版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
重难点突破05“四心”的向量表示与奔驰定理+等和线
内容导航——预习三步曲
第一步:学
析教材·学知识:教材精讲精析、全方位预习
练题型·强知识:核心题型举一反三精准练
第二步:记
串知识·识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步:测
过关测·稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1:必备核心知识
1.三角形四心的定义与向量表达
(1)重心(G)
定义:三角形三条中线的交点,也是重心(质量均匀时的受力中心)
1
核心向量性质:GAGBGC0(充要条件);OG(OAOBOC)(O为平面内任意点)
3
x1x2x3y1y2y3
坐标性质:若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则G,
33
比例性质:重心分中线比为2:1(AG:GD2:1,D为BC中点);重心到顶点距离是到对边中点距离的2
倍
(2)外心(O)
定义:三角形三条垂直平分线的交点,也是外接圆圆心
核心向量性质:|OA||OB||OC|R(R为外接圆半径,充要条件);(OBOC)BC0(垂直平分
线性质)
坐标性质:外心是垂直平分线的交点,可通过求两条垂直平分线方程联立求解
特殊三角形:直角三角形外心在斜边中点,锐角三角形外心在三角形内,钝角三角形外心在三角形外
(3)内心(I)
定义:三角形三条角平分线的交点,也是内切圆圆心
bc
核心向量性质:AIABAC(a、b、c分别为BC、AC、AB的边长,充要条件);
abcabc
aIAbIBcIC0
ax1bx2cx3ay1by2cy3
坐标性质:I,(加权平均坐标)
abcabc
BDAB
比例性质:内心到三边距离相等(等于内切圆半径r);角平分线分对边比为邻边比(,D为
DCAC
BC上的内心投影)
(4)垂心(H)
定义:三角形三条高线的交点
核心向量性质:HABC0、HBAC0、HCAB0(高线垂直性质,充要条件);
OHOAOBOC(欧拉公式推论,O为外心)
特殊三角形:直角三角形垂心在直角顶点,锐角三角形垂心在三角形内,钝角三角形垂心在三角形外
欧拉关系:欧拉公式OH29R2(a2b2c2),锐角三角形中H在内部,O在内部,G在OH上且
OG:GH1:2
2.奔驰定理(面积与向量关系)
核心公式:对于平面内任意一点P,若A、B、C不共线,则(点P
SPBCPASPACPBSPABPC0
在ABC内部)
拓展公式(点P在外部):对应区域面积取负,即(具体符号由P
SPBCPASPACPBSPABPC0
所在区域决定)
简化应用:若P为特殊点(四心),可直接代入得四心的向量性质(如重心时SPBCSPACSPAB,即得
PAPBPC0)
3.等和线定理(向量系数和问题)
定义:在平面内,若OPxOAyOB(OA、OB为不共线基底),则所有满足xyk(k为常数)
的点P都在过点O且与AB平行的直线上,该直线称为“等和线”
核心结论:
当等和线过O点时,k0,此时P与O重合,OP0
当等和线过A点时,k1,此时y0,OPOA
当等和线过B点时,k1,此时x0,OPOB
等和线与AB平行,且k的值与等和线到O点的距离成正比(k越大,距离越远,同向时k为正,反向时k
为负)
知识点2:必备实用解法
1.四心问题解题方法
(1)重心问题:坐标法+向量分点法
步骤:①若已知三点坐标,直接用重心坐标公式求解;②若已知向量关系,利用GAGBGC0转化为
1
目标向量;③涉及中线比例时,用分点公式AD(ABAC)(D为BC中点)
2
名师技巧:强调“重心问题优先建系”,通过坐标将向量问题转化为代数计算,降低抽象性
(2)外心问题:垂直向量法+距离公式法
步骤:①利用垂直平分线性质,列向量垂直方程(如(OBOA)AB0);②若已知边长,用距离公式
|OA||OB|列方程;③直角三角形直接用斜边中点为外心的性质快速求解
技巧总结“外心问题关键抓垂直与等距”,优先处理特殊三角形(直角、等腰)
(3)内心问题:角平分线定理+加权向量法
bc
步骤:①已知边长时,用角平分线定理求分点比例,再用向量分解AIABAC;②
abcabc
涉及内切圆半径时,结合面积公式Srp(p为半周长)关联向量条件;③建系时用内心坐标公式直接代
入计算
名师技巧:推荐“内心问题用加权向量快速定位”,避免复杂的角平分线方程求解
(4)垂心问题:垂直向量点积法+欧拉公式法
步骤:①核心是利用HABC0,将高线转化为向量点积为0的条件;②已知外心时,用欧拉公式
OHOAOBOC快速关联垂心与外心;③直角三角形直接用直角顶点为垂心的性质
技巧总结“垂心问题优先找垂直向量”,避免直接求高线方程的繁琐计算
2.奔驰定理解题方法
步骤:①判断点P与ABC的位置关系(内部/外部),确定面积符号;②将已知向量关系与奔驰定理公式
对比,建立面积比例关系;③利用面积比例求解未知量(如点的坐标、向量系数)
名师技巧强调“奔驰定理是面积与向量的桥梁”,遇到三角形内点的向量系数问题,优先想到奔驰定理,
可快速简化计算
简化应用:若已知mPAnPBpPC0,则SPBC:SPAC:SPABm:n:p
3.等和线定理解题方法
步骤:①确定基底OA、OB(不共线),将目标向量OP表示为xOAyOB的形式;②找到对应xyk
的等和线,分析等和线的平移方向(同向/反向);③根据图形边界条件(如点P在某线段上),确定k的
最值或取值范围
名师技巧:总结“等和线解题三步骤:定基底、找等和线、求k范围”,遇到向量系数和问题,直接用等
和线平移法,无需复杂代数运算
拓展技巧:若基底不是从O点出发,先将向量转化为共起点基底(如APxAByAC,可转化为
OP(1xy)OAxOByOC,此时xy1(1xy),等和线对应1xyk)
知识点3:常见实际误区
1.四心向量表达式混淆
误区:将重心的GAGBGC0与内心的aIAbIBcIC0混淆,忽略内心表达式中的边长权重;
将垂心的HABC0错记为HAHB0
规避:结合定义记忆,重心是平均向量(无权重),内心是加权平均(权重为边长),垂心是高线垂直(对
应边的向量点积为0);用特殊三角形验证(如等边三角形四心重合,代入表达式验证)
2.奔驰定理符号错误
误区:忽略点P的位置(内部/外部),统一用正面积代入公式,导致结果错误;将奔驰定理中的面积比例
与向量系数比例搞反
规避:先画图判断P在ABC内部还是外部,内部所有面积为正,外部对应区域面积为负;牢记“向量系
数比等于对应面积比”(m:n:pSPBC:SPAC:SPAB)
3.等和线基底与方向错误
误区:等和线定理应用时,基底不共起点仍直接套用公式;混淆等和线的k值符号(同向为正,反向为负);
忽略点P的边界限制,导致k范围求解错误
规避:应用等和线前,务必将向量转化为共起点基底;通过图形判断等和线与基底的方向关系,确定k的
符号;结合题目中“点P在某线段上”“在某三角形内”等条件,确定等和线的平移边界
4.特殊三角形四心性质误用
误区:将直角三角形的外心(斜边中点)错记为直角顶点;将钝角三角形的外心、垂心当成在三角形内部;
忽略等边三角形四心重合的性质,进行复杂计算
规避:牢记特殊三角形四心位置:直角三角形外心在斜边中点、垂心在直角顶点;锐角三角形四心均在内
部;钝角三角形外心和垂心在外部;等边三角形四心重合,可直接用重心性质求解
5.向量点积与垂直关系混淆
误区:在垂心问题中,将HABC0错写为HAHB0;忽略向量点积为0是垂直的充要条件,仅用几
何直观判断垂直,导致漏解
规避:明确“高线垂直”是顶点与对边的垂直,对应向量是“顶点到垂心的向量”与“对边向量”的点积
为0;所有垂直关系均需转化为向量点积为0的代数条件,避免几何直观的误差
【题型1重心】
例1.在中,边长为4,为的中点,长为,点、分别为的重心和外心,则
△𝐴�.�������22��△𝐴�
【答案】
� � ⋅� � =4
【分析】利用重心性质表示出,利用向量数量积定义即可求得结果.
1
【详解】因为为重心,则有� � =3� � +� � ,
2211
又为外心,故�在方向上� 的� =投3影� 向 � 量=为3×2� , � 且+� � 在=3方� 向 � 上+的� �投 影向量为,
11
根据�数量积的几� 何 � 意� 义 � 得2� � � � � � 2� �
1212
故� � ⋅� � =2� � ,� � ⋅� � =2,� �
22
1� � ⋅� � +� � ⋅� � � � +� �
又因� � 为⋅� � =3� � +� � ⋅� � =3,两式=平方相6加得,
2222
故2� � =� � +,所� 以 � ,� � =� � −.� � � � +4� � =2� � +� � =48
22
故答� � 案+为� : � =24� � ⋅� � =4
4
例2.已知所在平面内的动点满足,且实数,形成的向量与
1
2
向量△共�线�,�则动点的轨迹必�经过��=的�(��+)�𝐴�� � =�−,��=
−1A,2.垂心B.�内心△𝐴C�.外心D.重心
【答案】D
【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线,经过整理得到,将
1
其代入,经过整理得到 � ,=�−2,� � =−1,2,利用向量减法的三角形�法=则1得−到2�
� � =�� � +�� � ,取的中点� , � 由−向� 量� =加�法� 的 � 平−行2� 四 � 边形法则得到,将其� 代 � 入=
�� � −� � =�� 得 � +到� � ��,动点�的轨迹必经过的重心.� � +� � =2� �
�【 � 详 =解�】� � +� � � 与 � =2𝐴 � 向量共�线,故△𝐴�,
11
即 � =,�解−得2,� � =−,1,22�−2+�=0
将2�+�=1代入�=1−2�,得到,
即�=1−2�� � =�� � ,+所�以� � � � =�� � +1−2�� � ,
取� � 的−中� 点 � =,�则� 有� −2� � � �, =�� � −� � =�� � +� �
故���,所以� 动 � 点+� �的 =轨2迹� 必 � 经过的重心.
� � =2𝐴 � �△𝐴�
故选:D.
变式1.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,则点
的轨迹一定通�过的().�,�,��� � =� � +�� � +� � �
A.外心△𝐴�B.内心C.重心D.垂心
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算,结合向量共线及三角形重心性质即可判断.
【详解】由,得,
设边� � 的=中� 点� +为�,� � 则 +� � � � =�,� � +� �
1
所以△𝐴���,因此�三� �点 =共2线� , � +� �
所以点� � =的2轨�迹� � 一定通过�,�,�的重心.
故选:�C.△𝐴�
变式2.已知,为平面内任意一点,动点满足,则
点的轨迹一定△经𝐴过�(�)�5� � =2+�� � +2+�� � +1−2�� �
�A.的内心B.的垂心
C.△𝐴�的重心D.△𝐴�的外心
【答案】△C𝐴�△𝐴�
【分析】取中点为,根据向量的线性运算,以及共线定理,即可判断.
【详解】先设𝐴的中点�为,则,
𝐴�2� � =� � +� �
又因为,
而5� � =2+�� � ,+2+�� � +1−2�� � =4+2�� � +1−2�� �
由三4点+共2�线+的充1要−2条�件=知5三点共线,
则点的轨迹一定经过�,�的,�重心.
�△𝐴�
故选:C.
【题型2外心】
例1.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,,
2
O为△�的��外心,则的值为()2�cos�+2�cos�=��cos�+3�sin�=�+�
A△.𝐴�B� .� ⋅� � C.D.
232322
【答案】−C33−33
【分析】利用正弦定理边角互化,再利用辅助角公式求解即可.
【详解】∵,由正弦定理,
2
得2�cos�+2�cos�=�,
即2sin�cos�+2sin�co,s�=�sin�,,
而2sin�+,�所=以�sin�,∴2sinπ−�=�sin�∴2sin�=�sin�
∵sin�≠0�=2,
由正�co弦s�定+理,3�得sin�=�+�,
∴sin�cos�+3si,n�而sin�=sin,�+�+sin�
∴3sin�sin�−cos�s,in∴�=sin�sin�,≠0
π
因为3sin�−co,s�所=以12sin�−,6=,1,∴.
ππ5ππππ
66666�=3
设�∈的0,外π接圆半径�为−,∈则−∴�−=,
�24
3
2�=sin�==33
∴△𝐴�,而�,2
22π
∴�=33∠���=3,
22π412
故选𝐴:⋅C��=�cos3=3×−2=−3
例2.设是平面上一定点,是平面上不共线的三点,动点满足
� � � �
,�则动点的轨迹一定�,通�,过�的().�� � =� � +�� � cos�+� � cos�,�∈
0,+A.∞外心�B.内心△𝐴�C.重心D.垂心
【答案】D
【分析】根据数量积的运算可得,进而根据可得,结合垂线的定义即可求解.
� � ⋅� � =0��⊥��
【详解】 ,
𝐴⋅����⋅��→→
��⋅��=��⋅��+� + =��⋅��+�−��+��=��⋅��
𝐴cos���cos�
则,即,
故� � ⋅� � −,� 即 � 点⋅� � 的 =轨0迹经过� � ⋅� � =的0垂心.
故选��:⊥D���△𝐴�
变式1.设是所在平面内的一点,若,且,则点是
的()�△𝐴�� � ⋅(� � +� � )=2� � ⋅� � |� � |=|� � |�△𝐴�
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【答案】A
【分析】取中点D,根据条件化简得,所以点P在中垂线上,所以,所以
为三边中垂𝐴线交点,即为的外心�.�⊥��𝐴� � =� � =� �
�【详解】△𝐴�
如图,取中点D,
𝐴.
∴� � +� � =2� � ,
∵� � ⋅(� � +� � )=2� , � ⋅� �
∴𝐴⋅2��=2𝐴⋅��,
∴2𝐴⋅��−��=0
,
∴2� � ⋅� � ,=0
∴点𝐴P⊥在��中垂线上.
∴𝐴
,又,
∴��=��� � =� �
所以
→→→
为��=的��外=心.��
∴故�选:△A�.��
变式2.已知为所在平面内一点,若,其中内角的对边分别为,
则点是�的△(𝐴)��� � +�� � +�� � = 0 �,�,��,�,�
A�.外△心𝐴�B.内心C.重心D.垂心
【答案】B
【分析】由对称性知可任选其一作变换,如用,代换,将各向量转化为共起点
的三个向量的关系式� � =,� 进 � 一+步� � 变 形� 判 � =断� . � +� �
【详解】因为�+�+,�� � =−�� � −,�� �
� � =� � +� � � � =� � +� �
所以,
所以�+�+�� � +�� � +�� ( � *=) 0 .
��
又因为� � =�+�+�� , � +�+�+�� , � 其中分别表示,方向的单位向量,
(*)式� 可 � 进=一� � 步1化� 为 � =� � 2 � 1, � 2,� � � �
��
而表示与� 的 � 平=分�+线�+共�线 � 1的+向 � 2量,
所 以� 1+ � 平2分∠�.��
同理,��平∠分���,平分,
所以是��∠的�内��心,��∠�𝐴
故选:�B△.𝐴�
【题型3内心】
例1.已知,,是平面上不共线的三点,为坐标原点,动点满足
1
,��,�则点的轨迹一定经过(�)�� � =3[(1−�)� � +(1−�)� � +(1+
2�)� A � .]�∈�的内心�B.的垂心
C.△𝐴�的重心D.△𝐴�的外心
【答案】△C𝐴�△𝐴�
【分析】本题可通过向量的线性运算,将的表达式进行变形,再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹
→
经过的特殊点.���
【详解】设的中点为,
则𝐴,�
→→→
∵2��=��+𝐴,
→1→→→
∴��=3[(1−�)��+(1−�)𝐴+(1+2�)��],
→1→→2(1−�)→1+2�→
而��=3[2(1−�),��+(1+2�)��]=3��+3��
2(1−�)1+2�
∴3+三点3共=线1,
所以�,�点,�的轨迹一定经过的重心,
故选:�C.△𝐴�
例2.已知点为所在平面内一点,若,则点的轨迹必通过的()
22
A.内心�△𝐴�B.外心� C � .−垂� 心 � =2� � ⋅� � D.重�心△𝐴�
【答案】B
【分析】为的中点,由得,则点的轨迹必通过的外心.
22
【详解】点�为��所在平� 面 � 内−一� �点 ,=若2� � ⋅� � � � ⊥� � ,�△𝐴�
22
设为的�中点△,𝐴�� � −� � =2� � ⋅� � ,
22
则有���� � −� � =� � ,+所� �以 ·� � −� � , =2� � ⋅� � =2� � ⋅� �
� � −� � ⋅� � =� � ⋅� � =0� � ⊥� �
所以动点在线段的中垂线上,则点的轨迹必通过的外心.
故选:B����△𝐴�
变式1.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,I为的内心,若,
且△𝐴�,则的值为()△𝐴��cos�−�cos�=�−�
3�
� � A=.3� � +3� � B�.C.D.
【答案】3D333−323
【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式,化简得到,求得,得到的值,再
1
由三角形内心的性质和向量的线性运算,求得sin�=2sin�cos,�结合题意co,s�得=到2�,
3�
33
即,进而求得的值,得�到⋅�答�案+.�⋅��+�⋅��=0�:�:�=1::
3�
【详sin解�】:si因n�为:sin�=1:3:3�,由正弦定理得,
又因为�cos�−�cos�=�−�,sin�cos�−sin�cos�=sin�−sin�
可得sin�=sin(�+�,)解=得sin�cos�+,cos�sin�
1
因为sin�=2,sin所�c以os�;cos�=2
π
如图所�∈示(,0,π设)�=3,延长交于点,
则�△���=�1,�△𝐴�=�2,�△�,��=�3𝐴���
���△𝐴��△����△𝐴�−�△����△𝐴�
所以��=�△���=�△���=�△���,−�同△��理�=可�得△𝐴�,
���△𝐴�+�△𝐴��3+�2���2+�3
过点��作=�△𝐴�=�,2��=�3
则���//��,𝐷//��
�����2�3
�� �� �2+�3 �2+�3
又由��=��+��=⋅��+,⋅所��以=⋅��+,⋅��
���△𝐴��△����1�1
所以��=�△𝐴�=�△𝐴�=�2+�3� � ,=−可�得2+�3⋅� � ,
�1�2�3
即−�2+�3⋅� � =�2+�3⋅� � +�2,+�3⋅� � −�1⋅� � =�2⋅� � +�3⋅� �
因为�1⋅为� � +�2⋅的� � 外+心�,3⋅设� � = 0 的内切圆的半径为,
可得�△𝐴�△𝐴��,
111
可得2��⋅�⋅� � +2��⋅�⋅� � +2𝐴,⋅即�⋅� � = 0 ,
又因为��⋅� � +��⋅� � , +即𝐴⋅� � = 0 �⋅� � , +可�得⋅� � +�⋅� � = 0 ,
33�3�
� � =3� � +𝐴 � �:�:�=1:3:3
由正弦定理得��+3��+,3��=0
3�
又因为,s可in得�:sin�:sin�,=因1为:3:3且,所以,可得,
π1ππ
�=3sin�=2�∈(0,π)�>��=6�=2
所以,可得π,.
sin�3�sin�sin223
π
sin�=�3=sin�=sin3=3�=23
故选:D.
变式2.已知点是内任意一点,,且,则点的轨迹一
��
定经过的�(△)�.����=�𝐴=�� � =� � +��+�� � +�+�� � �
A.△内�心��B.垂心C.重心D.外心
【答案】A
【分析】设,分析得到是的角平分线,从而,所以点的轨迹经过
��
的内心.� � =�+�� � +�+�� � ��∠�� � =�� � �△𝐴�
【详解】因为,
��
所以� � =� � +��+.�� � +�+�� �
��
设� � =��+�� � +�+,�� �
��
因为� � =�+�� � +�,+�所� �以 点在线段上且,
�����
由角平�+�分+线�+的�=性1质得是�的角平�分�线,��=�
而,所以点��的轨∠�迹经过的内心.
故选� � :=A�.� � �△𝐴�
【题型4垂心】
例1.在中,为内的一点,,则下列说法错误的是()
A.若△�为��𝐴的=重�心�,=则5,��=6,�△B�.��若为� 的 � 外=心�� , � 则+�� �
1
C.若�为△𝐴�的垂心,则�+�=2D.若�为△𝐴�的内心,则� � ⋅� � =−18
75
【答案】A�△𝐴��+�=16�△𝐴��+�=8
【分析】建立平面直角坐标系,对于A、C、D:先求出三角形各种心的坐标,然后代入坐标列方程求解;
对于B:利用展开计算即可.
【详解】在� � ⋅� 中 � ,=� � +� � ⋅,� � ,为内的一点,
建立如图所示△的𝐴平�面直�角�坐=标�系�,=5��=6�△𝐴�
则,,,
对于�(选0,4项)A�:(若−3,为0)�(3,0的)重心,则,,则,
0−3+34+0+044
所以�△𝐴��0=3,=0�0=3=3�0,3
8
� � =0,−3,� � =−3,−4,� � =3,−4
若,由平面向量基本定理可得:,
−3�+3�=08
� � =�� � +�� �
解得,所以,故选项A不正确;−4�−4�=−3
12
对于选�=项�B=:3若为�+�的=外3心,其必在直线上,
所以�△𝐴���,故选项B正确;
对于选� � 项⋅� C � :=若� 为 � +� � ⋅的� 垂 � 心=,� � 其⋅必� � 在+� � 上 ⋅,� �设 =0+−,3,0⋅6,0=−18
则�△𝐴���,解得�(0,�,)
9
此时� � ⋅� � =−3,�⋅−3,−4=9−4�=0,�=4
7
� � =0,−4,� � =−3,−4,� � =3,−4
若,由平面向量基本定理可得:,
−3�+3�=07
� � =�� � +�� �
解得,所以,故选项C正确;−4�−4�=−4
77
对于选�=项�D=:3若2为�+�的=内16心,设内切圆半径为,
则�△𝐴�,得,则�,
1133
此时2×6×4=2×�×5+5+6�=2�,0,2
5
� � =0,−2,� � =−3,−4,� � =3,−4
若,由平面向量基本定理可得:,
−3�+3�=05
� � =�� � +�� �
解得,所以,即选项D−4正�确−.4�=−2
5555
故选:�=A.�=16�+�=16+16=8
例2.在中,,点为的垂心,且满足,,则()
1
A.△𝐴�𝐴=B.��-1�△𝐴�C.� � =�� � D+.�� � cos∠���=3�+�=
111
【答案】−D242
【分析】一方面:根据已知得出,另一方面:由三点共线的推论即可列式求解.
【详解】由题意可知是以� A � 为=顶3角� � 的等腰三角形,
△𝐴�
如图所示:,,则,
在直角三角形��⊥��中�,�⊥����∩��=�,即.
��� � 1
设△𝐴�,cos∠���=𝐴=� � =3� � =3� �
则� � =�� � ,� � =𝐴 � ,
11
�2� � +2� � =�� � +�� � ⇒�=2�=2�,
�所 � 以=� � +𝐴 � =� � +�� � −,� � 所以=1−�� � . +�� � =�� � +�� � =�� � +3�� �
1
故选:�+D3.�=4�=2�+�=1�+�=2
变式1.已知H是的垂心,满足,且,则.
11
【答案】△𝐴�� � =4� � +2� � � � =1� � ⋅� � =
1
【分析】由−3向量的线性运算,可得,两边点乘及由垂心向量公式得解.
【详解】由,得� � =� � +2� � � � ,
11
化简得� � =4� � +,2再� �左 右点4乘� � =及� 垂 � 心+向� 量 � 公+式2得� � +� �
� � =� � +2� � � � ,故.
21
−故� 答 � 案为=:� � ⋅� . � +2� � ⋅� � =3� � ⋅� � =−1� � ⋅� � =−3
1
−3
【题型5奔驰定理】
例1.在平面上有及内一点O满足关系式:即称为经典的“奔
驰定理”,若△�的�三�边为a,b,c,现有�△𝐴�⋅� � +�△���⋅� � 则 +O�△为�𝐴⋅� � 的=( 0 )
A.外心△𝐴�B.内心�C⋅� . � 重+心�⋅� � +�⋅� � =D .0 垂心△𝐴�
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式,推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为,,,,,,
111
因为ℎ1,则ℎ2ℎ3�△𝐴�=2�⋅ℎ2�△���=2�⋅ℎ3�,△即�𝐴=2�⋅ℎ1
111
�△𝐴�⋅� � +�△���⋅� , � 又+因�△为�𝐴⋅� � = 0 2�⋅ℎ2⋅� � +,2�所⋅ℎ以3⋅� � +2�⋅ℎ3,⋅所� � 以 =点 0 P是�⋅△ℎ2A⋅B� C � 的+
�内⋅心ℎ3.⋅� � +�⋅ℎ1⋅� � = 0 �⋅� � +�⋅� � +�⋅� � = 0 ℎ1=ℎ2=ℎ3
故选:B
例2.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是:
已知是内一点,,,的面积分别为,,,且.
→
���
若为�△𝐴的�垂心,△���△���△��,�则�(�)���⋅��+𝐴⋅𝐴+��⋅��=0
→
�△𝐴�3��+4𝐴+5��=0cos∠�𝐴=
A.B.C.D.
6666
【答案】−B3−663
【分析】根据和得,从而可以得
→ →
���
出��,⋅�设�+𝐴⋅�,�+��⋅,�得�=03�,�+4𝐴+,5再��结=合0垂心�和:�直:角�三=角3形:4余:5弦值即可求解.
����
【详��解=】4,��=3��=�𝐷=���=3���=2�
如图,延长交于点,延长交于点,延长交于点.
由为��的垂�心�,�����,�且��𝐴�,
→ →
得�△𝐴�,所3�以�+4𝐴+5��=0,��⋅��+𝐴⋅𝐴+��⋅��=0
45
�
又��:𝐴:��=3:4:5,则�=3��,�,�同=理3�可�得,所以,
�△𝐴��△𝐴�����
设�△𝐴�=,��+𝐴+,�则���=,4,𝐴=3��=4,𝐷=3
所以��=�𝐷=���=3��,�即=2�
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 陕西职业技术学院《室内公共空间设计》2024-2025学年第二学期期末试卷
- 2025-2026学年第二学期小学语文教研组工作计划
- 单轨吊司机岗前实操综合知识考核试卷含答案
- 卤水综合利用工班组管理评优考核试卷含答案
- 淡水捕捞工岗前岗中技能考核试卷含答案
- 数控激光切割机操作工复测强化考核试卷含答案
- 客运售票员班组安全评优考核试卷含答案
- 短波通信机务员风险评估评优考核试卷含答案
- 颜料生产工复测强化考核试卷含答案
- 计算机维修工安全行为考核试卷含答案
- 房屋安全鉴定培训资料课件
- 学生安全员培训材料课件
- 液氧储罐安全操作规程标准版
- 资产出入库管理办法
- 水培蔬菜课件
- 金融控股公司经营管理
- 口腔修复前临床检查要点
- 果林合股协议书
- 2024-2025学年初中数学专项练习:费马点与加权费马点详细总结(含解析)
- 硬笔书法全册教案共20课时
- 开学健康教育第一课
评论
0/150
提交评论