专题六　微重点2　圆锥曲线中的二级结论 -大二轮数学专题复习

微重点2圆锥曲线中的二级结论[考情分析]圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发.考点一焦点三角形考向1焦点三角形的面积例1已知椭圆x216+y29=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=60°，则△F1MF2A.1633 B.16C.33 D.93答案C解析根据椭圆焦点三角形的面积公式S△F1MF2得S△F1MF[规律方法]焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，S△PF1F2=b2tanθ跟踪演练1(2024·西安模拟)设F1，F2是椭圆C：x26+y218=1的两个焦点，点P是C上的一点，且cos∠F1PF2=13，则△PF1FA.3 B.32 C.9 D.92答案B解析方法一由题设，∠F1PF2∈(0，π)，可得sin∠F1PF2=22cos∠F1PF2=PF1|2+由|PF1|+|PF2|=2a=62，|F1F2|=2c=43，则12PF1||PF2|=43，即所以△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=32方法二设∠F1PF2=θ，由题意得θ∈(0，π)，则θ2∈0因为cosθ=13，tanθ2=1-cosθ1+cosθ=由椭圆焦点三角形的面积公式得S△PF1F2=b2tan考向2焦半径之积及离心率的表示例2(2024·淄博模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q=2π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12A.2+33 B.C.233答案A解析如图，设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2，设∠F1PF2=θ，根据椭圆和双曲线的对称性，可知四边形PF2QF1为平行四边形，则θ=π-∠PF2Q=π3|PF1||PF2|=2b12故b12=3则a12+3a22=4c2，即1则e12e12+1+3e2=16×4+3=16×=2+3当且仅当3即e12[规律方法](1)设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2(2)设P点是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则①|PF1||PF2|=2跟踪演练2设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x24+y23=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=35，则PFA.94 B.7C.2 D.7答案A解析记∠F1PF2=θ，则|PF1||PF2|=2b即PF1P则PF1·PF2=PF1=154×35=考点二垂径定理例3(多选)已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·A.b2a2 B.C.-1 D.e2-1答案BD解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Mx1kOM=y1+y2x1+x2，kAB=∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得x12a2+y12b两式相减得x12-x整理得y12-y22x12-x22=-[规律方法]双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM跟踪演练3(多选)(2024·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c，过右焦点FA.弦AB的最小值为2B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4aC.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)答案ABC解析对于A，弦AB的最小值为通径2b2a，对于B，由双曲线的定义得AF1-AF2=2a，BF所以AF1=AF2+2a，BFAF1+BF1=AF2+2a+BF则△F1AB的周长=AF1+BF1+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b2a2，对于D，若直线AB的斜率为3，所以ba<3，所以b2<3a2，所以c2<4a2所以e=ca∈1，2，故考点三椭圆、双曲线的第三定义定义：平面内与两个定点A1(-a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2例4(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的A.33 B.1C.32 D.答案C解析根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1，又k所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4e2-1=-1，则e=[规律方法]第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(-m，-n)的斜率乘积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e2-1=-b2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e2跟踪演练4设直线y=kx与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·A.3 B.1 C.2 D.3答案B解析由题意可知点A，B关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，又由e=2，则k1·k2=1.考点四焦点弦1.已知F1，F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线l过左焦点F1与曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2=α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p=b2(1)椭圆焦半径公式：|AF1|=ep1-ecosα，|BF1|=ep1+(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep(3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=ep1+ecosα，|BF1|=ep1-②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=epecosα+1，|BF1AF1 图1图2(4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=2ep2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx=α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离.(1)抛物线焦半径公式：|AF|=ep1-ecosα=p1-cosα，|BF|=ep1+ecos(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|=|AF|+|BF|=2ep1-e3.焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，AF=λFB，则曲线的离心率满足等式|ecosα|=λ-1例5(1)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cosθ=14.若|AB|=|AF1|A.4 B.15 C.32答案D解析|AF2|=b2a-ccosθ，|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒b2a+14c=2a⇒e2-(2)(2024·沧州模拟)已知椭圆方程为x24+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为答案3+2解析由焦半径公式可得1|AF|+1|BF|∴|AF|+2|FB|=14(|AF|+2|FB|)=|AF|4|BF|+|BF|2当且仅当|AF|4|BF|=|BF|又1|AF|+1|BF|得|AF|∴|AF|+2|FB|的最小值为3+22[易错提醒](1)要注意公式中α的含义.(2)公式中的加减符号易混淆.(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样.跟踪演练5过双曲线C：x24-y22=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AF|=23，则|答案2解析设∠AFO=α，因为|AF|=23<2+6所以点A必在双曲线右支上，由焦半径公式，|AF|=b2ccosα+解得cosα=66所以sinα=306从而tanα=5，双曲线C的渐近线的斜率为±22因为5>22所以点B也在双曲线的右支上，如图，由图可知，∠BFO=π-∠AFO=π-α，所以|BF|=b2ccos(π-专题强化练(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，A.1 B.2 C.4 D.8答案A解析根据焦点三角形面积公式可知，S△PF1F2=b2tanθ2由题意知S△PF1F2代入S△PF可得b=2，又离心率ca=5结合c2=a2+b2，解得a=1.2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：x24+y23=1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BPA.34 B.4C.-34 D.-答案C解析根据椭圆的第三定义可知kAP·kBP=-b2a23.已知双曲线E的中心为原点，F(1，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(-4，-5)，则双曲线E的渐近线方程为()A.5x±2y=0 B.2x±5y=0C.4x±5y=0 D.5x±4y=0答案A解析∵kAB=-5-0-4-1=1，kON=5且kAB·kON=b2∴b2a2∴4b2=5a2，可得双曲线的渐近线方程为5x±2y=0.4.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10答案A解析设l1的倾斜角为θ，不妨设θ∈0，那么|AB|=2psin因为l1⊥l2，所以l2的倾斜角为θ+π2则|DE|=4sin2求|AB|+|DE|的最小值，即求41sin2θ令f(θ)=41sin2θ+当sin22θ=1，即θ=π4时，f(θ)取得最小值5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若BA=4BF，则△AOB的面积为()A.833 B.C.823答案B解析设直线l的倾斜角为θ(0<θ<π)，由题意知|AF||BF|=3，|AF|=p|BF|=p1+cos∴1+cosθ1-cosθ=3，解得cosθ则sinθ=32又抛物线焦点弦弦长|AB|=2p∴S=12|OF|·|AB|·sinθ=p22sinθ=6.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2=2α(α≠0)，则椭圆CA.(0，sin2α] B.(0，sinα]C.[sin2α，1) D.[sinα，1)答案D解析由题，0<2α<π，则0<α<π2由焦点三角形面积公式得S△F1MF2=设M(x0，y0)，则|y0|≤b，所以S△F1MF2=12·2c·故S△F1MF2=b2所以bsinα≤ccosα，两边同时平方得(a2-c2)sin2α≤c2cos2α，解得sinα≤e，又0<e<1，所以sinα≤e<1.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列与双曲线有关的结论，正确的是()A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数bB.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数abC.双曲线上任意一点P到两条渐近线的距离乘积为定值D.过双曲线x2-y2=2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为2mn答案ABC解析对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B正确；对于C，设双曲线方程为x2a2-过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，设P(x0，y0)，则|PA|=bx|PB|=bx|PA|·|PB|=bx0=b2又点P(x0，y0)在双曲线上，所以x02a2b2x02-a2y02=a即|PA|·|PB|=a2b2对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为x+y=0和x-y=0，直线x+y=0与x-y=0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|=a2b2c28.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是()A.若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|=8B.若AF=2FB，则直线AB的斜率为±23C.若O为坐标原点，则B，O，C三点共线D.CF⊥DF答案ACD解析若直线A