2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 （原卷版）

第06讲函数y＝Asin（ωx+φ）的图象

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正（余）弦型函数

一般形式：

正弦型：yAsin(x)b（A0,0）

余弦型：yAcos(x)b（A0,0）

其中A（振幅）、（角频率）、（相位）、b（纵向平移量）为常数.

易错辨析

易错点：混淆“相位”与“初相”

辨析：相位是x，初相是x0时的相位（即），需注意1时，初相仍为，与无关.

概念比较

与基本正（余）弦函数比较：基本函数是A1,1,0,b0的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函

数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定.

重点记忆

正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式.

知识点2：图像变换及解析式特征

1.相位变换（横向平移）

规则：yAsinxyAsin(x)，向左（0）/右（0）平移||个单位；

||

推广到yAsin(x)：需提取，即yAsinx，平移量为.

||

易错辨析

易错点：直接用作为平移量（如ysin(2x)误判为向左平移个单位）

33

辨析：平移是对“x本身”的变换，需提取，正确平移量为（即2）.

63

重点记忆+常考结论

||

平移量公式：平移量，方向遵循“左加右减”（针对提取后的x）.

||

2.上下平移变换

规则：yAsin(x)yAsin(x)b，向上（b0）/下（b0）平移|b|个单位.

易错辨析

易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性

辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质.

常考结论

上下平移后，函数的最值为：最大值|A|b，最小值|A|b.

3.周期变换（横向伸缩）

1

规则：yAsinxyAsin(x)，图像横向伸缩为原来的倍；

||

2

周期公式：T（绝对值越大，周期越小）.

||

易错辨析

2

易错点：周期公式遗漏的绝对值（如ysin(3x)误算周期为）

3

2

辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，ysin(3x)的周期为.

3

概念比较

与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响x的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响A的绝对

值，两者互不影响.

重点记忆+常考结论

周期仅与||有关，与A,,b均无关；若T，则||2.

4.振幅变换（纵向伸缩）

规则：ysin(x)yAsin(x)，图像纵向伸缩为原来的|A|倍；

振幅定义：|A|（最大值与最小值的差的一半）.

易错辨析

易错点：认为A0会改变振幅大小

辨析：振幅是|A|，A0仅使图像关于x轴对称，不改变振幅的数值（如y2sinx的振幅仍为2）.

常考结论

nmnm

若函数值域为[m,n]，则振幅|A|，纵向平移量b.

22

知识点3：图像变换的综合应用

1.描述变换过程（以ysinxyAsin(x)b为例）

步骤（两种顺序）：

顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移；

||

顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移.

||

易错辨析

易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以||

辨析：若先将ysinx横向压缩为ysin(2x)，再向左平移个单位，得到ysin2x（平移量

63

需除以2）.

2.由图像求解析式

步骤：

最大值最小值

1.求A：|A|；

2

最大值最小值

2.求b：b；

2

2

3.求：由周期T（通过图像相邻最值点/零点距离求T）；

||

4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）.

易错辨析

易错点：求时忽略的符号

辨析：若0，可先利用诱导公式将化为正数（如sin()sin），再求，避免符号错误.

重点记忆

3

“五点法”选点：正弦型函数的五点为x0,,,,2对应的点；余弦型为

22

3

x0,,,,2对应的点（起点为最大值点）.

22

知识点4：图像与性质的结合应用

核心方法：“整体代换法”——令tx，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数yAsintb

（或yAcostb），再结合基本函数的性质求解.

常考结论

1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于x的不等式（注意正负对不等号方向的影响）；

2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为xk，对称中心为xk（k）；余弦型对

2

称轴为xk，对称中心为xk（k）.

2

【题型1根据图像变换求解析式】

例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数

π

�=sin2�+3cos2��6

解析式为．

�=

例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图

π

像向左平移个单位长度后所得图�(象�)关=于3s轴in对(�称�，+则4)(�>0)．π�=�(�)

π

�(0<�<2)��=

变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的

π

所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得�=到c曲os线�，则曲线相2应的函数解析式可�1以是（）.�1

A．B．C．�2�2D．

�π�

�=sin2��=−cos2��=cos(2−4)�=sin2

变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

1

再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得�=到c函os数�的图像，则2.

π

【题型2描述正余弦函数的6变换过程】�=����=

例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（）得到．

π

A．向右平移�=B�(．�)向�右�平移=3cos2���=3cos2�−3

ππ

C．向右平移6D．向右平移12

ππ

32

例2．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（）得到的

π

A．向右平移��=B3．co向s右2�平−移6��=3cos2�

ππ

C．向右平移6D．向左平移12

ππ

312

变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数的图像经过变换得到图像，这个

变换是（）�=cos2�+3sin2��=2sin2�

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

ππ

C．向左平移6个单位D．向右平移6个单位

ππ

1212

变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由的图象变换得到（，）

的图象的流程：�=sin��=�sin(��+�)�>0�>0

方法1：

方法2：

（1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？

（2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？

【题型3振幅相位变换求解析式】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期

是，初始相位是.求这个函数的表达式.�=�sin��+��>0�>0

2��

36

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位.

π

�=2sin30π�−12

变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为.

π

��=sin2�−6

变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的初相是

�

�=sin(2�+4)

【题型4由图像求解析式】

例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所

π

示，则．��=�sin��+��>0,�>0, �<2

��=

例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，

π

则函数的解析式为．��=�sin��+��>0,0<�<2

�=��

变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数的部分图象如图，将函数

的图象向右平移个单位，得到函数的图象，�(则�)=2sin(��+.�)(�>0)�(�)

π

3�(�)�(�)=

变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数的部分图像如图所示，

π

则.��=�sin��+��>0,�<2

��=

【题型5由图像变换求三角函数的性质】

例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，

ππ

所得函数为奇函数，则.�=3cos2�+3�0<�<2

�=

例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数的对称中心到对称

π

轴的最小距离为，将的图象向右平移个�单�位=长�度sin后�所�得+图�象关�于>0y,轴�>对0称,，�且<2

ππ

关于函数有下4列四�种�说法：3��1−��2max=1

①是��的一个对称轴；②是的一个对称中心；

ππ

③�=6在��上单调递增；④若−3,0��，则，．

π�π

以上��四个说0,法2中，正确的个数为（��1）=��2=0�1−�2=2�∈Z

A．1B．2C．3D．4

变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移

�

个单位后得到函数的图像．若��图=像2上si各n最2�高+点6到点�=�的�距离的最小值为1�，则0<的�值<

�为．�=���=��0,3�

变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中

心是，将图像向左平移个单位长度后得�(到�)函=数sin(2�的+图�像).若0<对任�意<π，当

ππ

时，都(−有6,0)�(�)3，则实数的最大值为�(�).�1,�2∈[0,�]�1<�2

�(�1)−�(�2)<�(�1)−�(�2)�

【题型6三角函数图像变换的综合题型】

例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数的表达式为．

ππ2π

(1)求函数的最小正周期及图象的�对=称�轴�的方程；��=3sin�+6cos�+6+cos�−3

(2)将函数�=��的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增

ππ

区间和值域�．=��6�=���=��0,2

例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为．

π

(1)求函数的最小正周期；R�=����=4sin�cos�+3+3

(2)已知方程�=��在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围；

ππ

(3)将函数��=的�图象上所−有4,点6的横坐标变为原来的，纵坐标�不变，再将所得函数图象向右平移个单

2π

位长度，得�到=函�数�的图象．函数的解析式3为，，若对任意的18，

π

�=���=ℎ�ℎ�=���−��∈R�1∈0,3

总存在，使得成立，求实数的取值范围．

ππ

212

变式1．�（∈256-2,36高二上�·上�海嘉=定ℎ·�月考）已知函数�

π

(1)写出的单调增区间.��=2sin2�−3+1

(2)若不等��式对任意恒成立，求实数的取值范围；

ππ

(3)将的图�象�先−向�左<平2移个单�位∈，再4,将2各点的横坐标伸�长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数

π

的图象�.�若关于的方程12在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.��

���=��∈0,π�

变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所

π

示：��=�sin��+�,�>0,�>0,�<2

(1)求的解析式；

(2)若�(�)在上是严格增函数，求实数的最大值.

ππ

(3)将函�(数�)=�(��)的(�图>象0向)右移−动2,3个单位，再将所得图象的上�各点的横坐标缩短到原来的倍

π

得到�=的�图�象，若在6区间上至少有个最大值，求实数的取值范围�.0<�<1

�=���=��−1,130�

【题型7三角函数的实际应用】

例1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表

达式为：，，，．�已知摩天轮的半�径m为，其�中m心in点距地面

，摩天�=轮�以si每n�12�分+钟�转+一�圈的�方>式0做�匀>速0转动�，≤而点π的起始位置在摩天轮的3最0m低点处．�

40m�

(1)根据条件具体写出关于的函数表达式：

(2)在摩天轮转动的一圈�内，�点有多长时间距离地面超过？

�55m

例2．（24-25高一下·上海·月考）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成

的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分

图像如图所示，图像过点ℎ�=�sin(�π．�)对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的�纯=音�合�成的，

满足函数(1,0),(3,0),(5,0)，其中，则．

953

��=sin(2π�)+10sin(�π�)(0<�<8)�3=−2�=

变式1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单

位：）的变化近似满足函数关系：，其中，�.随着人工智能的�普及，

π

该实验h室引进了AI管理系统，可以根�=据1实0际−需�s求in设1定2�参+数�和的取�值>.0�∈0,24

(1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，�求�的最大值；

π

(2)若设定�=3，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组�分别设定参数如下：①；②，

π4π

两个小组一�天=需2要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释.�=3�=3

变式2．（24-25高一下·上海·期中）坐�1落�于2奉贤渔人�1码头�2的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴

朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及

璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆

时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分

钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟.�

�

(1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一

π

周的解析�式�；��=�sin��+�+��>0�>0�≤2

(2)若游客在�距�离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有

多长时间有最佳视觉效果？

一、核心概念

一般形式：

正弦型：yAsin(x)b；余弦型：yAcos(x)b（A0,0）

2

参数意义：|A|（振幅）、（周期）、（初相）、b（纵向平移量）

||

二、图像变换（4类）

变换类型规则（以正弦型为例）易错提醒

||

相位变换平移量，左加右减需提取，勿直接用作平移量

||

12

周期变换横向伸缩倍，周期T周期公式必取||

||||

振幅变换纵向伸缩|A|倍，振幅为|A|A0仅翻折，不改变振幅

上下平移平移|b|个单位，值域变为[b|A|,b|A|]不影响周期/奇偶性

三、核心应用（2类高频考点）

1.由图像求解析式（步骤）

最大值最小值

1.求A：|A|；

2

最大值最小值

2.求b：b；

2

2

3.求：由周期T得||

T

4.求：代入“五点法”点（如正弦型的起点/最高点）

2.性质结合（整体代换法）

令tx，转化为基本正（余）弦函数：

单调区间：代入基本函数区间，注意正负对不等号的影响

对称性：

正弦型：对称轴xk，对称中心xk

2

余弦型：对称轴xk，对称中心xk（k）

2

一、单选题

1．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图

ππ

象（）�=2sin2�+6�=sin2�+6

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

1

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2，横坐标不变

1

2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，2，则下列结论中正确的是（）

ππ

��=sin�+2��=cos�−2

A．函数的最小正周期为

B．函数�=����的最大值为12π

C．将�=的�图�象�向�左平移单位后得的图象

π

D．将��的图象向左平移2单位后得��的图象

3π

3．（23-24�高�一下·上海奉贤·期中2）函数��的图象向右平移个单位后与函数的图象重

ππ

合，则下列结论中正确的是（）�=sin2�+33�=��

①函数的最小正周期为；

②函数�=��的图象关于2π对称；

7π

③�是=函�数�的一�个=−零1点2；

7π

�函=数6�在=��上为严格减函数．

π5π

④A．①�=③��−12B,．12②④C．②③D．③④

4．（23-24高一下·上海普陀·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图

π2π

象（）�=sin(2�+3)�=cos2�−3

A．向左平移个单位B．向左平移个单位

ππ

C．向右平移2个单位D．向右平移4个单位

ππ

5．（24-25高一下2·上海浦东新·期末）已知函数4（），有下列结论：①若，

π

则在上单调递增；②若�(�)=，2则sin正整��数+ω6的最�小>值0为2；③若，函数�=2

πππ

的图�(�像)向右0,平3移个单位长度得到�3+�=的�图像3−.则�为奇函数；④若在上�有=且1仅有个�=零�点(�，)

π

则.其6中正确的个数为（�=�）(�)�(�)�(�)0,π3

1723

6A≤．�<6B．C．D．

6．（24-215高一下·上海嘉定2·期末）在物理学中简谐3运动可以用函数4

来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）��=�sin��+��>0,�>0,�<

π

A．函数的图象关于点成中心对称

π

B．函数�=��的解析式可以为6,0

π

C．函数�=��在上的值域�为�=2sin2�−6

D．若把�=��图象0,上π所有的点向右0,平2移个单位，则所得函数是

ππ

�=��12�=2sin2�+12

二、填空题

7．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向

π

平移个单位.�=sin4�−3�=sin4�

8．（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向平

π

移个单位长度.�=cos2�−4�=sin2�

9．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始

π

相位是，则它的解析式为.�=�sin��+��>0,�>02

π

10．（23−-2142高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有

π

点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，�(得�)到=函s数in�的图象，6则的单调递减区间

1

为.2�=�(�)�(�)

11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与

ππ

函数的图象重合，则的最小�值�为=cos.��+6�>03

��=sin���

三、解答题

12．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮

汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的

水面深度（y）与时间（x）的关系表：

x（时）03691215182124

y（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0

(1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个

港口的水�=面深��度+（�y）�与=时�s间in（�x�）+的�函+数�关系�，=不co需s要��说+明�理由；

(2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；

(3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有

2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某

天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？

13．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知函数的部分图像如图所示:

π

��=sin��+��>0,�<2

(1)求函数的表达式；

(2)写出函数�=��所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；

(3)当��时，求方程的所有根的和.

2ππ2

14．（�2∈4-25−高3三,6上·上海·月考）6�设�−3��−3=0．

(1)若，，求函数的严格增�区�间=；sin��+��>0

�

(2)某同�=学1用“�五=点3法”画函数的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

�=��

0

�3�

��+��2�

22

▲

�5�2�11�

�

612312

01▲0

sin(��

−1

请将上+表�▲)处的数据补充完整，并求出函数的解析式；

(3)设，，�=��，求函数值域．

2��

15．（�20=251·陕�西=·模0拟预�测�）=已�知�函+数���(2−�)�∈0,2的最小�正=周�期�为π．

π

(1)求的单调递减区间；��=sin��−6�>0

(2)先将��图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数

5π

的图象，�若�对任意的，不等式恒成立1，2求实数m的取值范围．��

225

16．（25-26高二上·四�川∈资0阳,π·开学考试）�已�知−函�数�≤3�−4�+4的两条

π2��π

相邻对称轴的距离为．��=3sin(��+3)+2sin(2+6)−1�>0

π

(1)求的解析式；2

(2)将函��数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到

π

函数��的图象．若6，且，求的值；

12π

000

17．（�2=4-2�5�高一下·上海浦�东(�新)·月=考5）已知�∈0,3cos2�

π

(1)某同学用“五点法”画出函数