2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第03讲 解三角形 （原卷版）

第03讲解三角形

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：三角形的基本要素与内角和定理

核心知识

1.基本要素：在△ABC中，边a、b、c分别对应角A、B、C的对边；内角和ABC(180)；外

角等于不相邻两内角之和.

2.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即|bc|abc，|ac|bac，

|ab|cab.

易错辨析

误区：忽略三边关系直接用定理求边，导致解不存在.

纠正：已知三边或两边及一边对角时，先验证三边关系，排除无效解.

概念比较

概念含义区别

内角三角形内部的角，和为180内角范围(0,180)，外角是内角的补角

外角三角形一边与另一边延长线的夹角，和为360外角=不相邻两内角和，大于任何一个不相邻内角

重点记忆+常考结论

1.内角和恒为180，是角度计算的核心依据.

2.大边对大角、大角对大边，即abAB.

3.已知两角可直接求第三角，是解三角形的基础步骤.

知识点2：正弦定理

核心知识

abc

1.定理内容：在△ABC中，2R，R为△ABC外接圆半径.

sinAsinBsinC

2.常见变形

a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

abc

sinA，sinB，sinC；

2R2R2R

a:b:csinA:sinB:sinC.

3.推导过程（外接圆法，分三类三角形证明）

aabb

1.直角三角形：设C，外接圆直径2Rc，sinA，sinB，故

2c2Rc2R

abc

2R成立.

sinAsinBsinC

2.锐角三角形：作外接圆，圆心为O，连接CO并延长交圆于D，CD2R，DA，在Rt△CBD中，

aBCCDsinD2RsinA，同理b2RsinB，c2RsinC.

3.钝角三角形：作外接圆，延长CO交圆于D，DA，在Rt△CBD中，

aBCCDsinD2Rsin(?A)2RsinA，同理得其他边关系，综上定理成立.

易错辨析

bsinA

误区：已知两边及一边对角（如a,b,A），由sinB求出sinB(0,1)时，直接取锐角解，忽略

a

钝角解可能.

纠正：结合“大边对大角”判断：若ab，则AB，B必为锐角，一解；若ab，且sinB1，则B

有锐角、钝角两解；若sinB1，则B，一解；若sinB1，无解.

2

概念比较

应用场景正弦定理余弦定理（预告）

已知条件两角及一边；两边及一边对角两边及夹角；三边

解的个数唯一解或无解唯一解

计算核心边与对角正弦的比例关系边的平方与夹角余弦的运算

重点记忆+常考结论

1.正弦定理的核心是“边与对角正弦成正比，比例系数为2R”.

2.已知两角及一边，优先用正弦定理求未知边；已知两边及一边对角，先判断解的个数再求解.

abc

3.常考结论：2R；若AB，则ab，反之亦然.

sinAsinBsinC

一、正弦定理与边角互化

1.基础铺垫：正弦定理公式

abc

在△ABC中，2R（R为△ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC

核心变形（边角互化的关键）：

边化角：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

abc

角化边：sinA，sinB，sinC

2R2R2R

比例关系：a:b:csinA:sinB:sinC

2.边角互化核心方法

边化角：当已知条件或待求式中含“边的齐次式”（如a2b2c2ab、acosBbcosA）时，用

a2RsinA等代入，将边转化为角，利用三角恒等变换求解（如和角公式、二倍角公式）。

a

角化边：当已知条件含“角的正弦关系”（如sinA2sinB、sinAsinBsinC）时，用sinA

2R

等代入，将角转化为边，利用代数运算（如因式分解、均值不等式）求解.

3.常见应用场景与易错点

典型场景1：判断三角形形状（如由acosBbcosA边化角得sin(AB)0，推出AB，即等腰三角

形）.

典型场景2：求解含边角混合的等式（如由sin2Asin2Bsin2C角化边得a2b2c2，推出直角三角

形）.

易错点：非齐次式不可随意边化角/角化边（如abcsinA，需结合其他定理补充条件）；忽略

A,B,C(0,)的角度范围限制.

二、射影公式

1.公式内容

在△ABC中，任意一边等于另外两边在该边上的射影之和：

abcosCccosB

bacosCccosA

cacosBbcosA

2.推导思路（基于正弦定理）

由内角和A(BC)，得sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.

根据正弦定理，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，代入上式：

abc

cosCcosB，两边同乘2R，得abcosCccosB，其余两式同理可证.

2R2R2R

3.核心应用与优势

快速转化边角关系：无需复杂平方运算，直接关联一边与另外两边的余弦值，简化含cosB、cosC等的表

达式计算.

辅助求解边角问题：当题目中同时出现“一边”和“另外两边的余弦值”时，优先使用射影公式（如已知a5，

12

cosB，cosC，可直接求bc）.

33

验证其他定理：可作为正弦定理、余弦定理的辅助验证工具，提升解题准确性.

4.易错点提醒

边角对应错误：牢记“边a对应另外两边b,c与它们对角C,B的余弦值”，避免混淆夹角（如误写为

abcosAccosC）。

过度依赖：射影公式适用于特定边角组合，复杂问题需结合正、余弦定理综合使用.

正弦定理判断三角形解的个数

核心前提：正弦定理判断解的个数，仅适用于“已知两边及一边对角”（记为：已知a,b,A，其中a,b为

边，A为边a的对角）的情形。其他已知条件（如两角及一边、两边及夹角、三边）均有唯一解或无解，

无需用正弦定理判断.

一、判断核心依据

1.三角函数值域：sin(0,1]，若计算得sinB1，则无解；若sinB1，则B，需验证是否符合

2

三角形内角和；若sinB(0,1)，则B有两解（B1arcsinB，B2B1），需结合“大边对大角”筛

选有效解.

2.大边对大角：在△ABC中，abAB；abAB；abAB（A,B为三角形内角，

均(0,)）.

二、具体情形分类（已知a,b,A）

情形1：角A为锐角（0A）

2

bsinA

步骤：由正弦定理得sinB，结合sinB值域和大边对大角判断：

a

bsinA

当ab时：AB，因A为锐角，故B必为锐角，且sinBsinA1，唯一解.

a

当absinA时：sinB1，则B，△ABC为直角三角形，唯一解。

2

bsinA

当bsinAab时：sinB(0,1)，此时B有两解（锐角Barcsin、钝角B2B1），且

1a

B1AB2（因ab，故AB，两解均满足内角和AB），两解.

bsinA

当absinA时：sinB1，超出正弦函数值域，无解.

a

情形2：角A为直角（A）

2

分析：直角三角形中，斜边为最长边，A则a为斜边（最长边）：

2

b

当ab时：a为最长边，符合直角三角形斜边要求，B为锐角（sinB1），唯一解.

a

当ab时：ba，但a为斜边应最长，矛盾，无解.

情形3：角A为钝角（A)

2

分析：钝角三角形中，钝角为最大角，故a应为最长边（ab,ac），且其他两角均为锐角（和为A）：

2

bsinA

当ab时：a为最长边，BA（大边对大角），因A为钝角，B必为锐角（sinBsinA1），

a

且AB，唯一解.

当ab时：ba，则BA，但A为钝角，BA会导致AB2A，违反内角和定理，无解.

二、标准判断步骤（已知a,b,A）

bsinA

1.第一步：计算sinB；

a

2.第二步：判断sinB值域：

若sinB1：无解；

若sinB1：则B，验证AB，成立则唯一解，不成立则无解；

2

若sinB(0,1)：结合“大边对大角”判断B的两解是否有效：

若ab：AB，B必为锐角，唯一解；

若ab：AB，B的锐角、钝角两解均有效（因B2B1A），两解；

若ab：AB，B为锐角，唯一解.

三、直观记忆：图形辅助法

以已知A（锐角）、边b为例，边ACb固定，角A固定，边AB为待求边，边BCa为定长：

当absinA：边BC长度不足，无法构成三角形（无解）；

当absinA：边BC与AB垂直，恰好构成直角三角形（唯一解）；

当bsinAab：边BC可与AB交于两点，构成两个不同三角形（两解）；

当ab：边BC仅与AB交于一点，构成唯一三角形（唯一解）.

四、易错点提醒

1.适用范围混淆：仅“已知两边及一边对角”需判断解的个数，其他条件无需判断；

2.边角对应错误：必须明确“A是边a的对角”，若已知“两边及另一边对角”（如已知a,b,B），需调

整对应关系（将B作为对角，b作为对应边）再判断；

3.忽略内角和验证：当sinB1时，需确认A（即A），否则无解（如A100，sinB1

22

则B90，AB190180，无解）；

4.漏判两解：当ab且sinB(0,1)时，易直接取锐角解，忽略钝角解，需结合大边对大角确认两解有效

性.

知识点3：余弦定理

核心知识

1.定理内容

a2b2c22bccosA；

b2a2c22accosB；

c2a2b22abcosC.

2.推论（求角公式）

b2c2a2

cosA；

2bc

a2c2b2

cosB；

2ac

a2b2c2

cosC.

2ab

3.推导过程（几何法，以a2b2c22bccosA为例）

1.当A为锐角时，过B作BDAC于D，ADbcosA，BDbsinA，CDACADcbcosA，

在直角三角形BCD中：

a2BD2CD2(bsinA)2(cbcosA)2b2sin2Ac22bccosAb2cos2Ab2(sin2Acos2A)c22bccosAb2c22bccosA

2.当A为直角时，cosA0，公式化为a2b2c2，即勾股定理，成立.

3.当A为钝角时，过B作BDAC的延长线于D，ADbcos(A)bcosA，

BDbsin(A)bsinA，CDACADcbcosA，同理在Rt△BCD中，化简得

a2b2c22bccosA.

易错辨析

误区：边角对应错误，如求a时误用a2b2c22accosB.

纠正：明确公式中边与角的对应关系，边的平方等于另外两边平方和减去这两边与它们夹角余弦的2倍，

夹角是所求边的对角.

概念比较

公式适用条件与勾股定理关系

余弦定理任意三角形勾股定理是余弦定理当夹角为90时的特例

勾股定理直角三角形余弦定理的特殊情况，cos900

重点记忆+常考结论

1.余弦定理核心是“边的平方与夹角余弦的关联”，可用于求边、求角、判断三角形形状.

2.判断三角形形状：若a2b2c2，则A90；若a2b2c2，则A90；若a2b2c2，则A90.

3.已知三边必用余弦定理求角，已知两边及夹角必用余弦定理求第三边.

知识点4：三角形的面积公式

核心知识

1

1.基本公式：Sah（h为边a上的高）.

2aa

111

2.三角公式（常用）：SabsinCbcsinAacsinB.

222

abc

3.海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，其中p.

2

abc

4.外接圆相关：S（R为外接圆半径）.

4R

易错辨析

1

误区：使用三角面积公式时，误将角用错（如用SabsinA）.

2

1

纠正：公式中角为两边的夹角，即SabsinC中C是a与b的夹角.

2

概念比较

面积公式已知条件计算难度

1

ah一边及该边上的高低

2a

1

absinC两边及夹角中

2

海伦公式三边高

重点记忆+常考结论

1.三角面积公式是解三角形中求面积的首选，尤其结合正、余弦定理使用.

2.常考结论：若△ABC的外接圆半径为R，S2R2sinAsinBsinC；若a,b为定值，C90时面积最大.

知识点5：解三角形的基本类型与步骤

核心知识

已知条件首选定理解的个数

两角及一边正弦定理唯一解

两边及夹角余弦定理唯一解

三边余弦定理唯一解

两边及一边对角正弦定理0个、1个或2个解

易错辨析

误区：解“两边及一边对角”问题时，不判断解的个数直接求解.

纠正：先求另一边对角的正弦值，结合大边对大角和内角和定理判断解的个数，再计算.

重点记忆+常考结论

1.解三角形的核心是“边角互化”，正弦定理侧重“边与正弦的比例”，余弦定理侧重“边的平方与余弦

的关联”.

2.实际问题中，先抽象为三角形模型，明确已知条件，再选对应定理求解.

六、整体常考结论汇总

1.三角形内角和为180，大边对大角，大角对大边.

2.正弦定理比例系数为2R，余弦定理是勾股定理的推广.

3.已知两边及一边对角时，注意多解或无解情况.

1

4.面积公式优先用absinC，结合正、余弦定理灵活转化.

2

【题型1正弦定理解三角形】

例1．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度

△𝐴���=20∠𝐴�=75°∠�𝐴=60°𝐴

为.

例2．（25-26高三上·上海·期中）在中，，，，则.

△𝐴��=33�=5�=2�sin��=

变式1．（25-26高三上·上海·月考）在中，若，，，则.

ππ

△𝐴��=3�=4�=3�=

变式2．（25-26高三上·上海·期中）在中，.

1

(1)若，求的值；△𝐴�cos�=7,�=8

(2)若�=7，�求的值与角的大小.

11

cos�=14��

【题型2正弦定理判断三角形解的个数】

例1．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么

∘

实数的取值范围是．∠𝐴�=45,𝐴=6,��=�△𝐴�

�

例2．（24-25高一下·上海·期末）在中，已知，，当有两解时，的取值范围为．

∘

变式1．（24-25高一下·上海·期中）△已�知��的�内=角30，�=，10的对�边分别为，�，，且满足

，的三角形有两个，则的取值范△围�为��.�������=

�

2�=4�

变式2．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（）

A．△𝐴�B．

∘∘∘

C．�=10,�=45,�=80D．�=6,�=10,�=60

∘∘

�=18,�=10,�=120�=12,�=16,�=45

【题型3正弦定理求外接圆半径】

例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角的对边分别是，若

π

，则外接圆的半径为△𝐴�．�,�,��,�,�∠�=3,�=3,�cos�+�cos�=

�△𝐴�

例2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于．

变式1．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为.

𝐴�∠�=60°,𝐴=4,��=3𝐴�

变式2．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为.

2ππ

△𝐴���=1∠�=3∠�=6△𝐴�

【题型4正弦定理判断三角形的形状】

例1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知

，则的形状为（）△𝐴��(cos�+cos�)=

�+�A．等△腰�三�角�形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

例2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（，，分别为角，，的对边），

2��+�

则的形状为（）△𝐴�cos2=2�������

△A�．��正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形

变式1．（23-24高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（）

222�tan�

A．直角三角形�+�B−．�钝�角=三�角形�=tan�△𝐴�

C．等腰直角三角形D．等边三角形

变式2．（23-24高二下·上海闵行·月考）在中，，则为（）

A．直角三角形△B�．��等边三�角=形2�cos�△𝐴�

C．等腰三角形D．等腰直角三角形

【题型5射影公式】

例1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示

的面积，若，△𝐴�，则（）△𝐴�

3

A．30°�cos�+�coBs．�=902°�sin��=2�C�．⋅c4o5s°�∠�=D．60°

变式1．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，角所对的边分别为，表示的面积，

若，△𝐴，�则�,（�,�）�,�,��△𝐴�

3222

�cAos．�9+0�cos�=�sinB�．6�0=12(�+�−�C．)45∠�=D．30

°°°°

【题型6余弦定理解三角形】

例1．（25-26高三上·上海·期中）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于.

△𝐴�

例2．（25-26高二上·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，

则．△𝐴��������=60°, �=19, �=5

�=

变式1．（24-25高一下·上海·开学考试）三角形ABC中，，，，则.

π

�=3�=4�=4�=

变式2．（24-25高三上·上海·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，

则.△𝐴��������=4�=5�=6

sin�=

【题型7余弦定理求角】

例1．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大

222

小为.△𝐴��,�,�△𝐴��=�+�+��

例2．（2024·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若

222

，则内角A的大小是△𝐴��=�+�−

2��sin2�

变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，，则.

△𝐴�(3�−�)cos�=�cos�cos�=

变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

则角.���△𝐴����2�=�+2�cos�

【题�型=8正弦定理与余弦定理实际应用】

例1．（23-24高三下·上海·月考）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明

想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：

假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸

片人”：

假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；

假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；60°

假设4：伞面为被伞柄6O0Tcm垂直平分的线段AB，．

以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以𝐴如=图1220方cm式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；

2

(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议0.超1c过m两

条仅对前两条评分）

例2．（23-24高三上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km

处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾�，政�府决定在的北面处建一�个发�电厂，利用垃圾发

电.要�求�发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集𝐴中的生活�垃圾量（单位：吨）成反比，

现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.

��

(1)当时，求的值；

(2)发电��厂=尽1量5k远m离居民区∠�，�也�即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少?

△�𝐴�

变式1．（23-24高一下·上海青浦·月考）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连

杆AB长为，曲柄CB长为，求曲柄CB从初始位置按顺时针方向旋转时，求活塞从

移动到A的3距40离mm．（结果精确8到5mm）𝐴060°�0

�0�0.01mm

变式2．（24-25高三下·上海宝山·月考）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足

，，（单位：米）．𝐴����𝐴=

2(10)求7三6角�形�花=园20的面61积（��精=确2到091平方米）；

(2)若三角形个内角均小于，1到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分

∘

点所在的周3角，该点所对三1角20形三边的张角相等，均为．所以这个�点也称为�三�角�形�的等�角�中心．请根

∘

�据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最12小0距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．

�

【题型9三角形面积公式】

例1．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，．

(1)若，求的面积△；𝐴��������=4�=5

4

(2)若内co角s2�的=对5边△�，��求角的正弦值及外接圆的半径．

��=6�△𝐴��

例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面

1

积是.△𝐴���=33sin�=2sin�cos�=4△𝐴�

变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中．

(1)若，且，求边长的值；△𝐴��������=2

2π

(2)若�+�=3�=2�，求�的面积．

π

�−�=12, �=2�sin�△𝐴�

变式2．（25-26高三上·上海·月考）在中，.

π226

(1)求；△𝐴��=3,�=3,�=3�sin�

(2)求scin以�及的值.

�△𝐴�

【题型10求三角形的周长】

例1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中，内角所对的边分别为，已知

．△𝐴��,�,��,�,��sin�=�cos�−

π

(61)求；

(2)若�的面积为，求的周长．

23

�=2�,△𝐴�3△𝐴�

例2．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，

，.△𝐴�sin�+3cos�=2

�(1=)求2角�；△𝐴�=3

(2)求�的周长.

△𝐴�

变式1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为

的锐角三角形，且，则△的𝐴周�长为�,�,�.�,�,�△𝐴�5

�=2,�=3△𝐴�

变式2．（2024·上海黄浦·二模）在中，，.

53

(1)求的值；△𝐴�cos�=−13cos�=5

(2)若sin�，求的周长和面积.

𝐴=4△𝐴�

一、核心基础

1.三角形要素：边a,b,c（对顶角A,B,C）、内角和ABC、三边关系|bc|abc（其余

同理）

2.核心原则：大边对大角大角对大边

二、核心定理（重点）

1.正弦定理

abc

公式：2R（R为外接圆半径）

sinAsinBsinC

a

变形：a2RsinA；sinA；a:b:csinA:sinB:sinC

2R

适用：两角及一边、两边及一边对角（注意多解/无解判断）

2.余弦定理

公式：a2b2c22bccosA（其余边角轮换同理）

b2c2a2

变形（求角）：cosA（其余同理）

2bc

适用：两边及夹角、三边、判断三角形形状（用a2与b2c2大小关系）

三、面积公式（常用）

111

1.三角公式：SabsinCbcsinAacsinB（首选）

222

1abcabc

2.其他：Sah、S、海伦公式Sp(pa)(pb)(pc)（p）

2a4R2

四、解三角形类型与步骤

1.已知两角及一边：正弦定理求第三角求未知边

2.已知两边及夹角：余弦定理求第三边正弦/余弦定理求其余角

3.已知三边：余弦定理求三个角

4.已知两边及一边对角：先求对角正弦值判断解的个数再求解

五、高频考点/易错点

1.易错：两边及一边对角忽略多解；边角对应错误；未验证三边关系

abc

2.常考结论：2R；S2R2sinAsinBsinC；定边定角（夹角）面积最大值

sinAsinBsinC

一、单选题

1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（）.

A．直角三角形△𝐴B�．底边�为=2�c的os等C腰三△角�形��

C．底边为的等腰三角形D．底边为��的等腰三角形

��𝐴

2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所

组成的集合为，则集合中的最大元素为△（𝐴�）△𝐴�

A．�B．�C．D．

2626

3．（25−-265高三上·上海·期中5）在中各角所−对2的6边分别为a，b，c，2下6列结论错误的是（）

A．则为△等�边�三�角形；

���

B．已cos知�=cos�=cos�△𝐴�，则；

∘

C．已知�+�，+��+�，−�=3�，�则最∠小�内=角6的0度数为；

∘

D．在�=，7�=4，3�=，解13三角形有两解．30

∘

�=5�=60�=4

二、填空题

4．（2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，

，则的面积为△𝐴�．�,�,��,�,��=2�−��=1

1

5co．s�（=255-26高△一�上��·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，

若，则△𝐴�𝐴=．�����𝐴����

1��

��//��, ��//𝐴,��=��, cos�=4��=

6．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，

从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，�已�知、相距100米，�，则该建�筑物高度3约0°

为�米．（保留一位�小数）45°��∠�𝐴=60°��

7．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则

π

.�,�,�△𝐴��,�,��=1,�=2,∠�=3

�8．=（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则