2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.2.1向量的加减法（2知识点+10考点）（原卷版）

9.2.1向量的加减法内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量的加法运算1、向量加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．2、向量加法的两个重要法则（1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作QUOTE＝a，QUOTE＝b，再作向量QUOTE，向量QUOTE叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝QUOTE＋QUOTE＝QUOTE．（2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线QUOTE就是a与b的和．【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；（2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．3、向量加法的运算律（1）结合律：a＋b＝b＋a（2）交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（2025高一·广东湛江·月考）化简：(1)(2)知识点2：向量的减法运算1、向量减法的定义：若，则向量叫作与的差，记作．求两个向量差的运算叫做向量的减法．2、向量减法的三角形法则：已知向量,，在平面内任取一点，作，，因为，即，所以．如图所示，即可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可．（2025高一·全国·专题练习）化简：；．题型一：向量加法的运算法则【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作.(1)(2)(3)(4)【变式1-1】（24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量.【变式1-2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．

【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量；(1)，，；(2)和．题型二：向量的加法运算【例2】（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（

）A． B． C． D．【变式2-1】（25-26高二上·河北·期中）化简：（

）A． B． C． D．【变式2-2】【多选】（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（

）A． B．C． D．【变式2-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简：(1)；(2)；(3)．题型三：相反向量【例3】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量【变式3-1】（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（

）A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量【变式3-2】（21-22高二上·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（

）A．若，则与方向相同B．若，则与方向相反C．若，则与有相等的模D．若，则与方向相同题型四：向量减法的运算法则【例4】（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量．【变式4-1】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．

【变式4-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量．【变式4-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量：(1)和；(2)和．题型五：向量的减法运算【例5】（25-26高二上·广东东莞·月考）（

）A． B． C． D．【变式5-1】（25-26高三上·广东佛山·月考）（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一下·福建·期末）（

）A． B．0 C． D．【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）化简：（1）；（2）．题型六：已知向量表示其他向量【例6】（24-25高一下·四川成都·月考）在中，，，则等于（

）A． B． C． D．【变式6-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（

）A． B． C． D．【变式6-2】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（

）A．， B．，C．， D．【变式6-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与．题型七：利用向量加减法证明等式【例7】【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列各式中结果为零向量的为（

）A． B．C． D．【变式7-1】【多选】（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（

）A． B．C． D．【变式7-2】（22-23高一·全国·课堂例题）如图，平面上有任意四点A，B，C，D，若，运用向量的加法证明．

【变式7-3】（20-21高一·江苏·课后作业）如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：.题型八：向量加减法的几何应用【例8】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（

）A．1 B． C． D．2【变式8-1】（24-25高一下·北京·期末）在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）四边形为菱形，其中，，则.【变式8-3】【多选】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．题型九：向量加减法的实际应用【例9】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.【变式9-1】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为.【变式9-2】（21-22高一下·河南周口·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿的方向前进，速度为．【变式9-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为h.题型十：向量和与差的模问题【例10】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围．【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式10-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是，最大值是．【变式10-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求：(1)的取值范围；(2)的取值范围．一、单选题1．（2025高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（

）A． B． C． D．2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（

）A． B．C． D．3．（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（）A． B．C． D．4．（2025高二·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（

）．A． B． C． D．5．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（

）A． B． C． D．6．（2025高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（

）A． B．C． D．7．（2025高一·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（

）A． B． C． D．8．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（

）．A． B． C． D．19．（2026高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，若，，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．二、多选题10．（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（

）A． B．C． D．11．（2025高一·广西柳州·开学考试）下列结论恒为零向量的是（

）A． B．C． D．12．（2025高一·江西上饶·月考）下列能化简为的是（

）A． B．C． D．13．（2025高一·全国·课后作业）下列式子中正确的有（

）A． B．C． D．14．（2025高一·广东东莞·月考）下列四式可以化简为的是（

）A． B．C． D．三、填空题15．（2025高一·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是（填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）.16．（2025高一·甘肃·月考）设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为.17．（2025高二·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则.18．（2026高三·全国·专题练习）化简：（1）；（2）．四、解答题19．（25-26高一·全国·单元测试）化简下列各式：(1)；(2)．(3)．20