2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第06讲 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 （解析版）

第06讲函数y＝Asin（ωx+φ）的图象

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正（余）弦型函数

一般形式：

正弦型：yAsin(x)b（A0,0）

余弦型：yAcos(x)b（A0,0）

其中A（振幅）、（角频率）、（相位）、b（纵向平移量）为常数.

易错辨析

易错点：混淆“相位”与“初相”

辨析：相位是x，初相是x0时的相位（即），需注意1时，初相仍为，与无关.

概念比较

与基本正（余）弦函数比较：基本函数是A1,1,0,b0的特殊情况；正（余）弦型函数是基本函

数经“伸缩、平移”变换后的一般形式，性质由参数共同决定.

重点记忆

正（余）弦型函数是基本正（余）弦函数的“变换版”，参数对应不同的图像变换方式.

知识点2：图像变换及解析式特征

1.相位变换（横向平移）

规则：yAsinxyAsin(x)，向左（0）/右（0）平移||个单位；

||

推广到yAsin(x)：需提取，即yAsinx，平移量为.

||

易错辨析

易错点：直接用作为平移量（如ysin(2x)误判为向左平移个单位）

33

辨析：平移是对“x本身”的变换，需提取，正确平移量为（即2）.

63

重点记忆+常考结论

||

平移量公式：平移量，方向遵循“左加右减”（针对提取后的x）.

||

2.上下平移变换

规则：yAsin(x)yAsin(x)b，向上（b0）/下（b0）平移|b|个单位.

易错辨析

易错点：认为上下平移会改变函数的周期、奇偶性

辨析：上下平移仅改变函数值域的上下界，不影响周期、奇偶性、单调性等核心性质.

常考结论

上下平移后，函数的最值为：最大值|A|b，最小值|A|b.

3.周期变换（横向伸缩）

1

规则：yAsinxyAsin(x)，图像横向伸缩为原来的倍；

||

2

周期公式：T（绝对值越大，周期越小）.

||

易错辨析

2

易错点：周期公式遗漏的绝对值（如ysin(3x)误算周期为）

3

2

辨析：周期是正数，故公式中需取的绝对值，ysin(3x)的周期为.

3

概念比较

与振幅变换的区别：周期变换是“横向伸缩”，影响x的系数；振幅变换是“纵向伸缩”，影响A的绝对

值，两者互不影响.

重点记忆+常考结论

周期仅与||有关，与A,,b均无关；若T，则||2.

4.振幅变换（纵向伸缩）

规则：ysin(x)yAsin(x)，图像纵向伸缩为原来的|A|倍；

振幅定义：|A|（最大值与最小值的差的一半）.

易错辨析

易错点：认为A0会改变振幅大小

辨析：振幅是|A|，A0仅使图像关于x轴对称，不改变振幅的数值（如y2sinx的振幅仍为2）.

常考结论

nmnm

若函数值域为[m,n]，则振幅|A|，纵向平移量b.

22

知识点3：图像变换的综合应用

1.描述变换过程（以ysinxyAsin(x)b为例）

步骤（两种顺序）：

顺序1：相位变换→周期变换→振幅变换→上下平移；

||

顺序2：周期变换→相位变换（注意平移量变为）→振幅变换→上下平移.

||

易错辨析

易错点：先周期变换后相位变换时，平移量未除以||

辨析：若先将ysinx横向压缩为ysin(2x)，再向左平移个单位，得到ysin2x（平移量

63

需除以2）.

2.由图像求解析式

步骤：

最大值最小值

1.求A：|A|；

2

最大值最小值

2.求b：b；

2

2

3.求：由周期T（通过图像相邻最值点/零点距离求T）；

||

4.求：代入图像上的已知点（优先选“五点法”中的点，如正弦型的起点、最高点）.

易错辨析

易错点：求时忽略的符号

辨析：若0，可先利用诱导公式将化为正数（如sin()sin），再求，避免符号错误.

重点记忆

3

“五点法”选点：正弦型函数的五点为x0,,,,2对应的点；余弦型为

22

3

x0,,,,2对应的点（起点为最大值点）.

22

知识点4：图像与性质的结合应用

核心方法：“整体代换法”——令tx，将正（余）弦型函数转化为基本正（余）弦函数yAsintb

（或yAcostb），再结合基本函数的性质求解.

常考结论

1.单调区间：代入基本函数的单调区间，解关于x的不等式（注意正负对不等号方向的影响）；

2.对称轴/对称中心：正弦型对称轴为xk，对称中心为xk（k）；余弦型对

2

称轴为xk，对称中心为xk（k）.

2

【题型1根据图像变换求解析式】

例1．（25-26高二上·上海·期中）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数

π

�=sin2�+3cos2��6

解析式为．

【答案】�=

【分析】首2si先n2用�辅助角公式进行化简，然后根据图像平移的结论即可求解.

【详解】，将函数沿轴平移向右平移个单

13ππ

位，�=sin2�+3cos2�=22sin2�+2cos2�=2sin2�+3��6

平移后的解析式为.

ππ

故答案为：�=2sin2�−6+3=2sin2�

2sin2�

例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的最小正周期为，将图

π

像向左平移个单位长度后所得图�(象�)关=于3s轴in对(�称�，+则4)(�>0)．π�=�(�)

π

【答案】�(0<�<2)��=

π

【分析】由8周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根

据对称性得到的值.��(�)

【详解】因为�最小正周期为，

π

所以，解�(得�)=3，sin所(�以�+4)(�>0)．π

2ππ

将�=π的图象�向=左2平移个�单(�位)长=度3，sin可(2得�+4)的图象，

π

根据�=所�得(�图)象关于轴对称，�可得�(�)=3，si解n(得2�+2�+4)，

πππ�π

又，所以�．2�+4=2+�π,�∈Z�=8+2,�∈Z

ππ

故答0案<为�：<2．�=8

π

8

变式1．（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的

π

所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得�=到c曲os线�，则曲线相2应的函数解析式可�1以是（）.�1

A．B．C．�2�2D．

�π�

【答案】�=Dsin2��=−cos2��=cos(2−4)�=sin2

【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式.

【详解】依题意，曲线，曲线.

π�

故选：D�1:�=cos(�−2)=sin��2:�=sin2

变式2．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

1

再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得�=到c函os数�的图像，则2.

π

6�=����=

【答案】

π

【分析】根cos据三2�角−函3数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.

【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，

1

再将图象上所有�=的c点os向�右平移个单位长度，可得2，�=cos2�

πππ

即6�=cos2�−6=cos2�−3

π

故答��案为=：cos2�−3

π

cos2�−3

【题型2描述正余弦函数的变换过程】

例1．（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（）得到．

π

A．向右平移�=B�(．�)向�右�平移=3cos2���=3cos2�−3

ππ

C．向右平移6D．向右平移12

ππ

【答案】A32

【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意.

π

6

【详解】易知将向右平移个单位可得.

πππ

故选：A��=3cos2�6�=3cos2�−6=3cos2�−3

例2．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（）得到的

π

A．向右平移��=B3．co向s右2�平−移6��=3cos2�

ππ

C．向右平移6D．向左平移12

ππ

【答案】B312

【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解.

【详解】因为，

ππ

所以函数��=3cos2�是−由6=3cos2�−1向2右平移个单位得到，

ππ

故选：B.��=3cos2�−6��=3cos2�12

变式1．（24-25高二上·上海·月考）把函数的图像经过变换得到图像，这个

变换是（）�=cos2�+3sin2��=2sin2�

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

ππ

C．向左平移6个单位D．向右平移6个单位

ππ

【答案】D1212

【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平

移的方向与单位.

【详解】

�=cos2�+3sin2�

13

=2cos2�+sin2�

22

ππ

=2sincos2�+cossin2�

6，6

π

则=2sin2�+6，

ππ

将�=2sin2�+6=向2s右in平2移�+个12单位可得到，

ππ

故选�=：2Ds.in2�+1212�=2sin2�

变式2．（24-25高一上·上海·课前预习）（1）由的图象变换得到（，）

的图象的流程：�=sin��=�sin(��+�)�>0�>0

方法1：

方法2：

（1）上面的两种三角函数的图象变换的流程图中，向左（右）平移多少个单位长度？

（2）上面的两种三角函数的图象变换的流程有什么不同？

【答案】（1），

�

（2）先伸缩后�平移变�换的平移量为个单位长度；先平移后伸缩变换的平移量为个单位长度.

�

【分析】根据图象平移规律可得答案�.�

【详解】（1），

�

（2）方法一是�先伸缩�后平移变换的平移量为个单位长度；

�

方法二是先平移后伸缩变换的平移量为个单�位长度.

�

【题型3振幅相位变换求解析式】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期

是，初始相位是.求这个函数的表达式.�=�sin��+��>0�>0

2��

【答3案】6

�

【分析】由�=振3幅si确n定3�，+最6小正周期确定，初始相位确定.

【详解】因为函数�（�，）的振�幅是3，

最小正周期是，初�始=相�s位in是��.+��>0�>0

2��

所以,36，.

2π2π�

即这个�=函3数的�表=达�式=为3⇒�=3�=6

�

�=3sin3�+6

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位.

π

【答案】振幅为，频率为，初�始=相位2s为in30π�−12

π

【分析】利用三角�=函数2振幅、频率�=和1初5始相位的定义即�可=−得1解2.

【详解】对于，

π

其振幅为�=，周2s期in30π�−12，

2π1

则频率为�=2�，=初30始π=相1位5为.

11π

1

�=�=15=15�=−12

变式1．（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为.

π

【答案】��=sin2�−6

π

【分析】根−6据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得.

【详解】因为函数为，所以初始相位为.

ππ

故答案为：.��=sin2�−6−6

π

−6

变式2．（23-24高三上·上海宝山·期中）函数的初相是

�

【答案】�=sin(2�+4)

�

【分析】根4据正弦型三角函数的物理意义判断初相即可.

【详解】解：因为初相是，即为.

�

故答案为：.�4

�

4

【题型4由图像求解析式】

例1．（25-26高二上·上海·开学考试）函数的部分图像如图所

π

示，则．��=�sin��+��>0,�>0, �<2

��=

【答案】

π

【分析】由2si题n可4得�，再求出，再结合，从而可求解.

π

【详解】由题中图象�=可2得，周�期=4�2=2，则，

2π2ππ

又，则�=2，�所=以2×6−2=8，�=，�=8=4

πππ

又因�2为=2，所2si以n可4得×2+�，=则22+�=2.+2�π�∈Z

ππ

故答案为�：<2.�=0��=2sin4�

π

2sin4�

例2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，

π

则函数的解析式为．��=�sin��+��>0,0<�<2

�=��

【答案】

π

【分析】由��=图2s象in可2得�振+幅3和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解.

【详解】根据�(�函)数的部分图象知，，�,�，所以�，

ππ2π

由�(�)，得�=2�=4，×3−1，2解=得π�=，�=2；

πππππ

又�12=2s，in所2以×12+，�所=以2�+6=2+2�π．�∈��=3+2�π�∈�

πππ

故答0案<为�：<2�=3.��=2sin2�+3

π

��=2sin2�+3

变式1．（2025高三·上海·专题练习）已知函数的部分图象如图，将函数

的图象向右平移个单位，得到函数的图象，�(则�)=2sin(��+.�)(�>0)�(�)

π

3�(�)�(�)=

【答案】

π

【分析】先2si根n据�图−象6求出函数的解析式，然后根据平移法则求出解析式即可.

【详解】由已知，函数�(�)的部分图象如图所�示(�，)

�(�)=2sin(��+�)(�>0)

由图可知,

�5ππ

则函数2=周期6−−6，=所π以，

�

�(�)�=2π�=2�=1

因为5ππ，由图可知，解得，

6+−6ππππ

所以2=2，函�数+3=2的图象向�右=平6移个单位，得到函数的图象如图所示，

ππ

��=2sin�+6�(�)3�(�)

根据平移法则，得.

πππ

故答案为：��.=2sin�−3+6=2sin�−6

π

2sin�−6

变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数的部分图像如图所示，

π

则.��=�sin��+��>0,�<2

��=

【答案】

π

【分析】先2si根n据2图�−象3得到和，进而求出，代入特殊点坐标求出，得到答案.

π

【详解】由图象可得�，=2�=π，�解=得2，�=−3

35ππ3π

因为，所以�=，2解得4�=12，−−3=4�=π

2π

将�>代0入解析�式=得π，�=2，故，，

5π5π5ππ

因为12,2，解得2，sin2×12+�=26+�=2+2�π�∈Z

ππ

故|�|<2�=−.3

π

故答��案为=：2sin2�−3

π

2sin2�−3

【题型5由图像变换求三角函数的性质】

例1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，

ππ

所得函数为奇函数，则.�=3cos2�+3�0<�<2

【答案】/�=

5π5

【分析】利12用12三π角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得�

ππ

�=3co的s图2�象+，3�0<�<2�=3cos2�−�+

ππ

根3据=所3c得os函2数�为−2奇�函+数3，可得，即，因为，令，

πππ�ππ

可得，−2�+3=2+�π(�∈Z)�=−12−2(�∈Z)0<�<2�=−1

5π

�=12

故答案为：

5π

12

例2．（23-24高三上·天津·期末）已知函数的对称中心到对称

π

轴的最小距离为，将的图象向右平移个�单�位=长�度sin后�所�得+图�象关�于>0y,轴�>对0称,，�且<2

ππ

关于函数有下4列四�种�说法：3��1−��2max=1

①是��的一个对称轴；②是的一个对称中心；

ππ

③�=6在��上单调递增；④若−3,0��，则，．

π�π

以上��四个说0,法2中，正确的个数为（��1）=��2=0�1−�2=2�∈Z

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单

1π

调性利用整体代换法可得③错误�；�由正=弦2s函in数2图�+象6性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个

零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确.

【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得；

π1π2π

将的图象向右平移个单位长度后可得44�=4，�=�=π�=2

π2π

其图��象关于y轴对称，3所以为偶函数，�则�=�sin2�−3+，�，

2ππ

解得，，由��可知当−3时+，�=2+符�π合题�意∈；Z

7πππ

由�=6+�π�∈Z�可<得2；�=−1�=6

1

因此��1−��2max=2�；=1�=2

1π

对于①��，当=2sin时2�，+6，取得最大值，

ππ1ππ1

所以是�=6的一个�对6称=轴2，sin即2①×正6确+；6=2

π

对于②�=，6当��时，，

ππ12ππ1

所以�不=是−3的�一−个3对称=中2s心in，−即3②+错6误=；−2≠0

π

对于③−，3当,0��时，可得，又在上不单调，

πππ7ππ7π

所以在�∈0上,2不是单调递增2�的+，6所∈以6③,6错误；�=sin�6,6

π

对于�④�，若0,2，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，

所以任意两个��零1点=之�间�的2距=离0为半周期的整数倍，

由的周期为可得，，即④正确；

1π�π

所以��正确=的2s个in数2只�+有6①和④共2π个.�1−�2=2�∈Z

故选：B

【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再

由检验法或整体代换法判断结论是否正确.

变式1．（24-25高三上·上海徐汇·月考）已知函数，将的图像向左平移

�

个单位后得到函数的图像．若��图=像2上si各n最2�高+点6到点�=�的�距离的最小值为1�，则0<的�值<

�为．�=���=��0,3�

【答案】

�

【分析】根6据三角函数的图象变换规律可得，设的

�

对称轴，由条件求�得�=�sin，�可�得+�，从而�求(�)得=答2案sin.2�+2�+6�=��

�

【详解】�=把�函0数�0=0的2图si象n向2左�+平6移=2个单位后，

�

得到函数�(�)=2sin2�+6�(0<的�图<象�,)

��

再根据�=�(�)的=图2s象in上2各(�最+高�点)+到6点=2sin的2�距+离2�的+最6小值为1,

设�的=对�称(�)轴,则最高点的坐标(0为,3),

�(�)�=�0�0,2

它与点的距离的最小值为1,即,求得,

2

00

可得(0,3),即,1+�=1�=0

�

�(,0)=22sin2�+6=2

�

∴故�答=案6为：.

�

6

变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中

心是，将图像向左平移个单位长度后得�(到�)函=数sin(2�的+图�像).若0<对任�意<π，当

ππ

时，都(−有6,0)�(�)3，则实数的最大值为�(�).�1,�2∈[0,�]�1<�2

【答案】�(�1)−�(�2)<�(�1)−�(�2)�

π

【分析】根6据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条

件转化为当,，为增函�数，利用函数的单调性进行求解�(即�)可．ℎ(�)=�(�)−�(�)

【详解】�∈[一0个�]对ℎ称(�中)心是，

π

∵�(�)，，即(−6,0)，，

ππ

∴−6×2+，�当=�π�时∈，Z�，=即3+�π�∈Z，

ππ

0将<�<图π像向∴左平�=移0个单位�长=度3后得�到(�函)=数sin(2的�+图3像)，

π

即�(�)3�(�)，

ππ

由�(�)=sin[2(�+3)+3]=sin，(2得�+π)=−sin2�，

�(�1)−�(�2)<�(�1)−�(�2)�(�1)−�(�1)<�(�2)−�(�2)

设，则不等式等价为当时，，

即若ℎ(�对)任=意�(�)−�,(�，)为增函数．�1<�2ℎ(�1)<ℎ(�2)

�∈[0�]ℎ(�)

π13

ℎ(�)=sin(2�+)+sin2�=sin2�+cos2�+sin2�

322，

3331π

=当2sin2�,+时2，cos2�=,3(，2所si以n2�+2cos2�),=3si，n(2�+6)

πππ

因为�∈对[任0�意]2�,∈，[02�]为增函数2�，+6∈[62�+6]

所以�∈，[0所�]以ℎ(�)，所以，

ππππ

即的2最�大+值6≤为2．2�≤30<�≤6

π

故答�案为：．6

π

6

【题型6三角函数图像变换的综合题型】

例1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数的表达式为．

ππ2π

(1)求函数的最小正周期及图象的�对=称�轴�的方程；��=3sin�+6cos�+6+cos�−3

(2)将函数�=��的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调增

ππ

区间和值域�．=��6�=���=��0,2

【答案】(1)；

π�π

(2)增区间：π,�=，6值+域2：,�∈�

π3

【分析】（1）0化,3简，根据0,正2弦型函数的性质即可求解；

（2）根据图象平移�求�出，将看作整体，结合正弦函数的图象性质即可求解．

π1π

��=sin2�−6+22�−6

【详解】（1）由已知2π

3π1+cos2�−33π1π1π

��=，2sin2�+3+2=2sin2�+3−2cos2�+3+2=sin2�+3−

π1π1

则6函+数2=sin的最2�小+正6周+期2为，

2π

令��，得�=2=π，

πππ�π

即对2�称+轴6方=程2+为�π,�∈��=；6+2,�∈�

π�π

（2）由（1）知�=6+2,�∈�，

π1

则��=sin2�+6+2，

ππ1π1

��=sin2�−6+6+2=sin2�−6+2

π

∵0<�<,

2

ππ5π

∴−<2�−<,

666

1π

∴−<sin2�−≤1,

26，

π13

即∴0<s在in2�−上6的+值2域≤为2．

π3

由��0,2，得0,2，

ππππ

即−6<在2�−6上<的2单调增0<区�间<为3．

ππ

��0,20,3

例2．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为．

π

(1)求函数的最小正周期；R�=����=4sin�cos�+3+3

(2)已知方程�=��在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围；

ππ

(3)将函数��=的�图象上所−有4,点6的横坐标变为原来的，纵坐标�不变，再将所得函数图象向右平移个单

2π

位长度，得�到=函�数�的图象．函数的解析式3为，，若对任意的18，

π

总存在，�使=得��成�立=，ℎ求�实数的取值ℎ范�围=．���−��∈R�1∈0,3

ππ

【答案】�2(∈1)6,3��1=ℎ�2�

(2)π

(3)3,2

【分−析∞】,（−12）先∪利用3+两1角,+和∞的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可；

（2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可；��

（3）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关

系列式求解即可.���ℎ�

【详解】（1）由题意可得

π

�(�)=4sin�cos�+3+3

ππ2

=4sin�cos�cos−sin�sin+3=2sin�cos�−23sin�+3

33，

π

所=以sin2�+3co.s2�=2sin2�+3

2π

（2）�由=（21）=可π知，当时，，

ππππ2π

�∈−4,62�+3∈−6,3

方程有两个不同的解，由正弦函数的图象可知.

（3）�将�函=数�的图象上所有点的横坐标变为原来�的∈，3,2

2

可得�=��，3

3ππ

纵坐标�=不2变si，n再2⋅将2所�+得3函=数2图si象n向3�右+平3移个单位长度，

π

可得18，即，

ππππ

当�=2sin时，3�−18+3=2，sin则3�+6�(，�)=2sin3�+6

πππ7π

当�1∈0,3，3�1+6∈6,6，则��1∈