2024-2025学年初中数学专项练习：费马点与加权费马点详细总结（含解析）

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

蜀题型•解读/

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点•单系数型

题型三加权费马点•多系数型

曜R/满分•技巧/

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图A45C所有的内角都小于120度，在A48C内部有一点尸，连接尸/、PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时与NAPC的度数.

【问题处理】如图1,将A4CP绕着点C顺时针旋转60度得到ATCP',CP=CP',AP=

AF,又：/尸。尸'=60°,.•.△PCP'是等边三角形，:.PF=PC,；.P4+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

如图2,当且仅当点8、P、P\/'共线时，P/+P8+PC最小，最小值为/'8,此时/8PC=N/PC=N/P8

=120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

①对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

②对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接4T,我们发现A4CT为等边三角形，点尸在45上，同理，我们可以得到等

边△348"点尸也在C夕上，因此，我们可以以A42C三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线

的交点即为费马点。（最大角小于120°时）

图3

【例1】如图，在△48C中，ZACB=90°,AB=AC=\,P是△/8C内一点，求尸/+P5+PC的最小值.

A

【练习1】如图，已知矩形/BCD,48=4,8c=6,点M为矩形内一点，点£为BC边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：、回对应旋转90°,G对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形/3C中，边长为4,尸为三角形N8C内部一点，求4P+8P+JIPC的最小值

AA

【练习2】在RtZ\45C中，/C=3,BC=2C,尸为三角形4BC内部一点，求4P+8P+Ji?C的最小值

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

【例3】如图，在AABC中，AACB=60°,BC=3,AC=4,在AABC内部有一点P,连接

PA,PB,PC,贝I（1）」尸幺+@尸5+尸。的最小值为；（2）、3尸2+2_尸5+尸。的最小值

2222

为________

BCBC

【练习3】如图，在中，ZCfi=60°，BC=3日AC=6,在△48C内部有一点尸，连接

PA,PB,PC,则2pZ+P8+石尸C的最小值为.

题型一普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在△N8C中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB2,点P是△NBC内一点，则

尸/+PB+PC的最小值为•

B

CA

2.问题背景：如图1,将绕点N逆时针旋转60°得到△/£)£,DE与BC交于点、P,可推出结论:尸/

+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4也，点。是△MNG内一点，则点。到△

MNG三个顶点的距离和的最小值是.

3.如图，在△N8C中，ZC4S=90°,AB=AC=2,尸是△N8C内一点，求P4+P8+PC的最小值.

4.已知，在A48C中，Z^CB=30°,AC=4,AB=Jj(CB>CA)点、P是性4BC内一动点、,则P4+P8+PC

的最小值为

5.如图，已知矩形/BCD,48=4,8c=6,点V为矩形内一点，点£为BC边上任意一点,则M4+MO+

ME的最小值为.

AD

M

BEC

6.A.B、C、。四个城市恰好为一个边长为2〃正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（4尸+52+尸。+。。+。0）最小，则应当如何修建？最

小长度是多少？

RC

2023•随州中考真题

7.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当的三个内角均小于120。时，如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到AHPC,连接尸P,

由PC=PC,NPCP=60。,可知△尸CP为_____三角形，故PP'=PC,又PA=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',/在同一条直线上时，尸/+尸8+尸C取最小值，如图2,最小值为43,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=ZBPC=ZAPB=；

已知当小有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/诩CN120。,

则该三角形的“费马点”为点.

⑵如图4,在中，三个内角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,己知点尸为“3C的"费

马点“，求上4+尸8+尸C的值；

CBCB

(3)如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知4c=4km,BC=2V3km,ZACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向/，B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,0a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含。的式子表示)

广东省江门市一模

8.如图，在中，NBAC=90°,AB=5,AC=26，点尸为O8C内部一点，则点尸到A/8C三个顶点

之和的最小值是.

武汉中考

9.问题背景：如图1,将△43C绕点/逆时针旋转60°得到△4DE,DE与BC交于前P,可推出结论：

PA+PC=PE.

问题解决如图2,在△MVG中，MN=6,ZM=75°,MG=46,点、O是AMNG内一点,则点。到△〃2陆

三个顶点的距离和的最小值是.

图1图2

2023•四川宜宾•中考真题

10.如图，抛物线了="2+bx+c经过点/（TO）,顶点为赫（-1,加），且抛物线与了轴的交点8在（0，-2）和

（0,-3）之间（不含端点），则下列结论：

③当-3WxVl时，y<0；②当的面积为逆时，a=—;

22

③当ANBM为直角三角形时，在“08内存在唯一点尸，

使得尸N+P0+P8的值最小，最小值的平方为18+9月.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

一题四问，从特殊到一般

11.背景资料：在已知所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图

1,当。BC三个内角均小于120。时，费马点尸在A/BC内部，当乙4依=乙4尸。=/。必=120。时，则

PA+PB+PC取得最小值.

(1)如图2,等边内有一点尸，若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求—4处的度数，为

了解决本题，我们可以将A/2尸绕顶点/旋转到aNCP处，此时A/CP三3P这样就可以利用旋转变换,

将三条线段加、PB、尸C转化到一个三角形中，从而求出乙4尸3=______；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与。3c的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,“3C三个内角均小于120。，在“8C外侧作等边三角形,连接C3',求诬CB'过^ABC

的费马点.

(3)如图4,在RTAABC中,ZC=90°,AC=\,ZABC=30°,点P为必BC的费马点，连接/尸、BP、

CP,求P/+PB+PC的值.

(4)如图5,在正方形48co中，点£为内部任意一点，连接/E、BE、CE,且边长48=2；求/E+8E+CE

的最小值.

题型二加权费马点•单系数型

2023•武汉•慧泉中学校月考

3

12.如图，RtZ\28C中，ZCAB=30°,8c=5,点尸为“3C内一点，连接尸42民房，则尸C+P8+石川

的最小值为.

西安市铁一中二模

13.已知，如图在448c中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在。8C内部有一点。，连接D4、DB、

DC.则DA+DB+亚DC的最小值是

2023•成都市郸都区中考二模

14.如图，矩形N3CD中，AB=2,BC=3,点£是的中点，点厂是3c边上一动点.将/8E尸沿着E尸

翻折，使得点5落在点夕处，若点尸是矩形内一动点，连接尸9、PC、PD,则P3'+V^PC+尸。的最

小值为•

题型三加权费马点•多系数型

1A/5

15.在边长为4的正△43。中有一点P,连接尸/、PB、PC,求(―4P+8P+——PC)?的最小值

22

A

16.在等边三角形45。中，边长为4,尸为三角形45C内部一点,求34尸+45P+5PC的最小值

A

P

BC

原图

成都七中育才学校月考

17.在3c中，4B=3,AC=4,的角平分线交3c于£,过C作射线NE的垂线，垂足为。，连

3PC+4PD+5PA

接80,当以4比-5△班。取大值时，在A/CZ)内部取点P,则的最小值

4

是_________

一题八问，练到位

18.如图，在A/BC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,在。BC内部有一点尸，连接尸/、PB、PC.(加权

费马点)求：

(1)P/+P2+PC的最小值；

（2）P/+P8+"PC的最小值

(3)24+尸8+6尸。的最小值;

BC

(4)2P/+P8+gPC的最小值

(5)一尸/+尸8+JPC的最小值;

22

(6)2a4+4尸8+2百PC的最小值

(7)4尸/+2/58+2旧尸(7的最小值;

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

信也题型•解读/

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点•单系数型

题型三加权费马点•多系数型

满分•技巧/

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图442。所有的内角都小于120度，在内部有一点尸，连接尸/、PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时/AP8与/APC的度数.

【问题处理】如图1,将ZUCP绕着点。顺时针旋转60度得到△/(P，则A4CP四△/(5，CP=CP,,AP=

A'P\火,；NPCP'=60°,...△PCP是等边三角形，：.PP'=PC,：.PA+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

如图2,当且仅当点8、P、P\4共线时，P/+P2+PC最小，最小值为/'8,此时

120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

①对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

②对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接4T,我们发现△NC4为等边三角形，点尸在©2上，同理，我们可以得到等

边/夕，点尸也在C9上，因此，我们可以以A48C三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线

的交点即为费马点。（最大角小于120。时）

图3

【例1】如图，在△48C中，ZACB=90°,AB=AC=l,P是△/8C内一点，求P/+P8+PC的最小值.

【分析】如图，以4C为边构造等边△/CO,连接AD,3。的长即为P/+P3+PC的最小值.至于点尸的位

置？这不重要！

如何求BD?考虑到aABC和4ACD都是特殊的三角形，过点D作DH_LBA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，502=出产+。〃2即可得出结果.

H

【练习1】如图，已知矩形/BCD,/8=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以为边构造等边△/。尸、等边连接尸G,

易证：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过/作FH±BC交BC于H点、,线段的长即为所求的最小值.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：、回对应旋转90°,G对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形/3C中，边长为4,尸为三角形N8C内部一点，求4P+8P+JIPC的最小值

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1,ZvlPC绕点C逆时针旋转90。，易知P'P=6,PC,42即为所求

A

方法一：如图2,B,P,尸,/'共线时取最小，此时NAPC=N4PC=135。，易知8P=4P'=2后，

PC=CH~PH=273-2,:.PP=2屈-2亚,P2+PP+/'P=2后+2行

方法二：作4HLBC于H,易知N4cH=30。，：.AH=2,CH=24=BH=4+2』，由勾股可得/'8=

2V6+2V2

【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4,将三角形APC绕点8旋转45°,再扩大为原来的血倍，得到△5PO

则AP+BP+母PC=AP+PP'+P'C>AC'

补充：也可以按图5方式旋转

A

【练习2】在RtzX/BC中，AC=3,BC=20尸为三角形NBC内部一点，求4P+AP+JiPC的最小值

【策略一：旋转特殊角】如图1,A/1PC绕点C逆时针旋转120。，则有

AP+BP+PC=AP'+BP+PP'<A'B=2V7

图1

【策略二：旋转放缩】如图2,AAPC绕点N逆时针旋转30。，再扩大为原来的百倍,

则AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',计算略

图2

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

【例3】如图，在AABC中，乙4c3=60。，BC=3,ZC=4,在—BC内部有一点P,连接尸4PB,PC,

1、61

则（1）—尸2+发尸5+尸。的最小值为________；(2)"尸幺+―尸5+尸。的最小值为_________

2222

A

BC

【简答】（1）将最小系数4提到括号外，得到|(PA+43PB+2PC)

2

A

中间大小系数为G，故放大倍数为G倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC.

如图1,将aPBC绕点C逆时针旋转90°,并放大为G倍，B'P'=y/3BP,PP'=2PC.

^(PA+43PB+2PC^=^PA+PP'+P'B')>^AB'=^~.

(2)将最小系数万提到括号外，得到5(+尸8+2尸C),

图2

如图2,将4APB绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，A'P'=y/3AP,PP'=2PC.

；«PA+PB+2PC)=；(A'P%BP+PP')N；A'B=回

【练习3】如图，在△48C中，ACB=60°，BC=36，AC=6,在△48C内部有一点尸，连接

PA,PB,PC,则2pz+尸8+石尸。的最小值为

【简答】将aPAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到△P'/C,P'A'=2PA,PP=45PC

：.2PA+PB+45PC=A'P'+PP+PB>AB,/C=2NC=12,ZA'CB=900+60°=l50°,

i巧

AH=-AC=6,CH=—AC=6y/3,BH=9也,由勾股定理可得/5=3同,

22

2PA+PB+加PC的最小值为3同.

核心.题型/

题型一普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在△N2C中，ZACB=90°,/A4c=30。,48=2,点尸是△4BC内一点，则

尸/+PB+PC的最小值为•

【解析】将4ABP绕点A顺时针旋转60。到△ABP,连接PP,BC.

则AB'=AB=2,PB=P'B',NBAB'=60°,PA=P'A,NPAP'=60°,

...△P，PA是等边三角形，.,.PA=P,P.

ZBAC=30°,；.NB，AC=90。，

"ZACB=90°,：.AC=^-AB=y/j,

B，C=[AC?+B4=S-

VPA+PB+PC=P,P+P,B,+PC^B,C,

APA+PB+PC的最小值为J7.

2.问题背景：如图1,将△/3C绕点/逆时针旋转60°得到DE与BC交于点尸，可推出结论PA

+PC=PE.

问题解决：如图2,在中，MN=6,NM=75°,MG=4垃,点。是△MNG内一点，则点。到△

儿WG三个顶点的距离和的最小值是.

图2

【解析】过点，作“QLNM交2W延长线于0点，根据N2WG=75。，ZGMH=&0°,可得N〃MQ=45。,

/\MHQ是等腰直角三角形,：.MQ=HQ^4,NH=(NQ2+做2=J1op+16=2a

M

4.如图，在△N8C中，ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△48C内一点，求P/+P5+PC的最小值.

【解析】如图1,以4。为边构造等边△/CD,连接BD,8。的长即为尸/+P8+PC的最小值.

考虑到A48C和A4C。都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

22

如图2,过点。作。交8/的延长线于〃点，根据勾股定理，BD2=BH+DH=4^+41

5.已知，在△ABC中，ZACB=30°,AC=4,AB=5(CB>CA)点、P是AABC内一动点、,则P/+P8+PC

的最小值为

原图

【解析】如图1,将△4PC逆时针旋转30。，得C,8C即尸/+P8+PC最小值，考虑到

/BC/=30。，/.Z5CC=90°,AHLBC,可得8c=36,：.BC'=4^>

6.如图，已知矩形/BCD,AB=4,8c=6,点M为矩形内一点，点E为8C边上任意一点，则朋N+MD+

ME的最小值为

【解析】如图1,依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以//为边构造等边

AADF、等边A4MG,连接尸G,易证A4M）丝ZUGF,：.MD^GF：.ME+MA+MD^ME+EG+GF

如图2,过F作FHLBC交BC于H点、,线段小的长即为所求的最小值.FG=4+?杷

7.A、B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（NP+8P+P0+DQ+C。）最小，则应当如何修建？最

小长度是多少？

【解析】如图1,AABP绕点3逆时针旋转60。，得到NvfPg；同样，将△OCQ绕点C顺时针旋转60。，得

到△ZTC0，，连结42、DD,则ZUAT、△OCZT均为等边三角形，连结尸P、QQ；,则△2PP,

△QC0'均为等边三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=/'P+PP,+PQ+QQ,+DQ'

如图2,当点,，尸，P,Q,Q',。共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段4ZT的长，此时点

「,。在上,最小值为（2+2⑹a.

2023•随州中考真题

8.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点）

当的三个内角均小于120。时，

如图1,将△/PC绕，点C顺时针旋转60。得到AHPC,连接尸P,

由尸C=PC,/PCP=60°,可知△PCP为①三角形,故尸P=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',/在同一条直线上时，尸/+尸8+尸C取最小值，如图2,最小值为43,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=③；

已知当ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/A4c2120。,

则该三角形的“费马点”为W点.

⑵如图4,在“BC中，三个内角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB^30°,已知点尸为。BC的“费

马点“，求尸4+P3+PC的值；

图4

（3）如图5,设村庄4B,C的连线构成一个三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,ZACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向/，B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4,B,。的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,血。元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果

用含。的式子表示）

【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

（2）5

⑶2后a

【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

（2）根据（1）的方法将△4PC绕，点C顺时针旋转60°得到A/'PC,即可得出可知当2,P,尸'，/在

同一条直线上时，PA+PB+PC^最小值,最小值为AB,在根据//C8=30。可证明

NACA'=NA'CP'+NBCP+NPCP'=90°,由勾股定理求H8即可，

（3）由总的铺设成本="（尸/+尸8+8尸C）,通过将绕，点C顺时针旋转90。得到A/'PC,得到等

腰直角APPC,得到J^PC=PP,即可得出当5,尸，P,N在同一条直线上时，PH+P5+PP取最小值,

即尸N+P8+Vipc取最小值为A'B,然后根据已知和旋转性质求出A'B即可.

【详解】(1)M：-：PC=P'C,NPCP=6Q。,

：.△PCP为等边三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又P'A=PA,ikPA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P,N在同一条直线上时，尸Z+P8+PC取最小值，

最小值为/'8,此时的尸点为该三角形的“费马点”，

NBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

NBPC=120°,//'PC=120°,

又AAPC泮A'PC,

：.ZAPC=ZAP'C=no°,

：.NAPB=360°-NAPC-NBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPS=120°；

ABAC>120°,

ABC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三个顶点中，顶点N到另外两个顶点的距离和最小.

又♦.•已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.

该三角形的“费马点''为点A,

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)将△/尸。绕，点C顺时针旋转60。得到A/'PC,连接PP,

由(1)可知当8,P,P',/在同一条直线上时，尸/+P8+尸C取最小值，最小值为/'2,

A'

/力

ZACP=NA'CP,

：.ZACP+NBCP=ZA'CP'+ZBCP=ZACB=30°,

又：/PCP=60。

：.ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+NPCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

A'B=yjBC2+A'C2=A/42+32=5,

P/+PB+PC最小值为5,

(3)•.•总的铺设成本=PA-a+PB>a+PC*也a=a{PA+PB+亚PC)

.•.当尸Z+P2+行尸C最小时，总的铺设成本最低，

将△/尸。绕，点C顺时针旋转90。得到A/'PC,连接尸P,A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,NPCP=/4CA'=90°,P'A'=PA,/'C=/C=4km,

PP'=4IPC,

•*-PA+PB+叵PC=P'A'+PB+PP',

当B,P,尸'，/在同一条直线上时，PN+P8+尸产取最小值，即尸/+尸2+后尸C取最小值为/'3,

过点H作4〃_L8C,垂足为H,

AACB=60°,AACA=90°,

ZA'CH=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

/•HC=siAC2-AH2=A/42-22=273(km),

：.BH=BC+CH^2^+2V3=4V3(km),

/.A'B=ylAH2+BH2=7(4A/3)2+22=2g(km)

尸/+P8+JiPC的最小值为2jHkm

总的铺设成本=PA-a+PB・a+PC«a=a(PA+PB+5PC)=2岳a(元)

广东省江门市一模

9.如图，在“8C中，/员4。=90。,23=5,4。=26，点尸为内部一点，则点尸到"BC三个顶点

之和的最小值是.

A

【答案】V67

【分析】将A/BP绕着点/顺时针旋转60°,得到△4EH,连接ERCH,过点C作CN工4H,交必［的

延长线于N,由旋转的性质可得N84P=NH/E,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60。,BP=HE,易得

△/EP是等边三角形，可得4E=AP=EP,进而得到/P+3尸+PC=EP+E7/+尸C,当点//、E、P、C共

线时，4P+5P+尸C有最小值〃C,再求出CN和的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解将“BP绕着点N顺时针旋转60°,得到△4EN,连接EP,CH,过点C作CN，/”,交HA

的延长线于N,

AZBAP=ZHAE,AE=AP,4H=AB=5,NBAH=60。,BP=HE,

AHAB=ZEAP=60°,

△/£尸是等边三角形，

AE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

...当点，、E,P、C共线时，4P+8P+PC有最小值.

：ZNAC=180°-ZBAH-ABAC=180°—60°-90°=30°,4c=26,

：.CN=LAC=M,

2

：.AN=^AC2-CN2=J(2可-(V3)2=3,

:.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtZ\CNH中，CH=^HN2+CN2=^82+(>/3)2=A/67,

即点P到^ABC三个顶点之和的最小值是767

武汉中考

10.问题背景：如图1,将△4BC绕点/逆时针旋转60°得到△/DE,DE与BC交于点P,可推出结论:

PA+PC=PE.

问题解决如图2,在△跖VG中，MN=6,ZA/=75°,MG=4亚，点。是△M2VG内一点，则点。到

三个顶点的距离和的最小值是.

【答案】2屈

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题,

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最

小值.（此处不再证明）

过点H作HQ±NM交NM延长线于Q点，

根据NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,

AAMHQ是等腰直角三角形，

；.MQ=HQ=4,

NH=^NQ2+HQ2=7100+16=2729.

2023•四川宜宾•中考真题

11.如图，抛物线>=依2+及+°经过点，（-3,0）,顶点为河（-1,加），且抛物线与V轴的交点3在（0，-2）和

（0,-3）之间（不含端点），则下列结论:

①当一3VxVl时，y<0；

②当"8M的面积为38时，a=昱;

22

③当ANBM为直角三角形时，在"05内存在唯一点P,使得尸/+P0+P8的值最小，最小值的平方为

18+973.

其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①;设抛物线为

y=tz(x-l)(x+3),即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论,然后以点。为

旋转中心，将“OS顺时针旋转60。至△NO/,连接AA,PP,AB,得到

PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,判断③.

【详解】解：二•抛物线>=a/+bx+c经过点”(-3,0),顶点为“(一1,加)，

丁・对称轴I=-1,

・••抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

由图象可得：当时，y<0；

・••①正确，符合题意；

，・•抛物线与x轴的另一^交点坐标为(1,0),

设抛物线为y=tz(x-l)(x+3),

当％=-1时，歹=—4。，当x=0时，'二一3〃，

...Af(—1,—4。)，8(0,—3。)，

如图所示，过点河作平行于歹轴的直线/,过点4作过点、B作BN工/,

3百

F

设直线45的解析式为歹=/x+b',

-3r+y=o

把3(0,-3〃)，4(-3,0)代人得:

b'=-3a

k'=-a

解得:

b'=-3a

I.直线的解析式为歹=一分一3。,

当％=—1是，y=~2a,

・•・尸(―L—2Q),

MF=2a,

；."3=巫

22

解得：a=^-,故②正确;

2

1,点B是抛物线与y轴的交点，

.•.当x=0时，y=~3a,

.-.5(0,-3a),

:"BM为直角三角形，

当NNAffi=90。时，

/.AM2+BM2=AB2,

•/AM=^(-2)2+(-4a)2=44+16/,BM=^(-l)2+(-a)2=Jl+朋,AB=J(-3,+(-3ay=的+9心,

4+16/+1+/=9+9/,整理得：8a2=4,

解得：。=叵或一旦(舍)

22

H。，-啕,

当/48M=90°时，

AB2+BM2=AM2,

4+16a2=9+9a2+1+a2,整理得:6a2-6

解得：0=1或-1(舍)

/.5(0-3),

当/K43=90°时，

AB2+AM2^BM2,

4+16a2+1+<22=9+9a2,无解；

以点。为旋转中心，将“OB顺时针旋转60°至^AOA,,连接AA,PP,AB,如图所示，

则“,4Pop为等边三角形，

OP-PP',AP=AP',

：.PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

：A/。/为等边三角形，/(-3,0)

54976

-------■--------------

42

当3(0,-3)时,

A'B?3：18+9后,此时不符合题意故③错误;

故答案为：①②.

一题四问，从特殊到一般

12.背景资料：在已知"BC所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图

1,当。3C三个内角均小于120。时，费马点尸在A/BC内部，当乙4尸8=//尸。=/。尸8=120。时，则

P/+P8+PC取得最小值.

图1图2

D

图5C

(1)如图2,等边0BC内有一点P,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求的度数，为

了解决本题，我们可以将A/3尸绕顶点/旋转到△4CP处，此时A/CP三ANBP这样就可以利用旋转变换,

将三条线段尸/、PB、尸C转化到一个三角形中，从而求出//%=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与“3c的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,08c三个内角均小于120。，在。BC外侧作等边三角形“3",连接CB',求证C8'过。BC

的费马点.

(3)如图4,在RTAABC中,ZC=90°,/C=l,ZABC=30°,点P为08c的费马点，连接/尸、BP、

CP,求尸/+P2+PC的值.

(4)如图5,在正方形/3C。中，点£为内部任意一点，连接/£、BE、CE,且边长48=2；求NE+2E+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)见详解；(3)不；(4)V6+V2.

【分析】(1)根据旋转性质得出四△NCP,得出N/P8=N/PC,NP=/P=3,BP=CP，=4,

根据A48C为等边三角形，得出NB/C=60。，可证A4PP为等边三角形，PP'=AP=3,NAP'P=6Q°,根据勾

股定理逆定理尸产+P'C2=32+42=25=PC2，得出APP'C是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/PC=NAPP+

NPPC=60°+90°=150°即可；

(2)将△AP2逆时针旋转60。，得到△ABP,连结PP,根寺居△APB9A4B'P',AP=AP',PB=PB',AB=AB',

才艮寺居NPAP'=NBAB'=60°,AAPP'和AABB'均为等边三角形，得出PP'=AP,根据PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点P,点8'四点共线时，P/+P8+PC靠小=C8',点尸在CB'上即

可；

(3)将ZUPB逆时针旋转60°,得到△^P'3',连结8夕，PP',得出A4PB2△4PB',可证AAPP，和AABB，

均为等边三角形，得出PP=4P,BB'=AB,^ABB'=60°,WPA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得点C,

点尸，点尸'，点8'四点共线时，PA+PB+PC利用30°直角三角形性质得出/8=2/C=2,根据勾股

定理BC7AB2-AC?="-F=G可求BB，=4B=2,根据NCA5'=N4BC+NABB'=30°+60°=90°,在

RdCB*中,B'C=4BC2+BB'2=+2?=V7即可；

(4)将△5CE逆时针旋转60。得到△(?£1声，连结EE',BB',过点皮作B'F^AB,交AB延长线于F,得出△BCE

出△CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证△ECE'与△3CB'均为等边三角形，得出EE=EC,BB'=BC,Z

B'BC=60°,AE+BE+CE