连续时间傅里叶级数的性质实验报告

3.1.连续时间傅里叶级数的性质目的：本练习要检验连续时间傅里叶级数（CTFS）的性质中等题：满足x1(t)=x1(t+T)的最小周期T是多少？利用这个T值，用解析法求x1(t)的CTFS系数。在编辑框内输入代码如下图所示得到波形图得到频谱如下结果：分析:经波形图分析后可知T=1；2，考虑信号y(t)=x1(t)+x1(-t)，利用CTFS的时间倒置和共轭性质求y(t)的CTFS系数。在编辑框内输入代码如下图所示得到波形图使用sub()函数得到表达式结果得到函数虚部：F=[0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0]3在-1<=t<=1上画出信号y(t)。能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS的对称性说明它吗？在编辑框内输入代码如下图所示得到波形图分析：可见关于x=0对称，为偶函数，因为相加之后将正弦部分抵消；4.考虑信号z(t)=x1(t)-x*1(t)。利用CTFS的时间倒置和共轭性质求z(t)的CTFS系数。在编辑框内输入代码如下图所示得到波形图结果如下分析:利用了时间转置函数fliplr和虚数函数conj。两个式子是实数，求共轭相减之后为0.3.2连续时间傅里叶级数中的能量关系目的分别在时域和频域求信号能量，验证帕斯瓦尔定理。中等题1.求信号y(t)的CTFS表示。提示：利用CTFS性质，并根据周期为T的对称方波。1|t|<Ts(t)=0T/4<=|t|<=T具有CTFS系数ak为ak=sin（pi*k/2）/(pi*k)的知识。由题目要求，可以分析出T=1；其中x(t)本身波形为一余弦函数波，可以得到y(t)波形为：在编辑框内输入代码如下图所示波形如下所示得到的傅里叶系数是呈抽样函数的形状。利用y(t)=∑F(nw)ejnwt可以得出y(t)的CTFS表示为2.一个周期信号的基波分量的能量可以定义为|a1|2+|a-1|2,其中ak是该信号的CTFS。试计算输出y(t)和输入x(t)中的基波分量的能量，能量有增益或者损失吗？能说明能量变化的原因吗？结果：ex=1;ey=0.8106分析：系统传递的过程中有能量的损失。3.利用帕斯瓦尔定理求信号一个周期内的总能量，利用前100个频率，即ak，|k|<100近似这个和式，这个和式收敛到何值？输入代码k=[-100:100];fk=(sin(pi.*(k+eps)/2)./((k+eps)*pi)).*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi))f=abs(fk);p=sum(f.^2)e=2*p结果e=1.99194.为了观察该能量估计值收敛得有多快，试画出该信号能量估计值作为在和式中所用项数个数的函数图。会发现函数cumsum有助于创建下面部分和式的向量：nen=∑|ak|2k=-n在编辑框内输入代码波形图如下分析：由图可知在K=0左右的能量增长是最快的，之后几乎趋近于2.提示：利用帕斯瓦尔定理将总能量的时域和频域表达式联系起来。输入代码波形图如下3.3用傅里叶级数综合连续时间信号基本题：对每一信号创建连续时间信号的符号表达式，并用ezplot画出信号的两个周期。输入代码波形如下所示：根据他们的特性可以看到只需要相应的平移和压缩就可以得到相应的图形。因为他们的傅里叶级数就是傅里叶系数乘上，便可以推算出是实数还是虚数。中等题：4.5对每一信号K＝1，3和9。对每个K值，创建符号表达式，并用ezplot画出各信号的两个周期。如果信号为复数，要单独分开画出它们的实部和虚部。程序如下：symstk=[-1:1];ak1=1./(k.^2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t))subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),[-5,5])ak2=sign(k)./(-2).^sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t))subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),[-20,20])波形如下所示：且此时：x1=cos((2*pi*t)/5)+1x2=-sin((pi*t)/10)*ik=3;symstk=[-3:3];ak1=1./(k.^2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t))subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),[-5,5])ak2=sign(k)./(-2).^sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t))subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),[-20,20])波形如下所示：且此时：x1=cos((2*pi*t)/5)+(2*cos((4*pi*t)/5))/5+cos((6*pi*t)/5)/5+1x2=(sin((pi*t)/5)*i)/2-sin((pi*t)/10)*i-(sin((3*pi*t)/10)*i)/4k=9:symstk=[-9:9];ak1=1./(k.^2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t))subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),[-5,5])ak2=sign(k)./(-2).^sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t))subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),[-20,20])

波形如下所示：且此时：x1=1/5*cos(6/5*t*pi)+cos(2/5*t*pi)+1/25*cos(14/5*t*pi)+1/13*cos(2*t*pi)+1/41*cos(18/5*t*pi)+2/65*cos(16/5*t*pi)+2/5*cos(4/5*t*pi)+2/17*cos(8/5*t*pi)+2/37*cos(12/5*t*pi)+1x2=-1/256*i*(-128*sin(1/5*t*pi)-32*sin(2/5*t*pi)+256*sin(1/10*t*pi)+sin(9/10*t*pi)+64*sin(3/10*t*pi)+16*sin(1/2*t*pi)-2*sin(4/5*t*pi)-8*sin(3/5*t*pi)+4*sin(7/10*t*pi))3.4方波的傅里叶表示1.利用int创建一个符号表达式a，它包含了该方波每个k值的傅立叶级数系数。这个符号表达式是k的函数。例如，由numeric(a,5,'k')给出。尽量简化这个表达式。利用numeric和stem画出内的傅立叶级数的系数。程序如下：symst;k=[-10:10];ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5)a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(1,2,1)stem(k,ak)subplot(1,2,2)ezplot(sum(a),[-2,2])波形如下所示：2.对N=1，3，5和9，对Xn(t)创建符号表达式。利用ezplot画出区间内的-1<=t<=1，用hold将4张图画在同一幅图上。程序如下symst;k=[-1:1];ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(2,2,1)ezplot(sum(a),[-1,1])k=[-3:3];ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(2,2,2)ezplot(sum(a),[-1,1])k=[-5:5];ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(2,2,3)ezplot(sum(a),[-1,1])k=[-9:9];ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(2