2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第8章 平面向量（单元测评卷）（原卷版）

第8章平面向量单元测评卷

建议用时：120分钟，满分：150分

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．化简：=

2．已知平面��向−量��+��+��，若，则.

3．已知是单位向�量=，�在,1四,边�=形A1B−C�D,2中�，�∥，�+��，=则四边形ABCD的形状

为�．（矩形、正方形、菱形、梯形�）�.=2���=−2�|��|=2

4．向量在上的投影向量是（用坐标表示）．

5．已知向�=量1，,3满�足=2,1，，且，的夹角为60°，则．

6．已知两个非�零�向量�，=不3共线�，=若5��，，2�−�=，且A，B，C三点共线，

则.����=2�+���=�+����=−�+3�

7．�在=中，，若，则实数的值为.

3

△�����=3����=𝑂�+4���

8．设是内部一点，且，则．

9．在边�长△为���的等边三角形��中+，��=−2��，则�△�𝑃:�△�𝐵:�△�𝐵.=

10．在6中，为锐角��，���=3�，�且对于��⋅��，=的最小值为，则

4

5

11．在△���中，∠过�重��心G的直线�交�边=A2B�于�点P，交边�∈A�C于�点�Q−，𝑂设�的面积为��，cos∠的��面�积=

1

为，且△���，则的取值范围为．△����△���

�1

�2��=𝑂�,��=𝑂��2

12．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上

运动，为圆的�直��径�，��则的取值�范围是.�

𝑀���⋅��

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）.

13．已知、均为非零向量，有下列三个命题：

①若m为�任意�实数，则是的充分非必要条件；

②已知、为两个不平行�=向�量，�则�=��是的必要非充分条件；

③“�”是�“”的既非充分也非��必+要�条�=件0.�=�=0

��

其中�命//�题正确�的=个�数（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

14．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，

����

|��||��|

则P的轨迹一定通过的（）𝑂=𝑂+�+�∈0,+∞

A．外心△B�．��内心C．重心D．垂心

15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，

若向量��𝑂，则把有序数60对°叫做向量�1在坐�2标系�中的�坐标．若在坐标系中，

��=�=�，�1则+下��列2结论正确的个数是�,�（）���𝑂�𝑂�=

(2,1),�=(−4,5)

①；

②�⋅�=−，3；

③�=；7

④�⊥�与的夹角为；

π

3

�+A．�1�个B．2个C．3个D．4个

16．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是

从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH

边上任意一点，则以下命题正确的个数是（）

①与能构成一组基底；②；

③��在��向量上的投影向量为��+��=2��

2

����2+1��

④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围

��=𝑂�+����+�1,2+2

A．1B．2C．3D．4

三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）.

17．（14分）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点．

������������//�������

(1)试用、表示；

(2)证明：��，��，三�点�共线．

18．（14分�）已�知�向量，满足，，设与的夹角为，

(1)当时，求与��的夹角�；=3�=1���

π

�=6��+2�

(2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值．

19．（14分）已知�向量�+��≥�+，�cos�．

(1)若与共线，�=cos�,，3求sin�，�=3的si值n�；,2sin�+cos�

π

3�−���∈2,πtan�cos2�

(2)设函数，，求的值域．

π

��=�⋅��∈0,2��

20．（18分）如图所示：点是所在平面上一点，并且满足、，已知

，，.�△�����=𝑂�+𝑂�(��∈�)��=

∘

6��=2∠���=60

(1)若实数，求证：是的重心；

1

�=�=3�△���

(2)若是的外心，求、的值；

(3)如果�是△���的平分线上�某点�，则当达到最小值时，求.

3

�∠����+�|��|

21．（18分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为

函数��=的�“,相�伴向量”（其中�为�坐=标原�si点n�）．+�cos��∈���=�,�

(1)设��=�sin�+�cos��∈�，写出函数的相伴�向量；

π

ℎ�=2sin�−6�∈�ℎ���

(2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若

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且△，��求�的�取值�范�围；�