专题四　微专题1　空间几何体 -大二轮数学专题复习

微专题1空间几何体[考情分析]表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.空间位置关系一是考查命题的真假判断，二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属于中档题.考点一表面积与体积1.旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧=2πrl，S圆柱表=2πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).(2)S圆锥侧=πrl，S圆锥表=πr(r+l)(r为底面半径，l为母线长).(3)S球表=4πR2(R为球的半径).2.空间几何体的体积公式(1)V柱=Sh(S为底面面积，h为高).(2)V锥=13Sh(S为底面面积，h为高)(3)V台=13(S上+S上·S下+S下)h(S上，S下(4)V球=43πR3(R为球的半径)例1(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为(A.23π B.33π C.63π D.93π答案B解析设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为r而它们的侧面积相等，所以2πr×3=πr×3+即23=3+r2，故故圆锥的体积为13π×9×3=33π(2)(2024·昆明模拟)某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座ABCD是边长为42的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线AA1，BB1，CC1，DD1一头连着底座端点，另一头都连在球O的表面上(底座厚度忽略不计)，若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为()A.108π3 B.256πC.500π3 D.答案C解析如图，作出该艺术吊灯的正视图，由已知得四边形A1B1C1D1为正方形，则B1D1=8，设正方形A1B1C1D1的外接圆圆心为O1，连接O1O并延长交球面于点E，如图所示，则OO1⊥B1D1，所以D1O1=B1O1=4，因为该艺术吊灯总高度为14，DD1=BB1=6，所以O1E=8，设球O的半径为R，则OO1=8-R，在Rt△OO1B1中，(8-R)2+42=R2，解得R=5，所以球O的体积为43πR3=43π×53=[规律方法]空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体.(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.跟踪演练1(1)(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为()A.36 B.33C.32 D.33答案C解析用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长l=1+3=2+2=3+1=4，V五面体ABC-DEF=12V三棱柱ABC-=12S△DGK·l=12×12×1×1×3(2)(2024·河南TOP20名校联考)如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为4cm2和9cm2，高为3cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)

答案455解析如图所示，将三棱台补成三棱锥O-A1B1C1，设三棱锥O-ABC的高为h，则hh+3=49，解得h所以三棱锥O-ABC的体积为13×4×6=8(cm3)再设O-A0B0C0，O-A1B1C1的体积分别为V0，V1，则8V0=hh+所以V0=1258cm3，同理8V所以V1=323×8=27(cm3所以该地的降雨量为V1-V04=9132(cm)考点二空间点、线、面的位置关系平行关系及垂直关系的转化例2(1)(2024·石家庄质检)设α，β，γ是三个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是()A.若α⊥β，m⊂α，l⊥β，则m∥lB.若m⊂α，l⊂β，α∥β，则m∥lC.若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥βD.若α∩β=l，m∥l，m⊥γ，则α⊥γ答案D解析对于A选项，若α⊥β，m⊂α，l⊥β，则l∥α或l⊂α，无法确定m与l的关系，错误；对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少条件m⊂γ，l⊂γ，则m与l可能平行或异面，错误；对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l⊂α，则l，β平行、相交或l⊂β均有可能，错误；对于D选项，若α∩β=l，m∥l，m⊥γ，则l⊥γ，由面面垂直的判定定理可得α⊥γ，正确.(2)(多选)(2024·聊城模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是()A.“AB=PB”与“PB=BD”B.“PA⊥PC”与“PB⊥PD”C.“PB⊥CD”与“PC⊥AB”D.“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”答案BC解析对于A，若AB=PB，而底面ABCD是正方形，AB≠BD，所以PB=BD不成立，故A错误；对于B，设底面正方形中心为O，当P在以O为球心，OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，DC⊥平面PBC，显然符合题意，故C正确；对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，如图，有α取A∈γ，作AB⊥a，AC⊥b，垂足分别为B，C，由面面垂直的性质可知AB⊥α，AC⊥β，由线面垂直的性质及l⊂α，l⊂β可知，AC⊥l，AB⊥l，又AB∩AC=A，AB，AC⊂γ，由线面垂直的判定可知l⊥γ，若“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，易知P∈平面PAB∩平面PCD，可设平面PAB∩平面PCD=l，则P∈l，则l⊥平面PBD，易知AB∥CD，AB⊄平面PCD，所以AB∥平面PCD，则l∥AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成立，故D错误.[规律方法](1)证明线线平行的常用方法①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质定理.跟踪演练2(1)(2024·金华模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l答案D解析由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β，由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β，则推出m∥n，与m，n异面矛盾，所以α与β相交，且交线平行于l，故选D.(2)(多选)(2024·秦皇岛模拟)如图，在圆柱O1O中，轴截面ABCD为正方形，点F是AB上一点，M为BD与轴O1O的交点.E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且EF∥平面AMN，则下列选项正确的有()A.CF∥平面AMNB.AN⊥平面DBFC.DB⊥平面AMND.F是AB的中点答案BCD解析由题意可知，点M是BD的中点，所以点A，M，C三点共线，所以点C∈AM⊂平面AMN，所以CF∩平面AMN=C，则直线CF与平面AMN不平行，故A错误；因为AD⊥平面ABF，BF⊂平面ABF，所以AD⊥BF，因为BF⊥AF，AD∩AF=A，且AD，AF⊂平面ADF，所以BF⊥平面ADF，因为BF⊂平面DBF，所以平面ADF⊥平面DBF，又因为平面ADF∩平面DBF=DF，AN⊂平面ADF，AN⊥DF，所以AN⊥平面DBF，故B正确；因为AN⊥平面DBF，DB⊂平面DBF，所以AN⊥DB，因为轴截面ABCD为正方形，点M是BD的中点，所以AM⊥DB，又因为AM∩AN=A，且AM，AN⊂平面AMN，所以DB⊥平面AMN，故C正确；连接MF(图略)，因为BF⊥平面ADF，DF⊂平面ADF，所以BF⊥DF，因为DB⊥平面AMN，MN⊂平面AMN，所以DB⊥MN，且点M是DB的中点，因为EF∥平面AMN，EF⊂平面DEF，平面DEF∩平面AMN=MN，所以EF∥MN，所以DB⊥EF，且E是MB的中点，所以BF=MF=12BD，且BD=2AB，所以BF=22AB，所以AF=BF=2所以点F是AB的中点，故D正确.考点三折叠与展开问题空间几何体的侧面展开图(1)圆柱的侧面展开图是矩形.(2)圆锥的侧面展开图是扇形.(3)圆台的侧面展开图是扇环.例3(1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()A.C∈GHB.CD与EF是共面直线C.AB∥EFD.GH与EF是异面直线答案ABD解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即C∈GH，又可知CD与EF是平行直线，即CD与EF是共面直线，AB与EF是相交直线(点B与点F重合)，GH与EF是异面直线，故A，B，D正确，C错误.(2)(多选)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()A.圆锥的母线长为3B.圆锥的表面积为36πC.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°D.若一只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为93答案BD解析设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl=3πl，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为3603°=120°，故Cπl2=3×3πl，解得l=9，所以圆锥的母线长为9，故A错误；圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π，故B正确；如图为圆锥沿SA展开的侧面展开图，连接AA'，则△ASA'为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'=2×9×sin60°=93，故D正确[规律方法]空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.跟踪演练3(1)将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这个正四面体某顶点到其相对面的距离是()A.63 B.5C.33 D.答案A解析依题意可得如图所示正三棱锥S-ABC，且棱锥的所有棱长均为1，取AB的中点D，连接CD，设S在底面ABC的射影为点O，根据正三棱锥的性质可知O为△ABC的重心，所以CD=12-122=32，CO=2所以SO=SC2-CO(2)(多选)(2024·长沙模拟)如图，AD与BC分别为圆台上、下底面直径，AD∥BC，若AB=3，AD=2，BC=4，则()A.圆台的表面积为14πB.圆台的体积为142πC.圆台的中截面(过圆台高的中点且平行于底面的截面)面积为5πD.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为33答案AD解析对于A选项，圆台的表面积包括上、下底面面积及侧面积，上、下底面面积和为π×12+π×22=5π，根据圆台侧面积公式可得其侧面积为π×(1+2)×3=9π，所以圆台的表面积为14π，故A正确；对于B选项，易知圆台的高为32-(2-1根据台体体积公式可得圆台的体积为13(π×12+π×22+π×12×22)×22对于C选项，易知圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，所以中截面圆的半径长为2+44=32，所以中截面圆的面积为π×322对于D选项，将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开，延长BA，CD交于点M，如图所示.在圆台的轴截面等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12BC根据台体性质易知A，D分别为BM，CM的中点，所以AM=DM=AB=3，设∠AMD=θ，则AD=3θ=12×2π×1则θ=π在△ACM中，AM=3，CM=6，∠AMD=π由余弦定理可得AC=AM2+C因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为33，故D正确专题强化练(分值：84分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2024·天津)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m⊥nB.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m∥α，n⊥α，则m⊥nD.若m∥α，n⊥α，则m与n相交答案C解析对于A，B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.2.(2024·来宾模拟)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为()A.1 B.43C.65 D.答案D解析设该正四棱台的高为h，又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则V=13h(12+22+12×22)=7h33.(2024·宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β=l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由于α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β，若l⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故充分性成立；若α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ=m，β∩γ=n，则存在直线a⊂γ，使得a⊥m，所以a⊥α，由于l⊂α，故a⊥l，同理存在直线b⊂γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于l⊂β，故b⊥l，由于a，b不平行，所以a，b是平面γ内两条相交直线，所以l⊥γ，故必要性成立.4.(2024·晋城模拟)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为(A.62π B.162C.63π D.16答案B解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意可得πrl=12π,2π3l=2π则圆锥的高h=l2-所以此圆锥的体积为13h×πr2=165.(2024·衡水模拟)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如用来收运垃圾的畚箕，其结构为如图所示的五面体ADE-BCF，其中四边形ABFE与DCFE都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若AD⊥平面ABFE，且EF=2AB=2AE=2BF，记三棱锥D-ABF的体积为V1，则该五面体的体积为()A.8V1 B.5V1 C.4V1 D.3V1答案C解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以S△ABD=S△BCD，所以VF-BCD=VF-ABD=V1.记梯形ABFE的高为h，因为EF=2AB，所以S△AEF=12EF·h=12×2AB·h=2S△所以VD-AEF=2VD-ABF=2V1，所以该五面体的体积V=VD-AEF+VD-ABF+VF-BCD=2V1+V1+V1=4V1.6.(2024·武汉模拟)如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列选项正确的是()A.△CEF为正三角形B.SA⊥平面CEFC.SD∥平面CEFD.点D到平面CEF的距离为23答案C解析该半圆围成的圆锥的侧面，如图所示，选项A，设圆锥底面半径为r，则2πr=4π，∴r=2，∴CE=4，∵F为AS的中点，O为AD的中点，∴FO∥SD，且FO=2=12CE∴∠CFE=90°，由题意得CF=EF，∴△CEF为等腰直角三角形，选项A错误；选项B，假设SA⊥平面CEF，易得∠AFO=90°，在△AFO中，AO=FO=AF=2，∴∠AFO=60°，假设不成立，选项B错误；选项C，∵FO∥SD，FO⊂平面CEF，SD⊄平面CEF，∴SD∥平面CEF，选项C正确；选项D，∵CE⊥AD，CE⊥SO，AD∩SO=O，AD，SO⊂平面SAD，∴CE⊥平面SAD，又CE⊂平面CEF，∴平面CEF⊥平面SAD，∴点D到直线FO的距离即为点D到平面CEF的距离，又∵FO∥SD，∴点D到直线FO的距离等于点O到直线SD的距离，为3，选项D错误7.(2024·揭阳模拟)如图，正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1的高为12cm，AB=10cm，A1B1=2cm，容器中水的高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcm B.C.33πcm D.答案A解析正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1的高为12cm，AB=10cm，A1B1=2cm，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为12×(2+10)=6(cm)其体积为V1=13×(62+102+62×102)×6=392放入铁球后，水位高9cm，沿A1B1作纵截面，从A1，B1分别向底面引垂线，如图，其中EF是底面边长为10cm，B1H是容器的高为12cm，GH是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质知，GNHF=B1GB1H=可得GN=1cm，此时水面边长为4cm，此时水和放入的57个球的体积和为V2=13×42+102+放入的57个球的体积为468-392=76(cm3)，设小铁球的半径为r，则57×43πr3=76，解得r=31π8.(2024·临汾模拟)在平行四边形ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=π3，E，H分别为AB，CD的中点，将△ADE沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥A'-BCDE，F为A'C的中点，则下列说法不正确的是(A.平面BFH∥平面A'DEB.四棱锥A'-BCDE体积的最大值为3C.无论如何折叠都无法满足A'D⊥BCD.三棱锥A'-DEH表面积的最大值为23+4答案C解析选项A，连接BF，BH，FH，由平行四边形ABCD，知BE∥DH，又AB=2AD=4，E，H分别为AB，CD的中点，所以BE=DH，即四边形BEDH为平行四边形，所以BH∥DE，又BH⊄平面A'DE，DE⊂平面A'DE，所以BH∥平面A'DE，又F是A'C的中点，所以FH∥A'D，又FH⊄平面A'DE，A'D⊂平面A'DE，所以FH∥平面A'DE，又FH∩BH=H，FH，BH⊂平面BFH，所以平面BFH∥平面A'DE，故A正确；选项B，当平面A'DE⊥平面BCDE时，四棱锥A'-BCDE的体积最大，因为∠BAD=π3，AD=AE=2，所以点A'到平面BCDE的距离为3，梯形所以最大值为V=13×3×(2+4)×32=3，选项C，连接DB，根据题意可得BC⊥DB，当BC⊥A'B时，因为A'B∩DB=B，A'B，DB⊂平面A'DB，所以BC⊥平面A'DB，又A'D⊂平面A'DB，即BC⊥A'D，故C错误；选项D，连接A'H，EH，当EH⊥A'E时，根据对称性可得DH⊥A'D，此时△A'EH，△A'DH的面积最大，因此三棱锥A'-DEH的表面积最大，最大值为S=S△A'DE+S△A'DH+S△DEH+S△A'EH=12×2×3×2+12×2×2×2=23+4，选项D二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2024·深圳模拟)已知m，n是异面直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，那么()A.当m⊥β或n⊥α时，α⊥βB.当m∥β且n∥α时，α∥βC.当α⊥β时，m⊥β或n⊥αD.当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行答案AB解析当m⊥β，m⊂α时，α⊥β；当n⊥α，n⊂β时，α⊥β，故A正确；当m∥β，n∥α时，又m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，所以α∥β，故B正确；当α⊥β时，由m⊂α，得m∥β或m与β相交；当α⊥β时，由n⊂β，得n∥α或n与α相交，故C错误；当α，β不平行时，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误.10.(2024·浙江强基联盟5月联考)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF=EF=2DF=2，AE=3，EB=4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE，连接A'B，D'C，如图2，则()A.BE⊥A'D'B.平面A'EB∥平面D'FCC.多面体A'EBCD'F为三棱台D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为π答案ABD解析对于A，因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，BE⊥EF，BE⊂平面BCFE，所以BE⊥平面A'D'FE，又A'D'⊂平面A'D'FE，所以BE⊥A'D'，A正确；对于B，因为A'E∥D'F，A'E⊄平面D'FC，D'F⊂平面D'FC，则A'E∥平面D'FC，又BE∥CF，BE⊄平面D'FC，CF⊂平面D'FC，则BE∥平面D'FC，又A'E∩BE=E，A'E，BE⊂平面A'EB，所以平面A'EB∥平面D'FC，B正确；对于C，因为D'FA'E=13，FC所以多面体A'EBCD'F不是三棱台，C错误；对于D，分别延长A'D'，EF相交于点G，因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，A'E⊂平面A'D'FE，A'E⊥EF，所以A'E⊥平面BCFE，则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的角.因为A'E∥D'F，所以D'F解得GF=1，GE=3，tan∠A'GE=A'EGE=1则∠A'GE=π4，D11.(2024·徐州适应性测试)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为23，则(A.该圆台的体积为263πB.该圆台外接球的表面积为112πC.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D.挖去以该圆台上底面为底，高为3的圆柱后所得几何体的表面积为(16+23)π答案BC解析由已知得圆台的上、下底面半径分别为1，3，对于A，圆台的体积为13π(12+32+12×32)×2对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，当球心在梯形ABCD内时，R2-12+R2-当球心在梯形ABCD外时，R2-12-所以外接球的表面积为4πR2=112π3，对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，又母线长为(23)2+(3-1)2=4对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为3的圆柱后所得几何体的表面积为π(3+1)×4+2π×1×3+π×(32+12)=26π+23π，D错误.三、填空题(每小题5分，共15分)12.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是.

答案22解析过点B'作B'C'∥y'轴，交x'轴于点C'，如图，在△O'B'C'中，∠B'O'C'=30°，∠B'C'O'=135°，O'B'=2，由正弦定理B'C于是得B'C'=2×12由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是22.13.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台母线长分别为2(r2-r1)，3(r2-r1)，则圆台甲与乙的体积之比为.

答案6解析由题可得两个圆台的高分别为h甲=[2(r2-r1)]2-(h乙=[3(r2-r1)]2-(所以V甲V=h甲h乙=314.将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为32cm的正六边形上，如图(2)所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为cm3.

答案108解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即12×63=108(cm3)15题5分，16题6分，共11分15.(2024·郑州模拟)如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角，设M为AD的中点，N为BC的中点，则三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为()A.22π3C.23π3答案C解析由题意可得OM=ON=12CD=2过点M作MP⊥AO于点P，连接PN，由二面角D-AC-B为直二面角，故平面DAC⊥平面ACB，又平面DAC∩平面ACB=AC，MP⊂平面DAC，故MP⊥平面ACB，又PN⊂平面ACB，故MP⊥PN，则MP=24CD=2，CP=2CD-24CD=32，CN=在△CNP中，利用余弦定理得NP=(32)在△MPN中，MN=(10)在△MON中，OM=ON=2，MN=23，取MN的中点为H则点O到MN的距离为OH=22-根据圆锥的定义知，三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体，故圆锥的底面半径为OH，所以旋转体的体积为V=13π×12×23=216.(多选)[椭圆柱]把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO'中椭圆长轴AB=4，短轴CD=23，F1，F2为下底面椭圆的左、