四川大学附属中学2026届高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

四川大学附属中学2026届高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．22．直线与圆相交于点，则（）A． B． C． D．3．在中，角所对的边分别为.若，，，则等于（）A． B． C． D．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里5．平面向量与共线且方向相同，则的值为（）A． B． C． D．6．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=A． B． C．1 D．27．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，是异面直线，那么与相交B．若//,，则C．若，则//D．若//，则8．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（）A． B． C． D．9．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()A．－182 B．－78 C．－148 D．－8210．正方体中,直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．命题“数列的前项和”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母）12．已知数列的首项，其前项和为，且，若单调递增，则的取值范围是__________．13．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.14．在锐角△中，，，，则________15．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．16．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列中，已知，．（1）求数列的前项和的最大值；（2）若，求数列前项和．18．已知数列满足：.（1）求证：数列为等差数列，并求；（2）记，求数列的前项和.19．眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：单价（元）销量（件）且，，（1）已知与具有线性相关关系，求出关于回归直线方程；（2）解释回归直线方程中的含义并预测当单价为元时其销量为多少？21．已知圆.(1)过原点的直线被圆所截得的弦长为2，求直线的方程；(2)过外的一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，若，求使最短时的点坐标.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件，表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2、D【解析】

利用直线与圆相交的性质可知，要求，只要求解圆心到直线的距离.【详解】由题意圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离.则由圆的性质可得，所以.故选：D【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.3、B【解析】

利用正弦定理可求.【详解】由正弦定理得.故选B.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于容易题.4、B【解析】

根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.5、C【解析】

利用向量共线的坐标运算求解，验证得答案．【详解】向量与共线，，解得．当时，，，与共线且方向相同．当时，，，与共线且方向相反，舍去．故选．【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．6、B【解析】

画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以，解得，故选B.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.7、D【解析】

采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果.【详解】若，是异面直线,与也可平行，故A错若//，，也可以在内，故B错若也可以在内，故C错若//，则，故D对故选：D【点睛】本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题.8、D【解析】

分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.【详解】设中心圆的半径为，所以中心圆的面积为，8环面积为，射击靶的面积为，所以命中深色部分的概率为.故选：D【点睛】此题考查几何概型，属于面积型，关键在于准确求解面积，根据圆环特征分别求出面积即可得解.9、D【解析】

根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．【详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．故选D．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．10、C【解析】

作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、数列为等差数列且，．【解析】

根据题意，设该数列为，由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且，，反之验证可得成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为，若数列的前项和，则当时，，当时，，当时，符合，故有数列为等差数列且，，反之当数列为等差数列且，时，，；故数列的前项和”成立的充要条件是数列为等差数列且，，故答案为：数列为等差数列且，．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．12、【解析】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列，，...是以为公差的等差数列，数列，，...是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得，恒成立只需要即可解得则的取值范围是点睛：本题考查了数列的递推关系求通项，在含有的条件中，利用来求通项，本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列，结合和数列为增数列求出结果，本题需要利用条件递推，有一点难度．13、【解析】

根据等比通项公式即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题14、【解析】

由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.【详解】由正弦定理，可得，所以，又由△为锐角三角形，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理得应用，其中解答中熟记正弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.15、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化简可得．∵，∴，解得（当且仅当时，取等号）．故．再由任意两边之和大于第三边可得，故有，故的周长的取值范围是，故答案为．点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得，由此求得△ABC的周长的取值范围．16、【解析】

利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】令，，则．由已知得，不等式对于任意都成立．又令，则，即，解得．所以所求实数的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)9；(2)【解析】

（1）利用等差数列公式得到，当时，最大为9（2）讨论和两种情况，分别计算得到答案.【详解】(1)，又，所以令，得所以当时，最大为.(2)由（1）可知，当时，，所以当时，，所以.综上所述：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前N项和最大值，绝对值求和，找到通项公式的正负分界处是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、（1）证明见解析，；（2）．【解析】

（1）由等差数列的定义证明，利用等差数列通项公式可求得；（2）用裂项相消法求数列的和．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴是等差数列，公差为，，∴，∴；（2）由（1），所以．【点睛】本题考查用定义证明等差数列，考查等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的前项和．掌握等差数的定义是解题关键．数列求和时除掌握等比数列的求和公式外还要掌握数列的几种求和方法：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．19、(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】

（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.【详解】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则，甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n次独立事件中恰有k次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.20、(1)；(2)销量为件.【解析】

（1）利用最小二乘法的公式求得与的值，即可求出线性回归方程；（2）的含义是单价每增加1元，该产品的销量将减少7件；在（1）中求得的回归方程中，取求得值，即可得到单价为12元时的销量．【详解】（1）由题意得：，，，，关于回归直线方程为；（2）的含义是单价每增加元，该产品的销量将减少件；当时，，即当单价为元时预测其销量为件.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法—最小二乘法，以及利用线性回归方程进行预测估计。21、(1)或;(2)【解析】

(1)利用垂径定理求出圆心到直线的距离,再分过原点的直线的斜率不存在与存在两种情