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文档简介

重难点突破05“四心”的向量表示与奔驰定理+等和线

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材·学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识:核心题型举一反三精准练

第二步:记

串知识·识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测·稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1:必备核心知识

1.三角形四心的定义与向量表达

(1)重心(G)

定义:三角形三条中线的交点,也是重心(质量均匀时的受力中心)

1

核心向量性质:GAGBGC0(充要条件);OG(OAOBOC)(O为平面内任意点)

3

x1x2x3y1y2y3

坐标性质:若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则G,

33

比例性质:重心分中线比为2:1(AG:GD2:1,D为BC中点);重心到顶点距离是到对边中点距离的2

(2)外心(O)

定义:三角形三条垂直平分线的交点,也是外接圆圆心

核心向量性质:|OA||OB||OC|R(R为外接圆半径,充要条件);(OBOC)BC0(垂直平分

线性质)

坐标性质:外心是垂直平分线的交点,可通过求两条垂直平分线方程联立求解

特殊三角形:直角三角形外心在斜边中点,锐角三角形外心在三角形内,钝角三角形外心在三角形外

(3)内心(I)

定义:三角形三条角平分线的交点,也是内切圆圆心

bc

核心向量性质:AIABAC(a、b、c分别为BC、AC、AB的边长,充要条件);

abcabc

aIAbIBcIC0

ax1bx2cx3ay1by2cy3

坐标性质:I,(加权平均坐标)

abcabc

BDAB

比例性质:内心到三边距离相等(等于内切圆半径r);角平分线分对边比为邻边比(,D为

DCAC

BC上的内心投影)

(4)垂心(H)

定义:三角形三条高线的交点

核心向量性质:HABC0、HBAC0、HCAB0(高线垂直性质,充要条件);

OHOAOBOC(欧拉公式推论,O为外心)

特殊三角形:直角三角形垂心在直角顶点,锐角三角形垂心在三角形内,钝角三角形垂心在三角形外

欧拉关系:欧拉公式OH29R2(a2b2c2),锐角三角形中H在内部,O在内部,G在OH上且

OG:GH1:2

2.奔驰定理(面积与向量关系)

核心公式:对于平面内任意一点P,若A、B、C不共线,则(点P

SPBCPASPACPBSPABPC0

在ABC内部)

拓展公式(点P在外部):对应区域面积取负,即(具体符号由P

SPBCPASPACPBSPABPC0

所在区域决定)

简化应用:若P为特殊点(四心),可直接代入得四心的向量性质(如重心时SPBCSPACSPAB,即得

PAPBPC0)

3.等和线定理(向量系数和问题)

定义:在平面内,若OPxOAyOB(OA、OB为不共线基底),则所有满足xyk(k为常数)

的点P都在过点O且与AB平行的直线上,该直线称为“等和线”

核心结论:

当等和线过O点时,k0,此时P与O重合,OP0

当等和线过A点时,k1,此时y0,OPOA

当等和线过B点时,k1,此时x0,OPOB

等和线与AB平行,且k的值与等和线到O点的距离成正比(k越大,距离越远,同向时k为正,反向时k

为负)

知识点2:必备实用解法

1.四心问题解题方法

(1)重心问题:坐标法+向量分点法

步骤:①若已知三点坐标,直接用重心坐标公式求解;②若已知向量关系,利用GAGBGC0转化为

1

目标向量;③涉及中线比例时,用分点公式AD(ABAC)(D为BC中点)

2

名师技巧:强调“重心问题优先建系”,通过坐标将向量问题转化为代数计算,降低抽象性

(2)外心问题:垂直向量法+距离公式法

步骤:①利用垂直平分线性质,列向量垂直方程(如(OBOA)AB0);②若已知边长,用距离公式

|OA||OB|列方程;③直角三角形直接用斜边中点为外心的性质快速求解

技巧总结“外心问题关键抓垂直与等距”,优先处理特殊三角形(直角、等腰)

(3)内心问题:角平分线定理+加权向量法

bc

步骤:①已知边长时,用角平分线定理求分点比例,再用向量分解AIABAC;②

abcabc

涉及内切圆半径时,结合面积公式Srp(p为半周长)关联向量条件;③建系时用内心坐标公式直接代

入计算

名师技巧:推荐“内心问题用加权向量快速定位”,避免复杂的角平分线方程求解

(4)垂心问题:垂直向量点积法+欧拉公式法

步骤:①核心是利用HABC0,将高线转化为向量点积为0的条件;②已知外心时,用欧拉公式

OHOAOBOC快速关联垂心与外心;③直角三角形直接用直角顶点为垂心的性质

技巧总结“垂心问题优先找垂直向量”,避免直接求高线方程的繁琐计算

2.奔驰定理解题方法

步骤:①判断点P与ABC的位置关系(内部/外部),确定面积符号;②将已知向量关系与奔驰定理公式

对比,建立面积比例关系;③利用面积比例求解未知量(如点的坐标、向量系数)

名师技巧强调“奔驰定理是面积与向量的桥梁”,遇到三角形内点的向量系数问题,优先想到奔驰定理,

可快速简化计算

简化应用:若已知mPAnPBpPC0,则SPBC:SPAC:SPABm:n:p

3.等和线定理解题方法

步骤:①确定基底OA、OB(不共线),将目标向量OP表示为xOAyOB的形式;②找到对应xyk

的等和线,分析等和线的平移方向(同向/反向);③根据图形边界条件(如点P在某线段上),确定k的

最值或取值范围

名师技巧:总结“等和线解题三步骤:定基底、找等和线、求k范围”,遇到向量系数和问题,直接用等

和线平移法,无需复杂代数运算

拓展技巧:若基底不是从O点出发,先将向量转化为共起点基底(如APxAByAC,可转化为

OP(1xy)OAxOByOC,此时xy1(1xy),等和线对应1xyk)

知识点3:常见实际误区

1.四心向量表达式混淆

误区:将重心的GAGBGC0与内心的aIAbIBcIC0混淆,忽略内心表达式中的边长权重;

将垂心的HABC0错记为HAHB0

规避:结合定义记忆,重心是平均向量(无权重),内心是加权平均(权重为边长),垂心是高线垂直(对

应边的向量点积为0);用特殊三角形验证(如等边三角形四心重合,代入表达式验证)

2.奔驰定理符号错误

误区:忽略点P的位置(内部/外部),统一用正面积代入公式,导致结果错误;将奔驰定理中的面积比例

与向量系数比例搞反

规避:先画图判断P在ABC内部还是外部,内部所有面积为正,外部对应区域面积为负;牢记“向量系

数比等于对应面积比”(m:n:pSPBC:SPAC:SPAB)

3.等和线基底与方向错误

误区:等和线定理应用时,基底不共起点仍直接套用公式;混淆等和线的k值符号(同向为正,反向为负);

忽略点P的边界限制,导致k范围求解错误

规避:应用等和线前,务必将向量转化为共起点基底;通过图形判断等和线与基底的方向关系,确定k的

符号;结合题目中“点P在某线段上”“在某三角形内”等条件,确定等和线的平移边界

4.特殊三角形四心性质误用

误区:将直角三角形的外心(斜边中点)错记为直角顶点;将钝角三角形的外心、垂心当成在三角形内部;

忽略等边三角形四心重合的性质,进行复杂计算

规避:牢记特殊三角形四心位置:直角三角形外心在斜边中点、垂心在直角顶点;锐角三角形四心均在内

部;钝角三角形外心和垂心在外部;等边三角形四心重合,可直接用重心性质求解

5.向量点积与垂直关系混淆

误区:在垂心问题中,将HABC0错写为HAHB0;忽略向量点积为0是垂直的充要条件,仅用几

何直观判断垂直,导致漏解

规避:明确“高线垂直”是顶点与对边的垂直,对应向量是“顶点到垂心的向量”与“对边向量”的点积

为0;所有垂直关系均需转化为向量点积为0的代数条件,避免几何直观的误差

【题型1重心】

例1.在中,边长为4,为的中点,长为,点、分别为的重心和外心,则

△𝐴�.�������22��△𝐴�

【答案】

��⋅��=4

【分析】利用重心性质表示出,利用向量数量积定义即可求得结果.

1

【详解】因为为重心,则有��=3��+��,

2211

又为外心,故�在方向上�的�=投3影�向�量=为3×2�,�且+��在=3方�向�上+的��投影向量为,

11

根据�数量积的几�何�意�义�得2������2��

1212

故��⋅��=2��,��⋅��=2,��

22

1��⋅��+��⋅����+��

又因��为⋅��=3��+��⋅��=3,两式=平方相6加得,

2222

故2��=��+,所�以�,��=��−.����+4��=2��+��=48

22

故答��案+为�:�=24��⋅��=4

4

例2.已知所在平面内的动点满足,且实数,形成的向量与

1

2

向量△共�线�,�则动点的轨迹必�经过��=的�(��+)�𝐴���=�−,��=

−1A,2.垂心B.�内心△𝐴C�.外心D.重心

【答案】D

【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线,经过整理得到,将

1

其代入,经过整理得到�,=�−2,��=−1,2,利用向量减法的三角形�法=则1得−到2�

��=���+���,取的中点�,�由−向�量�=加�法�的�平−行2�四�边形法则得到,将其�代�入=

���−��=��得�+到����,动点�的轨迹必经过的重心.��+��=2��

�【�详=解�】��+���与�=2𝐴�向量共�线,故△𝐴�,

11

即�=,�解−得2,��=−,1,22�−2+�=0

将2�+�=1代入�=1−2�,得到,

即�=1−2���=���,+所�以����=���+1−2���,

取��的−中�点�=,�则�有�−2����,=���−��=���+��

故���,所以�动�点+��的=轨2迹�必�经过的重心.

��=2𝐴��△𝐴�

故选:D.

变式1.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,则点

的轨迹一定通�过的().�,�,����=��+���+���

A.外心△𝐴�B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算,结合向量共线及三角形重心性质即可判断.

【详解】由,得,

设边��的=中�点�+为�,��则+����=�,��+��

1

所以△𝐴���,因此�三��点=共2线�,�+��

所以点��=的2轨�迹��一定通过�,�,�的重心.

故选:�C.△𝐴�

变式2.已知,为平面内任意一点,动点满足,则

点的轨迹一定△经𝐴过�(�)�5��=2+���+2+���+1−2���

�A.的内心B.的垂心

C.△𝐴�的重心D.△𝐴�的外心

【答案】△C𝐴�△𝐴�

【分析】取中点为,根据向量的线性运算,以及共线定理,即可判断.

【详解】先设𝐴的中点�为,则,

𝐴�2��=��+��

又因为,

而5��=2+���,+2+���+1−2���=4+2���+1−2���

由三4点+共2�线+的充1要−2条�件=知5三点共线,

则点的轨迹一定经过�,�的,�重心.

�△𝐴�

故选:C.

【题型2外心】

例1.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,,

2

O为△�的��外心,则的值为()2�cos�+2�cos�=��cos�+3�sin�=�+�

A△.𝐴�B�.�⋅��C.D.

232322

【答案】−C33−33

【分析】利用正弦定理边角互化,再利用辅助角公式求解即可.

【详解】∵,由正弦定理,

2

得2�cos�+2�cos�=�,

即2sin�cos�+2sin�co,s�=�sin�,,

而2sin�+,�所=以�sin�,∴2sinπ−�=�sin�∴2sin�=�sin�

∵sin�≠0�=2,

由正�co弦s�定+理,3�得sin�=�+�,

∴sin�cos�+3si,n�而sin�=sin,�+�+sin�

∴3sin�sin�−cos�s,in∴�=sin�sin�,≠0

π

因为3sin�−co,s�所=以12sin�−,6=,1,∴.

ππ5ππππ

66666�=3

设�∈的0,外π接圆半径�为−,∈则−∴�−=,

�24

3

2�=sin�==33

∴△𝐴�,而�,2

22π

∴�=33∠���=3,

22π412

故选𝐴:⋅C��=�cos3=3×−2=−3

例2.设是平面上一定点,是平面上不共线的三点,动点满足

����

,�则动点的轨迹一定�,通�,过�的().���=��+���cos�+��cos�,�∈

0,+A.∞外心�B.内心△𝐴�C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】根据数量积的运算可得,进而根据可得,结合垂线的定义即可求解.

��⋅��=0��⊥��

【详解】,

𝐴⋅����⋅��→→

��⋅��=��⋅��+�+=��⋅��+�−��+��=��⋅��

𝐴cos���cos�

则,即,

故��⋅��−,�即�点⋅��的=轨0迹经过��⋅��=的0垂心.

故选��:⊥D���△𝐴�

变式1.设是所在平面内的一点,若,且,则点是

的()�△𝐴���⋅(��+��)=2��⋅��|��|=|��|�△𝐴�

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】取中点D,根据条件化简得,所以点P在中垂线上,所以,所以

为三边中垂𝐴线交点,即为的外心�.�⊥��𝐴��=��=��

�【详解】△𝐴�

如图,取中点D,

𝐴.

∴��+��=2��,

∵��⋅(��+��)=2�,�⋅��

∴𝐴⋅2��=2𝐴⋅��,

∴2𝐴⋅��−��=0

∴2��⋅��,=0

∴点𝐴P⊥在��中垂线上.

∴𝐴

,又,

∴��=����=��

所以

→→→

为��=的��外=心.��

∴故�选:△A�.��

变式2.已知为所在平面内一点,若,其中内角的对边分别为,

则点是�的△(𝐴)����+���+���=0�,�,��,�,�

A�.外△心𝐴�B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】由对称性知可任选其一作变换,如用,代换,将各向量转化为共起点

的三个向量的关系式��=,�进�一+步��变形�判�=断�.�+��

【详解】因为�+�+,���=−���−,���

��=��+����=��+��

所以,

所以�+�+���+���+��(�*=)0.

��

又因为��=�+�+��,�+�+�+��,�其中分别表示,方向的单位向量,

(*)式�可�进=一��步1化�为�=��2�1,�2,����

��

而表示与�的�平=分�+线�+共�线�1的+向�2量,

所以�1+�平2分∠�.��

同理,��平∠分���,平分,

所以是��∠的�内��心,��∠�𝐴

故选:�B△.𝐴�

【题型3内心】

例1.已知,,是平面上不共线的三点,为坐标原点,动点满足

1

,��,�则点的轨迹一定经过(�)���=3[(1−�)��+(1−�)��+(1+

2�)�A�.]�∈�的内心�B.的垂心

C.△𝐴�的重心D.△𝐴�的外心

【答案】△C𝐴�△𝐴�

【分析】本题可通过向量的线性运算,将的表达式进行变形,再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹

经过的特殊点.���

【详解】设的中点为,

则𝐴,�

→→→

∵2��=��+𝐴,

→1→→→

∴��=3[(1−�)��+(1−�)𝐴+(1+2�)��],

→1→→2(1−�)→1+2�→

而��=3[2(1−�),��+(1+2�)��]=3��+3��

2(1−�)1+2�

∴3+三点3共=线1,

所以�,�点,�的轨迹一定经过的重心,

故选:�C.△𝐴�

例2.已知点为所在平面内一点,若,则点的轨迹必通过的()

22

A.内心�△𝐴�B.外心�C�.−垂�心�=2��⋅��D.重�心△𝐴�

【答案】B

【分析】为的中点,由得,则点的轨迹必通过的外心.

22

【详解】点�为��所在平�面�内−一��点,=若2��⋅����⊥��,�△𝐴�

22

设为的�中点△,𝐴���−��=2��⋅��,

22

则有�����−��=��,+所��以·��−��,=2��⋅��=2��⋅��

��−��⋅��=��⋅��=0��⊥��

所以动点在线段的中垂线上,则点的轨迹必通过的外心.

故选:B����△𝐴�

变式1.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,I为的内心,若,

且△𝐴�,则的值为()△𝐴��cos�−�cos�=�−�

3�

��A=.3��+3��B�.C.D.

【答案】3D333−323

【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式,化简得到,求得,得到的值,再

1

由三角形内心的性质和向量的线性运算,求得sin�=2sin�cos,�结合题意co,s�得=到2�,

3�

33

即,进而求得的值,得�到⋅�答�案+.�⋅��+�⋅��=0�:�:�=1::

3�

【详sin解�】:si因n�为:sin�=1:3:3�,由正弦定理得,

又因为�cos�−�cos�=�−�,sin�cos�−sin�cos�=sin�−sin�

可得sin�=sin(�+�,)解=得sin�cos�+,cos�sin�

1

因为sin�=2,sin所�c以os�;cos�=2

π

如图所�∈示(,0,π设)�=3,延长交于点,

则�△���=�1,�△𝐴�=�2,�△�,��=�3𝐴���

���△𝐴��△����△𝐴�−�△����△𝐴�

所以��=�△���=�△���=�△���,−�同△��理�=可�得△𝐴�,

���△𝐴�+�△𝐴��3+�2���2+�3

过点��作=�△𝐴�=�,2��=�3

则���//��,𝐷//��

�����2�3

�����2+�3�2+�3

又由��=��+��=⋅��+,⋅所��以=⋅��+,⋅��

���△𝐴��△����1�1

所以��=�△𝐴�=�△𝐴�=�2+�3��,=−可�得2+�3⋅��,

�1�2�3

即−�2+�3⋅��=�2+�3⋅��+�2,+�3⋅��−�1⋅��=�2⋅��+�3⋅��

因为�1⋅为��+�2⋅的��外+心�,3⋅设��=0的内切圆的半径为,

可得�△𝐴�△𝐴��,

111

可得2��⋅�⋅��+2��⋅�⋅��+2𝐴,⋅即�⋅��=0,

又因为��⋅��+��⋅��,+即𝐴⋅��=0�⋅��,+可�得⋅��+�⋅��=0,

33�3�

��=3��+𝐴��:�:�=1:3:3

由正弦定理得��+3��+,3��=0

3�

又因为,s可in得�:sin�:sin�,=因1为:3:3且,所以,可得,

π1ππ

�=3sin�=2�∈(0,π)�>��=6�=2

所以,可得π,.

sin�3�sin�sin223

π

sin�=�3=sin�=sin3=3�=23

故选:D.

变式2.已知点是内任意一点,,且,则点的轨迹一

��

定经过的�(△)�.����=�𝐴=���=��+��+���+�+����

A.△内�心��B.垂心C.重心D.外心

【答案】A

【分析】设,分析得到是的角平分线,从而,所以点的轨迹经过

��

的内心.��=�+���+�+�����∠���=����△𝐴�

【详解】因为,

��

所以��=��+��+.���+�+���

��

设��=��+���+�+,���

��

因为��=�+���+�,+�所��以点在线段上且,

�����

由角平�+�分+线�+的�=性1质得是�的角平�分�线,��=�

而,所以点��的轨∠�迹经过的内心.

故选��:=A�.���△𝐴�

【题型4垂心】

例1.在中,为内的一点,,则下列说法错误的是()

A.若△�为��𝐴的=重�心�,=则5,��=6,�△B�.��若为�的�外=心��,�则+���

1

C.若�为△𝐴�的垂心,则�+�=2D.若�为△𝐴�的内心,则��⋅��=−18

75

【答案】A�△𝐴��+�=16�△𝐴��+�=8

【分析】建立平面直角坐标系,对于A、C、D:先求出三角形各种心的坐标,然后代入坐标列方程求解;

对于B:利用展开计算即可.

【详解】在��⋅�中�,=��+��⋅,��,为内的一点,

建立如图所示△的𝐴平�面直�角�坐=标�系�,=5��=6�△𝐴�

则,,,

对于�(选0,4项)A�:(若−3,为0)�(3,0的)重心,则,,则,

0−3+34+0+044

所以�△𝐴��0=3,=0�0=3=3�0,3

8

��=0,−3,��=−3,−4,��=3,−4

若,由平面向量基本定理可得:,

−3�+3�=08

��=���+���

解得,所以,故选项A不正确;−4�−4�=−3

12

对于选�=项�B=:3若为�+�的=外3心,其必在直线上,

所以�△𝐴���,故选项B正确;

对于选��项⋅�C�:=若�为�+��⋅的�垂�心=,��其⋅必��在+��上⋅,��设=0+−,3,0⋅6,0=−18

则�△𝐴���,解得�(0,�,)

9

此时��⋅��=−3,�⋅−3,−4=9−4�=0,�=4

7

��=0,−4,��=−3,−4,��=3,−4

若,由平面向量基本定理可得:,

−3�+3�=07

��=���+���

解得,所以,故选项C正确;−4�−4�=−4

77

对于选�=项�D=:3若2为�+�的=内16心,设内切圆半径为,

则�△𝐴�,得,则�,

1133

此时2×6×4=2×�×5+5+6�=2�,0,2

5

��=0,−2,��=−3,−4,��=3,−4

若,由平面向量基本定理可得:,

−3�+3�=05

��=���+���

解得,所以,即选项D−4正�确−.4�=−2

5555

故选:�=A.�=16�+�=16+16=8

例2.在中,,点为的垂心,且满足,,则()

1

A.△𝐴�𝐴=B.��-1�△𝐴�C.��=���D+.���cos∠���=3�+�=

111

【答案】−D242

【分析】一方面:根据已知得出,另一方面:由三点共线的推论即可列式求解.

【详解】由题意可知是以�A�为=顶3角��的等腰三角形,

△𝐴�

如图所示:,,则,

在直角三角形��⊥��中�,�⊥����∩��=�,即.

����1

设△𝐴�,cos∠���=𝐴=��=3��=3��

则��=���,��=𝐴�,

11

�2��+2��=���+���⇒�=2�=2�,

�所�以=��+𝐴�=��+���−,��所以=1−���.+���=���+���=���+3���

1

故选:�+D3.�=4�=2�+�=1�+�=2

变式1.已知H是的垂心,满足,且,则.

11

【答案】△𝐴���=4��+2����=1��⋅��=

1

【分析】由−3向量的线性运算,可得,两边点乘及由垂心向量公式得解.

【详解】由,得��=��+2����,

11

化简得��=4��+,2再��左右点4乘��=及�垂�心+向�量�公+式2得��+��

��=��+2����,故.

21

−故�答�案为=:��⋅�.�+2��⋅��=3��⋅��=−1��⋅��=−3

1

−3

【题型5奔驰定理】

例1.在平面上有及内一点O满足关系式:即称为经典的“奔

驰定理”,若△�的�三�边为a,b,c,现有�△𝐴�⋅��+�△���⋅��则+O�△为�𝐴⋅��的=(0)

A.外心△𝐴�B.内心�C⋅�.�重+心�⋅��+�⋅��=D.0垂心△𝐴�

【答案】B

【分析】利用三角形面积公式,推出点O到三边距离相等。

【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为,,,,,,

111

因为ℎ1,则ℎ2ℎ3�△𝐴�=2�⋅ℎ2�△���=2�⋅ℎ3�,△即�𝐴=2�⋅ℎ1

111

�△𝐴�⋅��+�△���⋅�,�又+因�△为�𝐴⋅��=02�⋅ℎ2⋅��+,2�所⋅ℎ以3⋅��+2�⋅ℎ3,⋅所��以=点0P是�⋅△ℎ2A⋅B�C�的+

�内⋅心ℎ3.⋅��+�⋅ℎ1⋅��=0�⋅��+�⋅��+�⋅��=0ℎ1=ℎ2=ℎ3

故选:B

例2.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是:

已知是内一点,,,的面积分别为,,,且.

���

若为�△𝐴的�垂心,△���△���△��,�则�(�)���⋅��+𝐴⋅𝐴+��⋅��=0

�△𝐴�3��+4𝐴+5��=0cos∠�𝐴=

A.B.C.D.

6666

【答案】−B3−663

【分析】根据和得,从而可以得

→→

���

出��,⋅�设�+𝐴⋅�,�+��⋅,�得�=03�,�+4𝐴+,5再��结=合0垂心�和:�直:角�三=角3形:4余:5弦值即可求解.

����

【详��解=】4,��=3��=�𝐷=���=3���=2�

如图,延长交于点,延长交于点,延长交于点.

由为��的垂�心�,�����,�且��𝐴�,

→→

得�△𝐴�,所3�以�+4𝐴+5��=0,��⋅��+𝐴⋅𝐴+��⋅��=0

45

又��:𝐴:��=3:4:5,则�=3��,�,�同=理3�可�得,所以,

�△𝐴��△𝐴�����

设�△𝐴�=,��+𝐴+,�则���=,4,𝐴=3��=4,𝐷=3

所以��=�𝐷=���=3��,�即=2�

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