2026高考数学复习高效培优专题16 椭圆定义与性质及其综合问题（培优讲义）（原卷版）

专题01椭圆定义与性质及其综合问题目录第一部分研·考情精析锁定靶心高效备考第二部分理·方法技巧梳理知识总结技巧与方法第三部分攻·题型速解典例精析+变式巩固【题型01】椭圆的定义和方程【题型02】椭圆中的几何性质（光学性质）【题型03】椭圆中的焦点三角形【题型04】椭圆的离心率【题型05】点差法（中点弦公式）【题型06】定义法求轨迹方程（椭圆）【题型07】利用定义求距离和、差的最值【题型08】椭圆的离心率范围【题型09】椭圆中的面积问题【题型10】椭圆中的向量问题【题型11】椭圆中的斜率问题【题型12】椭圆中的图形问题【题型13】椭圆中的定比分点【题型14】椭圆中的定点、定线问题第四部分练·决胜冲刺精选好题+通关训练考向聚焦椭圆是高考数学解析几何核心考点，题型覆盖选择、填空、解答题，整体解析结合占20—28分。考向聚焦四大核心：一是定义应用，常结合焦点三角形求周长、轨迹方程或线段最值；二是标准方程求解，以待定系数法为主，需判断焦点位置；三是几何性质，离心率为必考重点，结合关系求解；四是综合应用，直线与椭圆联立是解答题核心，常与韦达定理、弦长、面积、定点定值等结合，难度中等偏上。复习需强化定义与性质基础，熟练运算技巧。关键能力椭圆解题的关键能力，一是定义活用能力，能快速用椭圆定义转化线段关系，破解焦点三角形、轨迹问题。二是代数运算能力，熟练联立直线与椭圆方程，结合韦达定理简化计算，攻克弦长、面积等综合题。三是性质迁移能力，掌握a,b,c,e的关系，精准求解离心率。四是数形结合能力，以形助数，快速定位最值、定点定值问题的突破口。备考策略椭圆备考需立足基础，先吃透定义、标准方程及a、b、c、e的核心关系，熟练定义法、待定系数法求轨迹方程。针对离心率、焦点三角形等高频考点，归纳解题模型，强化训练。直线与椭圆综合题是难点，需熟练联立方程、活用韦达定理，掌握弦长、面积、定点定值的解题套路，提升代数运算与数形结合能力。定期刷高考真题，总结易错点，规避计算失误。

方法技巧01选填的常用方法椭圆选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下：1、定义法核心是活用椭圆的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。2、待定系数法求解椭圆标准方程的核心方法，分两步：先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程；再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。3、离心率求解法离心率，关键是建立的齐次关系式：（1）几何法：结合焦点三角形、椭圆顶点、直线与椭圆位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导；（2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。4、焦点三角形解法结合定义+余弦定理+面积公式：由定义得，由余弦定理得；面积公式：，（为焦点三角形内切圆半径）焦半径：，5、椭圆参数方程：，其中为参数.6、中点弦公式（1）已知是椭圆上的两个点，为重点，则.（2）已知是椭圆：上的两动点，是椭圆上异于的一点，若两点关于原点对称.7、焦半径倾斜式及焦比公式:过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点；，若，则焦比公式：.

方法技巧02解答题的常用方法直线与椭圆综合问题解法：核心步骤是联立方程+韦达定理，适用于弦长、面积、定点定值、最值问题：设直线方程（斜率存在设，斜率不存在设），与椭圆方程联立，消去或得一元二次方程；利用判别式确定参数范围，由韦达定理得、；（1）弦长和面积：弦长公式，或面积公式×底×高求解；（2）向量问题：利用点的坐标表示向量，包括直径所对的圆周角为直角进行向量数量积为零；（3）斜率问题：利用点的坐标表示斜率，包括三点共线时利用斜率的差为零，角度相等时，角度的其中一边平行于或时，将角度转化为倾斜角的关系，利用斜率的和，差，乘积为定值求解；（4）图形问题：利用向量和斜率求解三角形的形状，包括：等腰，等边，直角，钝角三角形；平行四边形对角线互相平分，利用中点坐标进行求解；矩形，菱形，正方形在平行四边形上进行垂直和长度的求解即可.（5）定点、定线问题：利用题目所给的翻译条件，构建等式，从而将直线中用表示即可证明定点坐标；利用直线的交轨法，消参的方法，进行定直线的证明.

题型01椭圆的定义和方程典｜例｜精｜析典例1．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件典例2．已知是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的任意一点，则的最大值是（） A． B． C． D．混淆椭圆第一定义的条件，忽略，误判轨迹。设方程时忽视焦点位置，漏设的统一形式。计算中混淆a,b,c关系，记错，离心率公式误用。变｜式｜巩｜固变式1．曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式2．已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（） A． B． C． D．变式3．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（） A． B． C． D．

题型02椭圆中的几何性质（光学性质）典｜例｜精｜析典例1．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（） A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．满足的点共有4个 D．的最大值为8典例2．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为（） A．5 B．10 C．6 D．9一是混淆的关系，记错，或把离心率与双曲线公式混淆；二是忽略离心率范围，计算后未验证取值合理性。三是几何性质应用时，误将椭圆顶点、焦点坐标写反，尤其焦点在y轴上的方程，易把位置弄混。四是光学性质理解偏差，不清楚“从一焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点”的本质，无法结合定义解决反射类轨迹问题。变式1．若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（） A． B． C． D．变式2．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（） A． B． C． D．变式3．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点，设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的，两点反射后回到焦点．若，，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．

题型03椭圆的焦点三角形典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（） A． B． C． D．典例2．（多选）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为公式混淆：记混面积公式，误用，或记错简洁公式的形式，漏掉或写错半角关系。条件遗漏：计算时忽略椭圆定义与余弦定理的结合，无法由角度推导出的值。参数混用：将椭圆中与双曲线的混淆，代入数值时出错，导致面积计算结果偏差。变式1．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（） A． B． C． D．变式2．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（） A． B． C． D．变式3．（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为

题型04椭圆的离心率典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．一是公式混淆，误将椭圆离心率记成双曲线离心率，忽略椭圆的范围，计算后未验证结果合理性。二是“a、b、c关系用错”，将椭圆中与双曲线的混淆，推导齐次式时出错。三是几何条件转化失误，比如焦点三角形、直线与椭圆相切等场景，无法正确提炼出a与c的比例关系。四是焦点位置判断失误，焦点在y轴时仍套用x轴椭圆的参数关系。变｜式｜巩｜固变式1．已知椭圆中分别为C的左，右焦点，点为椭圆图像上的一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．变式2．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（） A． B． C． D．变式3．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．

题型05点差法（中点弦公式）典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（） A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1典例2．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（） A． B． C． D．一是前提遗漏，忽略点差法的适用条件——直线与椭圆有两个交点，未验证判别式Δ>0，导致所求参数范围失真。二是公式推导错误，将点代入椭圆方程相减时，误算移项步骤，记错中点与斜率k的核心关系式。三是焦点位置混淆，焦点在y轴上的椭圆，未调整公式形式，仍套用x轴椭圆的点差法结论，造成斜率计算错误。变式1．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．变式2．已知直线与椭圆在第四象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，若，则的倾斜角是（） A． B． C． D．变式3．不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（） A． B． C． D．

题型06定义法求轨迹方程（椭圆）典｜例｜精｜析典例1．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（） A． B． C． D．典例2．已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（） A． B． C． D．典例3．已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（） A． B． C． D．（1）定义法：进行相关的数形结合的表示，并进行对应的消元，使得动点到两个定点的距离的和为定值；容易忽略未知变量的表示.（2）相关点法：进行相关点的表示时，没有用已知点对未知点的表示，带入进行求解.（3）直译法：进行点的坐标表示时，注意未知变量的取值范围.变式1．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（） A． B． C． D．变式2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（） A． B． C． D．变式3．在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（） A． B． C． D．变式4．动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（） A． B． C． D．

题型07利用定义求距离和、差的最值典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（） A．9 B．8 C．7 D．6典例2．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（） A． B． C． D．（1）没有先判断点在椭圆内和椭圆外，因此使得距离和、差求解错误；距离和、距离差上，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，转化为三点共线.变式1．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（） A． B．9 C．16 D．25变式2．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（） A． B． C． D．变式3．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12

题型08椭圆的离心率范围典｜例｜精｜析典例1．已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B． C． D．椭圆离心率的核心范围是0<e<1，但解题中易因多种疏漏出错。一是混淆圆锥曲线范围**，常与双曲线（e>1）、抛物线（e=1）的离心率边界混淆，导致基础判断失误。二是忽略焦点位置**，对含参数椭圆方程（如），未区分m>n（焦点在x轴）和m<n（焦点在y轴）的情况，误判a、b取值，引发离心率计算偏差。三是遗漏题目限定条件，比如椭圆上存在点使时，需满足，仅套用0<e<1会缩小范围。四是公式变形失误，记错，或推导时忽略a2b2​与e的单调性关联，最终得出错误离心率区间。变式1．设，为椭圆：的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．变式2．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（） A． B． C． D．变式3．已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（） A． B． C． D．

题型09椭圆中的面积问题典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程.典例2．如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.（i）证明：直线过定点；（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.一是面积公式误用，计算弦与原点或焦点围成的三角形面积时，混淆底高公式与向量叉乘、行列式等便捷算法，未结合弦长公式和点到直线距离公式，导致计算繁琐且出错。二是变量范围遗漏，用参数法设点或设直线斜率时，忽略椭圆上点的坐标边界，或未考虑直线斜率不存在的特殊情况，使最值点超出椭圆范围。三是判别式忽视，联立直线与椭圆方程求交点时，未验证Δ≥0，得出的“最值”因直线与椭圆无交点而无效。四是转化逻辑缺陷，不会将面积最值转化为函数最值，或换元后忽略新变量范围，导致极值求解偏差。变式1．已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点．(1)求的方程；(2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值．变式2．“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆与椭圆相似，的短轴长为2，离心率为.(1)求的标准方程.(2)设为坐标原点，为上的动点，过点且斜率为的直线与相切，与交于，两点，射线交于点，试问：的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.变式3．椭圆的左焦点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程．变式4．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值；(3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值．

题型10椭圆中的向量问题典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)若，求直线的方程.典例2．已知椭圆的一个焦点，短轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.证明：点在以为直径的圆外.典例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在椭圆上，满足直线的斜率之积为，且面积的最大值为2．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，同时与直线交于点，假设，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．一是向量条件转化失误，不会将向量垂直（）、共线等条件转化为坐标等式，或转化后代入椭圆方程时计算出错，丢失隐含约束。二是直径圆周角性质混淆，误将椭圆直径等同于圆的直径，忽略椭圆无“直径所对圆周角为直角”的固有性质，直接套用圆的结论，导致逻辑断层。三是过定点问题漏特殊情况，求动直线过定点时，未验证斜率不存在的情形，或参数消元不彻底，无法锁定定点坐标。四是判别式与范围疏漏，联立方程后未检验Δ≥0，使所求点或直线不满足与椭圆相交的前提，结果失效。变式1．已知椭圆，点F为C的右焦点，点A为C上一个动点，若的最大值为3，的最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线，l与C相交于P，Q两点，若（其中O为坐标原点），求实数m的值．变式2．已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3．(1)求C的方程；(2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程．变式3．如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点.(1)求的值；(2)设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于两点，且直线与直线交于两点，证明：点在以为直径的圆上.变式4．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，长轴长为．(1)求的方程；(2)过焦点的直线交于，两点，过焦点的直线交于，两点，且轴，.（i）求的值；（ii）设线段的中点为为坐标原点，求的取值范围．

题型11椭圆中的斜率问题典｜例｜精｜析典例1．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸．步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点．现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的标准方程；(2)已知圆，为圆上的任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为，，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．典例2．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：.一是三点共线转化疏漏，常只套用斜率相等条件，忽略斜率不存在的垂直轴情形，且未结合判别式验证共线点是否在椭圆上，导致结论无效。二是斜率关系误用，易混淆中点弦斜率乘积）等结论的适用前提，韦达定理推导斜率和差时，又因代数变形失误得出错误关系。三是角度转斜率偏差，将角相等误转为斜率相等，未识别倾斜角互补对应，且遗漏90°角需斜率积为的特殊条件，造成逻辑断层。变式1．已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．(1)求曲线的方程；(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．变式2．设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为(1)求出椭圆方程；(2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线．变式3．已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且．(1)求C的标准方程；(2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D．（i）求面积的最大值；（ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．变式4．设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点．（ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程；（ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列．

题型12椭圆中的图形问题典｜例｜精｜析典例1．已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)判断上是否存在点，使得为等腰直角三角形，如果存在，求出点坐标.反之说明理由.典例2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.一是图形判定条件疏漏，证平行四边形时仅关注对边斜率相等，忽略对边长度相等的核心要求；求矩形未将“邻边垂直”转化为斜率积为，菱形则遗漏“邻边相等”或“对角线垂直”的关键条件。二是点的存在性验证不足，联立方程后未检验Δ≥0，或未确认顶点坐标在椭圆范围内，导致求出的图形实际不存在。三是特殊情况缺失，忽视直线斜率不存在的情形，且未考虑椭圆对称性带来的多解，漏算符合条件的图形数量。四是面积与边长计算失误，混淆图形面积公式，且未结合椭圆参数方程简化运算，增加计算误差。变式1．矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点．(1)求的方程及离心率；(2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形．变式2．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．

题型13椭圆中的定比分点典｜例｜精｜析典例1．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.①证明：为定值；②求面积的取值范围.典例2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.一是定比分点公式误用，混淆内分点与外分点的坐标公式，或颠倒分点比λ的前后项（如误将写成），导致坐标代入椭圆方程时出现基础错误。二是参数范围疏漏，用分点坐标反推直线参数时，未结合椭圆方程的取值边界，也未验证直线与椭圆联立后的Δ≥0，使得求出的λ对应点不在椭圆上。三是韦达定理衔接失误，未将分点坐标与交点韦达定理结论结合，强行计算增加复杂度，且易因代数变形出错，同时忽略斜率不存在的特殊直线情形，造成解的缺失。变式1．已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点.（i）若为原点，求面积的最大值；（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.变式2．已知椭圆的左顶点为，上顶点为.(1)求的离心率；(2)已知过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：.变式3．已知椭圆的短轴长2，离心率为分别是C的左、右顶点，F是C的右焦点.(1)求C的方程;(2)设P是椭圆C上异于顶点的动点，点B在直线上，且，直线PB与x轴交于点Q.证明：

题型14椭圆中的定点、定线问题典｜例｜精｜析典例1．已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．(1)求的方程；(2)已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点．典例2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上．一是参数消元不彻底，求过定点时，未将直线方程整理为关于参数的恒等式形式，无法分离出定点坐标，或消元时遗漏参数的系数为零的核心条件。二是特殊情形遗漏，仅考虑斜率存在的直线，忽略斜率不存在（垂直x轴）的情况，导致定点或定直线解不完整。三是存在性验证缺失，未检验直线与椭圆联立后的Δ≥0，得出的定点对应的直线实际与椭圆无交点；证交点在定直线时，未结合椭圆范围确认点的有效性，结论缺乏严谨性。四是逻辑倒置失误，误将“定点满足直线方程”与“直线过定点”的因果关系颠倒，引发推导逻辑断层变式1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与交于，两点，求证：；(3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.变式3．椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，过点作的平行线，与交于点．判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．一、单项选择题1．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（） A． B． C． D．2．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D．3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（） A． B． C． D．4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点