2�−4

(0,+∞)

得，解�(得�)=(�，+3�+3)�

2

�+3�+33=1

2�=−2

所以�函数+2�−的4解>析0式为.

1

4

（2）由（�1(�）)知�的(�定)=义域�为，又在上单调递增，

1

4

不等式�(�)=�[0,+∞)�，(�)解得[0,+∞)，

2

所以的�取(�值+范1)围<是�(3−2�)⇔.0≤�+1<3−2�−1≤�<3

2

�−1≤�<3

变式2.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，．

2

�−4�

(1)求；�(�)=���(2)>�(3)�∈�

(2)若�，求的取值范围．

【答案�(】�+(1)22)；<�(1−2�)�

(2).

111

【分(−析3】,2（)1∪）(由2,3)，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值.

（2）由（1）求出�(2)>，�(再3)利用单�(调�)性及偶函(0数,+性∞质)求解不等式.�∈Z�

【详解】（1）由�(�)，得幂函数在区间上单调递减，

则，�解(2得)>�(3)，又�(�，)则m的(0值,+为∞)，

2

由�−的4图�象<关0于轴对0称<，�函<数4�∈Z为偶函数，1则,2,3为偶数，

2

�−4�2

所以�(�).��(�)=��−4�

（2）�由=（21）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调

−4

递减，�(�)=�(−∞,0)∪(0,+∞)�(0,+∞)

不等式，则，

解得�(�+2)或<�(1−2�)，⇔所�以(|�的+取2|值)<范�围(|是1−2�|)0<|.2�−1|<|�+2|

111111

−3<�<22<�<3�(−3,2)∪(2,3)

【考点6指数函数的定点问题】

例6.（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点.

�+2025

【答案】�=�+2027�>0,�≠1

【分析】由−2025,2，02将8代入函数表达式，计算即可求解.

0

【详解】对于�函=数1�=−2025，

�+2025

令，得�=�，+2027�>0,�≠1

所以�=函−数2图02象5恒过�定=点2028.

−2025,2028

故答案为：

−2025,2028

变式1.（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒

�−2

经过一个定点，则这个点的坐标为.�>0�≠1��=�+2

【答案】

【分析】令2,3，得到定点的横坐标，代入求出纵坐标即可.

【详解】令�−2=0，得到；当�=时2，，

0

所以函数�−2=0的图像�恒=经2过定�点=2.�=�+2=3

�−2

故答案为：�=�+22,3

2,3

变式2.（24-25高一下·上海·月考）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过

�

定点，则的坐标是．�>0�≠1��=�−2

【答案�】�

【分析】根0,据−指1数函数的性质计算可得.

【详解】因为函数（且）恒过点，

�

所以函数�（=��且>0�）≠恒1过点0,，1即.

�

故答案为：�=�−2�>0�≠10,−1�0,−1

0,−1

【考点7指数型函数的定义域】

例7.（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

(1)；

�

(2)�=2；−1

1

�−4

(3)�=5．

1−2�

【答�=案】3(1)−9

(2)0,+∞

(3)−∞,4∪4,+∞

1

【分−析∞】,−（21）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；

（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解；

【详解】（1）由题意，，，所以定义域为；

��

（2）由题意2，即−1≥0，所2以≥定1义�域≥为0[0,+；∞)

（3）由题意�−4≠0，�即≠4，(−∞,，4)∪(4,+，∞所)以定义域为．

1−2�1−2�211

3−9≥03≥31−2�≥2�≤−2(−∞,−2]

变式1.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；

2�

（2）指数函数的图像经过，当�时=函�数−值2为�．�

�1

�=�(�>0)−2,16�=1

【答案】4

【分析】对于（−1）∞，,1运−用2指数∪函1数−限2制,0条∪件列2,不1+等式2求∪解；1+2,+∞

对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解.

【详解】（1）已知指数函数�=，1则，且，

2�22

解得或，且�=，�−2��−2�>0�−2�≠1

实数�<的0取值�范>围2是�≠1±2.

（2）�代入指数−∞函,数1−2∪1−，2,得0∪2,1+，解2得∪1+（2负,+值∞舍去），

1�−21

所以解−析2式,16，当�时=，�(�>.0)�=16�=4

�

故答案为：�=4�=1�=4；4．

−∞,1−2∪1−2,0∪2,1+2∪1+2,+∞

变式2.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

(1)；

3−�

(2)�=2.

1

【答案】�

�=0.1(1)

(2)(−∞,3]

【分(−析∞】,0利)用∪指(0数,+型∞函)数定义域的求法即可得解.

【详解】（1）对于，有，解得，

3−�

故的定义域�为=2；3−�≥0�≤3

3−�

（�2）=对2于，有(−∞，,3即]，

11

�

故�的=定0义.1域为�≠0�≠0.

1

�

�=0.1(−∞,0)∪(0,+∞)

【考点8指数型函数的单调性】

例8（25-26高三上·上海·期中）已知函数�，满足对任意，都有

��1−��2

1�,�<0

��=�1≠�2�1−�2<

成立，则的取值范围是.7−��+4�,�≥0

0【答案】�

11

【分析】根7据,4分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可.

【详解】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减，

��1−��2

�1≠�2�1−�2<0R

则，解得，

01<�<111

7−�<07<�≤4

故答案1为≥：4�.

11

7,4

变式1.（25-26高一上·上海静安·月考）若函数2在上严格减，则的取值范围

−�+���,�>1,

��=���

是.3,�≤1

【答案】

3

【分析】根0据,2分段函数的单调性结合指数函数、二次函数的单调性列不等式组即可解得的取值范围.

�

【详解】因为函数2在上严格减，

−�+���,�>1,

��=��

3,�≤1

�

所以，解得，则的取值范围是

2≤1.

�33

0<3<10<�≤2�0,2

2�

故答案−为1：+�≤.3

3

0,2

变式2（.2023高一上·上海·专题练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有

�

，则的值为．��R�∈R���−3=

4【答案�】2

【分析】依10题意可得为一个常数，令这个常数为，即可得到，，从而求出，

��

即可得到解析式�，�从而−3代入计算可得.���−3=���=4�

【详解】�函�数在定义域上是单调函数，且，

�

∵为一�个�常数，R���−3=4

�

∴令�这�个−常3数为，

则有�①，②，

�

由①�得�−3=�③，��=4

�

由②得��=�+，3

�

因为3+�=4在定义域上单调递增，且