2025年北师大版高中数学思维拓展测验试题

2025年北师大版高中数学思维拓展测验试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在复数平面内，点Z对应的复数为z=3+4i，则其关于实轴对称的点的坐标为（）A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)2.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a·b的值为（）A.1B.5C.-5D.74.抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A.(2,0)B.(4,0)C.(0,2)D.(0,4)5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，且f(0)=1，则φ的可能取值为（）A.π/2B.3π/2C.π/4D.3π/46.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=14，则其通项公式为（）A.a_n=3n+2B.a_n=2n+3C.a_n=4n-3D.a_n=5n-107.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆心到直线3x-4y-5=0的距离为（）A.1B.2C.√5D.38.若函数g(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.eD.e^29.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=10，则AC的长度为（）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√310.已知函数h(x)=√(x^2+1)，则其在区间[0,1]上的最小值为（）A.0B.1C.√2D.√3填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若复数z满足z^2=1，则z的实部为________。12.不等式|x-2|>3的解集为________。13.已知向量u=(2,m)，v=(n,-4)，若u//v，则mn的值为________。14.椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率为________。15.函数f(x)=cos(2x-π/3)的对称轴方程为________。16.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则其公比为________。17.过点(1,2)且与直线y=3x-1垂直的直线方程为________。18.若函数F(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则F'(1)的值为________。19.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线x+y=1的距离为√2，则a+b的值为________。20.已知某校高三（1）班有60名学生，其中男生与女生人数之比为3:2，现随机抽取3名学生，则抽到2名男生、1名女生的概率为________。判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若a>b，则a^2>b^2。22.函数y=tan(x)在区间(π/2,π)上是增函数。23.若数列{c_n}是等差数列，则数列{c_n^2}也是等差数列。24.抛物线y=ax^2+bx+c的开口方向由a的正负决定。25.若f(x)是奇函数，则f(0)=0。26.在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。27.若函数g(x)在区间I上单调递增，则其反函数也在区间I上单调递增。28.圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心到原点的距离为√(a^2+b^2)。29.若向量p=(1,1)与向量q=(k,2)垂直，则k=2。30.某事件发生的概率为0.6，则其对立事件发生的概率为0.4。简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间。32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=10，求△ABC的面积。33.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=4，求圆C在第四象限内的面积。应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品需成本10元，售价为20元。若生产x件产品的利润为y元，求：（1）y关于x的函数关系式；（2）生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少？（3）若要实现利润为30万元，至少需要生产多少件产品？35.在直角坐标系中，一动点P到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和为√2，求动点P的轨迹方程。【标准答案及解析】单选题1.C；对称点为(3,-4)。2.A；x^2-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。3.B；a·b=1×3+2×(-1)=5。4.A；p=4，焦点(2,0)。5.A；周期T=2π/ω=π，ω=2；f(0)=sinφ=1，φ=π/2+2kπ。6.A；a_4=a_1+3d，d=3，a_n=5+3(n-1)=3n+2。7.C；距离d=|3×1-4×(-2)-5|/√(3^2+4^2)=√5。8.A；g'(x)=e^x-a，g'(1)=e-a=0，a=e。9.B；由正弦定理sinC=10/(2√3)，C=75°，AC=10sin45°/sin75°=5√3。10.B；h(x)在[0,1]上单调递增，最小值为h(0)=1。填空题11.±1；z=±1。12.(-∞,-1)∪(5,+∞)；x-2>3或x-2<-3。13.-8；u//v⇒2×(-4)=mn，mn=-8。14.2/3；e=c/√a=√(9-4)/3=2/3。15.x=π/6+kπ；对称轴2x-π/3=kπ+π/2。16.2；b_3=b_1q^2，q=2。17.y=-1/3x+7/3；垂直⇒k_1k_2=-1，斜率k=1/3，方程y-2=1/3(x-1)。18.0；F'(x)=3x^2-3，F'(1)=0。19.1；|a+b-1|=√2，a+b=1或-1。20.1/2；C(3,2)={60,60}，P(2,1)=15，P(2,1)=15，P(2,1)=15。判断题21.×；反例：a=2>b=-1，但a^2=4<b^2=1。22.√；tan(x)在(π/2,π)上增。23.×；反例：c_n=2n，c_n^2=4n^2，非等差。24.√；a>0开口向上，a<0开口向下。25.×；f(0)=0不一定成立，如f(x)=x。26.√；等腰三角形底角相等。27.√；反函数单调性与原函数一致。28.√；圆心(a,b)到原点距离√(a^2+b^2)。29.√；p·q=1×k+1×2=0⇒k=-2。30.√；对立事件概率P=1-0.6=0.4。简答题31.解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0⇒x=0或x=2；

单调增区间：(0,2)，单调减区间：(-∞,0)∪(2,+∞)。32.解：由正弦定理sinC=10/(2√3)，C=75°；

AC=10sin45°/sin75°=5√6/3，

面积S=1/2×5√6/3×10sin60°=25√2。33.解：圆心(2,3)，半径r=2；第四象限面积S=1/4×π×2^2=π。应用题34.解：（1）y=20x-10x-100=10x-100；（2）y'=10>0，y在R上增，最大值在x=0处，y_max=-100；（3）10x-100=30万⇒x=3100件。35.解