2026高一数学寒假自学课（苏教版）9.4向量应用（2知识点+8考点）（原卷版）

9.4向量应用内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：向量在几何中的应用1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．2、向量在平面几何中常见的应用（1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：．（2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：．（3）求夹角问题，利用夹角公式：．（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或．（2025高一·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．(1)判断四边形的形状，并给出证明；(2)若，，与的夹角为，为中点，求．知识点2：向量在物理中的应用1、向量在物理应用中的主要解题思路（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题．2、力学问题的向量处理方法（1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上．3、速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成（1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；（2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解．4、功、动量问题的向量处理方法物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合．（2024高二·辽宁·学业考试）在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用.(1)求物体受到与的合力的大小；(2)求.题型一：用向量证明线段垂直【例1】（2025高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形【变式1-1】（2025高一·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【变式1-2】（2025高三·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（

）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形【变式1-3】（2025高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形题型二：用向量证明平行【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在△ABC中，＝4，.求证：B，T，E三点共线．【变式2-1】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．

(1)用，表示，；(2)用平面向量证明：E，F，C三点共线．【变式2-2】（2025高一·上海·课堂例题）用向量方法证明：把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线，则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线．【变式2-3】（2025高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．题型三：利用向量求线段的长度【例3】（2025高三·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（

）A． B． C．2 D．【变式3-1】（2025·山东临沂·模拟预测）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（

）A． B． C．3 D．【变式3-2】【多选】（2025高一·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（

）A． B．C．的面积为 D．【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是．题型四：利用向量求夹角【例4】（2025高一·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（

）A．3 B． C． D．【变式4-1】（2025高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为【变式4-2】（2025高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2025高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.

(1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值.题型五：向量与几何最值问题【例5】（2025高三·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为.【变式5-1】（25-26高三·天津滨海新·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则.若是线段上的一个动点，则的最小值为.【变式5-2】（25-26高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】（25-26高三·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：力的合成问题【例6】（25-26高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么N.（）

【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为．【变式6-2】（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（

）A． B．C． D．【变式6-3】【多选】（2025高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（

）

A．越大越费力，越小越省力 B．当时，C．当时， D．当时，题型七：速度与位移的合成问题【例7】（25-26高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】（25-26高一·全国·假期作业）船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为．【变式7-2】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（

）A． B． C． D．【变式7-3】（2025高一·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．(1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？题型八：功和动量的计算【例8】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（

）A．2 B．4 C．6 D．10【变式8-1】（2025高一·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为.【变式8-2】（2025高一·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（）A． B． C．17 D．10【变式8-3】（2025高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为焦耳．一、单选题1．（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（

）A．2 B．4 C．6 D．102．（25-26高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力3．（25-26高三·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（

）A． B．C． D．4．（2025高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（）A． B． C． D．5．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（）A．内心 B．任意一点C．垂心 D．重心6．（25-26高三·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（

）A．15 B． C． D．7．（2025·浙江金华·模拟预测）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（

）A． B． C．或 D．或二、多选题8．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（

）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变9．（2025高二·江苏南京·月考）已知是边长为2的正六边形内一点（不含边界），且，则下列结论正确的是（

）A．的面积为定值B．使得C．的取值范围是D．的取值范围是10．（2025高一·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（

）A． B． C．12 D．1611．（2025高三·全国·专题练习）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（）A．B．若，则过的垂心C．若，则过的重心D．若，则过的外心三、填空题12．（25-26高三·北京·月考）已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为.

13．（25-26高三·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则，传令兵所走的路程为．14．（2025高三·湖南岳阳·开学考试）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为．15．（25-26高三·新疆·月考）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一动点，则的最小值为.16．（25-26高三·北京·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为．四、解答题17．（2025高一·山东菏泽·期末）已知点，向量，，．(1)若，求的值；(2)若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．18．（25-26高三·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动(1)当为中点时，